BOOLEAN ALGEBRA: TÖRTÉNELEM, TÉTELEK ÉS POSZTULÁCIÓK, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

A logikai algebra vagy a logikai algebra algebrai jelölés, amelyet bináris változók kezelésére használnak. Lefedi minden olyan változó tanulmányozását, amelynek csak 2 lehetséges eredménye van, kiegészítik és kölcsönösen kizárják egymást. Például azok a változók, amelyeknek egyetlen lehetősége igaz vagy hamis, helyes vagy hibás, be vagy ki, a Boole algebra tanulmányának alapját képezik.

A logikai algebra képezi a digitális elektronika alapját, ami ma meglehetősen jelen van. Ezt a logikai kapuk koncepciója irányítja, ahol a hagyományos algebrai ismert mûveleteket különösen befolyásolja.

Forrás: pexels.com

Történelem

A logikai algebrát 1854-ben vezette be George Boole angol matematikus (1815 - 1864), aki akkoriban öntanuló tudós volt. Aggodalmát Augustus De Morgan és William Hamilton között fennálló vita váltotta fel a logikai rendszert meghatározó paraméterekkel kapcsolatban.

George Boole azzal érvelt, hogy a 0 és 1 numerikus értékek meghatározása a logika területén megfelel a Semmi és az Univerzum értelmezésnek.

George Boole célja az algebrai tulajdonságokon keresztül meghatározni a bináris típusú változók kezeléséhez szükséges javaslati logika kifejezéseit.

1854-ben a logikai algebra legfontosabb szakaszait megjelent a "A gondolkodás törvényeinek vizsgálata, amelyeken a logika és a valószínűség matematikai elméletei alapulnak" című könyv.

Ezt a furcsa címet később röviden "A gondolkodás törvényei" ("A gondolkodás törvényei") foglalják össze. A cím hírnévre emelkedett, az akkori matematikai közösség azonnali figyelme miatt.

1948-ban Claude Shannon alkalmazta a bistabil elektromos kapcsolási áramkörök tervezésére. Ez bevezetésként szolgált a logikai algebra alkalmazásához a teljes elektronikus-digitális sémán belül.

Szerkezet

Az ilyen típusú algebrai elemi értékek 0 és 1, amelyek megfelelnek a FALSE és TRUE értékeknek. A logikai algebrai alapvető műveletek a következők:

- ÉS működés vagy összekapcsolás. Egy időszakot képvisel (.). A termék szinonimája.

- VAGY működés vagy leválasztás. Egy kereszttel jelölve (+) Az összeg szinonimája.

- NEM működés vagy tagadás. A NOT (NOT A) előtag képviseli. Komplementeként is ismert.

Ha egy A2 sorozatban a belső összetétel törvényeit termékként és összegként (. +) Meghatározzuk, akkor azt mondják, hogy a hármas (A. +) logikai algebra akkor és csak akkor, ha a hármas megfelel a rácsos állapot feltételeinek. elosztó.

Az elosztó rács meghatározásához az adott műveletek között teljesíteni kell az elosztási feltételeket:

. eloszló az összeg + a vonatkozásában. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ a termék tekintetében elosztó. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Az A halmazt alkotó elemeknek binárisnak kell lenniük, tehát univerzum vagy üres értékekkel kell rendelkezni.

Alkalmazások

Fő alkalmazási forgatókönyve a digitális ág, ahol az összekapcsolódó logikai műveleteket alkotó áramkörök felépítésére szolgál. Az áramkör-egyszerűség művészete a folyamatok optimalizálása mellett a logikai algebra helyes alkalmazásának és gyakorlatának az eredménye.

Az elektromos panelek kidolgozásától az adatok továbbításán át egészen a különböző nyelveken történő programozás eléréséig gyakran megtalálhatjuk a Boolean algebrát mindenféle digitális alkalmazásban.

A logikai változók nagyon gyakoriak a programozás struktúrájában. A használt programozási nyelvtől függően a kódban vannak szerkezeti műveletek, amelyek ezeket a változókat használják. Az egyes nyelvek feltételei és érvei lehetővé teszik a logikai változók meghatározását a folyamatok meghatározására.

posztulátumok

Vannak tételek, amelyek szabályozzák a logikai algebra szerkezeti logikai törvényeit. Ugyanígy vannak posztulációk, amelyek megismerik a bináris változók különböző kombinációinak lehetséges eredményeit, az elvégzett művelettől függően.

Összeg (+)

Az a VAGY operátor, amelynek logikai eleme az unió (U), a bináris változókra a következőképpen kerül meghatározásra:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Termék (.)

Az ÉS operátort, amelynek logikai eleme az metszéspont (∩), a bináris változókra a következőképpen kell meghatározni:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

egy. 0 = 0

egy. 1 = 1

Ellenkezőleg (NEM)

A NOT operátort, amelynek logikai eleme a komplement (X) ', a bináris változókra a következőképpen kell meghatározni:

NEM 0 = 1

NEM 1 = 0

Sok posztulátum különbözik a hagyományos algebrai társaitól. Ennek oka a változók tartománya. Például, ha univerzum elemeket adunk hozzá a logikai algebrába (1 + 1), akkor nem adhatjuk meg a szokásos 2 eredményt, mert nem tartozik a bináris halmaz elemeihez.

tételek

A nulla és az egység szabálya

Minden olyan egyszerű műveletet meghatározunk, amelyben egy elem szerepel a bináris változókkal:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

egy. A = A

Egyenlő hatalom vagy idempotencia

Az egyenlő változók közötti műveleteket a következőképpen kell meghatározni:

A + A = A

NAK NEK. A = A

komplementációs

A változó és a komplementer közötti bármilyen műveletet a következőképpen kell meghatározni:

A + NEM A = 1

NAK NEK. NEM A = 0

Involúció vagy kettős tagadás

Bármely kettős tagadást természetes változónak kell tekinteni.

NEM (NEM A) = A

kommutatív

A + B = B + A; Az összeg kommutivitása.

NAK NEK. B = B. NAK NEK; A termék kommutivitása.

Asszociációs

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Az összeg asszociativitása.

NAK NEK. (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Termék asszociáció.

Elosztó

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Az összeg eloszlása ​​a termékkel szemben.

NAK NEK. (B + C) = (A. B) + (A + C); A termék eloszlása ​​az összeghez viszonyítva.

Az abszorpció törvényei

A több hivatkozás között számos felszívódási törvény létezik, amelyek közül a legismertebbek a következők:

NAK NEK. (A + B) = A

NAK NEK. (NEM A + B) = A. B

NEM A (A + B) = NEM A. B

(A + B). (A + NEM B) = A

A + A. B = A

A + NEM A. B = A + B

NEM A + A. B = NEM A + B

NAK NEK. B + A NEM B = A

Morgan tétele

Ezek transzformációs törvények, amelyek olyan változópárokat kezelnek, amelyek kölcsönhatásba lépnek a logikai algebra (+) meghatározott műveletei között.

NEM (A. B) = NEM A + NEM B

NEM (A + B) = NEM A. NEM B

A + B = NEM (NEM A + NEM B)

NAK NEK. B = NEM (NEM A. NEM B)

Kettősség

Az összes posztuláció és tétel a dualitás képessége. Ez azt jelenti, hogy a változók és a műveletek cseréjével az eredményül kapott állítást igazolják. Vagyis ha 0-t kicserél 1-re és AND-t VAGY-ra vagy fordítva; létrejön egy kifejezés, amely szintén teljesen érvényes lesz.

Például, ha a posztulátumot vesszük

egy. 0 = 0

És a kettősség kerül alkalmazásra

0 + 1 = 1

További tökéletesen érvényes posztulátumot kapunk.

Karnaugh Térkép

A Karnaugh térkép egy diagram, amelyet a logikai függvények egyszerűsítésére használunk a logikai algebrában. Ez egy kétdimenziós elrendezést tartalmaz, amely hasonló a javaslati logika igazságtábláinak. Az igazságtáblákból származó adatok közvetlenül rögzíthetők a Karnaugh térképen.

A Karnaugh térkép akár 6 változó folyamatát képes befogadni. Nagyobb számú változóval rendelkező funkciók esetén a folyamat egyszerűsítése érdekében szoftver használata ajánlott.

Maurice Karnaugh által 1953-ban javasolt, rögzített eszközként hozták létre a logikai algebra területén, mivel megvalósítása szinkronizálja az emberi potenciált a logikai kifejezések egyszerűsítésének szükségességével, amely a digitális folyamatok folyamatosságának kulcseleme.

Példák

A logikai algebrát arra használják, hogy csökkentsék a logikai kapuk egy áramkörben, ahol a prioritás az, hogy az áramkör bonyolultságát vagy szintjét a lehető legalacsonyabb értékre állítsa. Ennek oka a számítási késleltetés, amelyet az egyes kapuk feltételeznek.

A következő példában megfigyeljük a logikai kifejezés egyszerűsítését annak minimális kifejezésére, a logikai algebra tételei és posztulátumai alapján.

NEM (AB + A + B). NEM (A + NEM B)

NEM. NEM (A + NEM B); Az A tényező közös tényezővel.

NEM. NEM (A + NEM B); Az A + 1 = 1 tétel szerint.

NEM (A + B). NEM (A + NEM B); az A. tétel szerint 1 = A

(NEM A. NEM B).;

Morgan tétel szerint NOT (A + B) = NOT A. NEM B

(NEM A. NEM B). (NEM A. B); Kettős tagadási tétel szerint NEM (NEM A) = A

NEM A. NEM B. NEM A. B; Algebrai csoportosítás.

NEM A. NEM A. NEM B. B; Az A. termék komutációs képessége B = B. NAK NEK

NEM A. NEM B. B; A. tétel szerint A = A

NEM A. 0; A. tétel szerint NEM A = 0

0; A. tétel szerint 0 = 0

NAK NEK. B. C + NEM A + A. NEM B. C

NAK NEK. C. (B + NEM B) + NEM A; Faktoring (A. C) közös tényezővel.

NAK NEK. C. (1) + NEM A; A + tétel szerint NEM A = 1

NAK NEK. C + NEM A; A nulla tétel és az egység szabálya szerint 1. A = A

NEM A + C; A Morgan törvénye + NEM A. B = A + B

Ennek a megoldásnak a Morgan törvényét ki kell terjeszteni az alábbiak meghatározására:

NEM (NEM A). C + NEM A = NEM A + C

Mert NEM (NEM A) = A akarat szerint.

Egyszerűsítse a logikai funkciót

NEM A. NEM B. NEM C + NEM A. NEM B. C + NEM A. NEM C a minimális kifejezésig

NEM A. NEM B. (NEM C + C) + NEM A. NEM C; Faktoring (NEM A. NEM B) közös tényezővel

NEM A. NEM B. (1) + NEM A. NEM C; A + tétel szerint NEM A = 1

(NEM A. NEM B) + (NEM A. NEM C); A nulla tétel és az egység szabálya szerint 1. A = A

NEM A (NEM B + NEM C); A faktoring NEM egy közös tényezővel

NEM A. NEM (B. C.); A Morgan törvényei szerint NEM (A. B) = NEM A + NEM B

NEM Morgan törvényei szerint NEM (A. B) = NEM A + NEM B

A vastag betűvel jelölt 4 lehetőség bármelyike ​​lehetséges megoldást jelent az áramkör szintjének csökkentésére

Egyszerűsítse a logikai funkciót a legegyszerűbb formájáig

(A. NEM B. C + A. NEM B. B. D + NEM A. NEM B). C

(A. NEM B. C + A. 0. D + NEM A. NEM B). C; A. tétel szerint NEM A = 0

(A. NEM B. C + 0 + NEM A. NEM B). C; A. tétel szerint 0 = 0

(A. NEM B. C + NEM A. NEM B). C; A + 0 = A tétel szerint

NAK NEK. NEM B. C. C + NEM A. NEM B. C; A termék eloszlása ​​az összeghez viszonyítva

NAK NEK. NEM B. C + NEM A. NEM B. C; A. tétel szerint A = A

NEM B. C (A + NEM A) ; Faktoring (NEM B. C.) közös tényezővel

NEM B. C (1); A + tétel szerint NEM A = 1

NEM B. C; A nulla tétel és az egység szabálya szerint 1. A = A

Irodalom

1. Boolean algebra és alkalmazásai J. Eldon Whitesitt. Continental Publishing Company, 1980.
2. Matematika és mérnöki tudomány informatika. Christopher J. Van Wyk. Számítástechnikai és Technológiai Intézet. Nemzeti Szabványügyi Iroda. Washington, DC 20234
3. Számítástechnika matematika. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton Matematika Tanszék, valamint a Massachussettsi Technológiai Intézet Számítástechnikai és AI laboratóriuma; Akamai Technologies.

4. Az elvont elemzés elemei. O'Searcoid Mícheál PhD. Matematika Tanszék. Dublini Egyetemi Főiskola, Beldfield, Dublind.
5. Bevezetés a logika és a deduktív tudományok módszertanához. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University sajtó.