MORGAN TÖRVÉNYEK - MATEMATIKA - 2026

A Morgan szeme a következtetési logikában alkalmazott következtetési szabályok, amelyek meghatározzák, hogy mi okozza a diszjúció és a javaslatok, illetve javaslatos változók összekapcsolásának tagadását. Ezeket a törvényeket Augustus De Morgan matematikus határozta meg.

A Morgan törvényei nagyon hasznos eszközt jelentenek a matematikai érvelés érvényességének bizonyítására. Később George Boole matematikus általánosította a halmazok fogalmába.

Ez a Boole által tett általánosítás teljesen megegyezik a kezdeti Morgan-törvényekkel, de kifejezetten halmazokra, és nem állításokra fejlesztették ki. Ezt az általánosítást Morgan törvényeinek is nevezik.

A javaslati logika áttekintése

Mielőtt megvizsgálnánk, hogy mi a Morgan törvénye, és hogyan alkalmazzák azt, hasznos megjegyezni a javaslati logika néhány alapvető fogalmát. (További részletekért lásd a javaslati logikáról szóló cikket).

A matematikai (vagy állítólagos) logika területén a következtetés egy következtetés, amelyet egy helyiségcsoportból vagy hipotézisből adunk ki. Ez a következtetés a fent említett állításokkal együtt a matematikai érvelésnek nevezi.

Az ilyen érvelésnek bizonyíthatónak vagy megtagadottnak kell lennie; vagyis a matematikai érvelésben nem minden következtetés vagy következtetés érvényes.

Tévedés

Bizonyos valószínűnek vélt hipotézisekből származó hamis következtetéseket tévesnek hívnak. A tévések sajátossága az, hogy érvek helyesnek tűnnek, de matematikailag nem.

A propozicionális logika pontosan felelõs azoknak a módszereknek a kidolgozásáért és biztosításáért, amelyek kétértelmûség nélkül validálhatják vagy megcáfolhatják a matematikai érvelést; vagyis vonja le a helyiségekből származó érvényes következtetést. Ezeket a módszereket következtetési szabályoknak nevezzük, amelyek részét képezik a Morgan törvényei.

Tézisek

A javaslati logika alapvető elemei a javaslatok. Az állítások olyan állítások, amelyek állítólag érvényesek vagy érvénytelenek, de nem lehetnek igazak és hamisak ugyanakkor. Ebben a kérdésben nem szabad félreérthetőnek lennie.

Ahogyan a számokat összeadhatjuk, kivonhatjuk, szorzhatjuk és oszthatjuk, a javaslatok a jól ismert logikai összeköttetések (vagy csatlakozók) segítségével is működtethetők: tagadás (¬, „nem”), diszjunció (V, „Vagy”), kötés (Ʌ, „és”), feltételes (→, „ha…, akkor…”) és kétfeltételes (↔, „ha, és csak akkor”).

Ha általánosabban dolgozunk, akkor a konkrét állítások figyelembevétele helyett figyelembe vesszük az esetleges állításokat reprezentáló állítási változókat, és általában kis, kisbetűkkel p, q, r, s stb. Jelöljük őket.

A javaslati formula a javaslatbeli változók kombinációja néhány logikai összekötő eszköz segítségével. Más szavakkal, ez állítólagos változók összetétele. Ezeket általában görög betűkkel jelölik.

Azt mondják, hogy egy javaslati formula logikusan utal egy másikra, amikor ez utóbbi igaz, az előző igaz igaz. Ezt jelöli:

Amikor a két javasolt képlet közötti logikai implikáció kölcsönös - vagyis amikor az előző implikáció ellentétes értelemben is érvényes - akkor a képletek logikailag ekvivalensek, és azt

A logikai ekvivalencia egyfajta egyenlőség a javaslati képletek között, és lehetővé teszi az egyik helyettesítését a másikkal, ha szükséges.

Morgan törvényei

Morgan törvényei két logikai ekvivalenciából állnak két állítási forma között, nevezetesen:

Ezek a törvények lehetővé teszik a diszjúció vagy konjunkció tagadásának különválasztását, mint az érintett változók negatívumait.

Az első a következőképpen olvasható: a diszjunkció tagadása egyenlő a negatívumok konjunkciójával. És a második így szól: a konjunkció tagadása negatívumok diszjunktusa.

Más szavakkal: két állítólagos változó diszjunkciójának tagadása egyenértékű a két változó negatívumainak összekapcsolásával. Hasonlóképpen, két állítólagos változó konjunkciójának tagadása egyenértékű a két változó negatívumainak diszjunciójával.

Mint korábban említettük, ennek a logikai egyenértékűségnek a helyettesítése segít a fontos eredmények bizonyításában, a többi létező következtetési szabály mellett. Ezekkel egyszerűsíthet számos javaslati képletet, így hasznosabbak együtt dolgozni.

Az alábbiakban bemutatunk egy következtetési szabályokat tartalmazó matematikai bizonyítékot, ideértve a Morgan törvényeit. Pontosabban kimutatható, hogy a képlet:

Ez egyenértékű:

Ez utóbbi egyszerűbben érthető és fejleszthető.

Demonstráció

Érdemes megemlíteni, hogy a Morgan-törvények érvényessége matematikailag igazolható. Az egyik módszer az igazságtáblázatok összehasonlítása.

szettek

Ugyanezek a következtetési szabályok és a javaslatokra alkalmazott logika fogalmak is kidolgozhatók halmazok figyelembevételével. Ez az úgynevezett logikai algebra, George Boole matematikus után.

Az esetek megkülönböztetése érdekében meg kell változtatni a jelölést és át kell helyezni halmazakra, az állító logika már látott elképzeléseire.

A készlet objektumok gyűjteménye. A halmazokat nagybetűkkel A, B, C, X,…, a halmaz elemeit pedig kisbetűkkel, a, b, c, x stb. Jelölik. Ha egy a elem egy X halmazhoz tartozik, akkor azt jelöli:

Ha nem tartozik az X-hez, a jelölés:

A készletek ábrázolásának módja az, ha elemeiket a zárójelekbe helyezik. Például a természetes számok halmazát képviseli:

A halmazok ábrázolhatók anélkül is, hogy kifejezetten felsorolnák az elemeiket. Ezek kifejezhetők a következő formában: {:}. A kettőspont "olyan, hogy" kifejezés. A két ponttól balra egy változót helyezünk el, amely a halmaz elemeit képviseli, a jobb oldalon pedig azt a tulajdonságot vagy feltételt, amelyet kielégítenek. Ez:

Például a -4-nél nagyobb egész szám halmaza kifejezhető:

Vagy egyenértékű módon, és rövidítve:

Hasonlóképpen, a következő kifejezések a páratlan és a páros szám halmazát képviselik:

Összetétel, kereszteződés és készletkészletek

Ezután látjuk a logikai összeköttetések analógjait halmazok esetében, amelyek a halmazok közötti alapműveletek részét képezik.

Unió és kereszteződés

A halmazok unióját és metszéspontját az alábbiak szerint határozzuk meg:

Vegyük például a készleteket:

Tehát:

Kiegészítés

A halmaz komplementerét az elemek alkotják, amelyek nem tartoznak az említett halmazhoz (ugyanolyan típusú, mint az eredeti képviseli). Az A halmaz kiegészítését jelöli:

Például a természetes számokon belül a páros számok halmazának kiegészítése a páratlan számokkal és fordítva.

Egy halmaz komplementációjának meghatározásához a vizsgált elemek univerzális vagy fő készletének a kezdetektől egyértelműnek kell lennie. Például nem ugyanaz a halmaz kiegészítését úgy tekinteni, mint a természetes számokra, mint a racionális számokra.

Az alábbi táblázat bemutatja a korábban meghatározott halmazok műveletei és a javaslati logika összeköttetései közötti kapcsolatot vagy analógiát:

Morgan készleteinek törvényei

Végül: Morgan a halmazokra vonatkozó törvényei:

Szavakkal: egy unió kiegészítése a komplementek metszéspontja, és egy metszéspont kiegészítése a komplementek összekapcsolása.

Az első egyenlőség matematikai bizonyítéka a következő:

A második bizonyítéka hasonló.

Irodalom

1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Szerkesztői Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logika, készletek és számok. Mérida - Venezuela: Publikációs Tanács, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., és Soto, A. (1998). Bevezetés a számelméletbe. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). A számelmélet alapvető kurzusa. Északi Egyetem.
5. Cofré, A. és Tapia, L. (1995). Hogyan dolgozzunk ki matematikai logikai érvelést? Egyetemi Kiadó.
6. Guevara, MH (második). A számok elmélete. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Számelmélet Szerkesztői látomás Libros.