AXIOMATIKUS MÓDSZER: JELLEMZŐK, LÉPÉSEK, PÉLDÁK - KULTURÁLIS SZÓKINCS - 2025

Az axiomatikus módszer vagy más néven axiomatika a tudományok által alkalmazott formális eljárás, amelynek során axiómáknak nevezett állításokat vagy állításokat fogalmaznak meg, összekapcsolják egymással a levezethetőség kapcsolatával, és amelyek egy adott rendszer hipotéziseinek vagy feltételeinek alapját képezik.

Ezt az általános meghatározást azokra az evolúciókra kell korlátozni, amelyekkel ez a módszertan a történelem folyamán volt. Mindenekelőtt egy ősi vagy tartalmi módszer létezik, amely az ókori Görögországban született Euklidészből és később Arisztotelész fejlesztette ki.

Másodszor, már a 19. században olyan geometria jelenik meg, amelynek axiómái eltérnek az Euklidészétől. És végül a formális vagy a modern axiomatikus módszer, amelynek legnagyobb exponenciája David Hilbert volt.

Az idővel történő fejlődésen túl ez az eljárás képezte a deduktív módszer alapját, amelyet a geometria és a logika során alkalmaztak, ahonnan származik. A fizikában, a kémiában és a biológiában is használják.

És még a jogtudományban, a szociológiában és a politikai gazdaságtanban is alkalmazták. Jelenleg a legfontosabb alkalmazási területe a matematika és a szimbolikus logika, valamint a fizika egyes ágai, például a termodinamika, a mechanika, több tudományág között.

jellemzők

Noha ennek a módszernek az alapvető jellemzője az axiómák megfogalmazása, ezeket nem mindig vették figyelembe ugyanúgy.

Vannak olyanok, amelyeket önkényes módon lehet meghatározni és felépíteni. És mások egy olyan modell szerint, amelyben a garantált igazságot intuitív módon figyelembe veszik.

Annak érdekében, hogy megértsük, miben áll ez a különbség és annak következményei, át kell mennünk ennek a módszernek a fejlődésén.

Ősi vagy tartalmi axiomatikus módszer

Az ókori Görögországban született az ie 5. század felé. Alkalmazási területe a geometria. E szakasz alapvető munkája az Euklidész elemei, bár úgy gondolják, hogy ő előtte, Pythagoras már az axiomatikus módszer született.

Így a görögök bizonyos tényeket axiómákként vesznek át, anélkül, hogy logikai bizonyítékot igényelnének, vagyis bizonyítás nélkül, mivel számukra önmagától értetődő igazság.

A maga részéről Euclid öt tengelyt mutat be a geometria szempontjából:

1 - Ha két pontot adunk, akkor van egy vonal, amely tartalmazza vagy összekapcsolja őket.

2 - Bármelyik szegmens mindkét oldalán korlátlan sorban folyamatosan meghosszabbítható.

3 - Rajzolhat egy kört, amelynek bármely pontjában és bármely sugaras közepén van.

4-A derékszögek azonosak.

5 - Bármely egyenes és bármely pont, amely nincs benne, egyenes van egy párhuzamos vele, amely tartalmazza azt a pontot. Ezt az axiómát később a párhuzamok axiómájaként ismerjük, és úgy is megfogalmazták, hogy: egy párhuzamot lehet húzni egy vonalon kívüli pontból.

Ugyanakkor mind az Euklidész, mind a későbbi matematikusok egyetértenek abban, hogy az ötödik axióma nem olyan intuitív módon egyértelmű, mint a többi 4. Még a reneszánsz során is megkísérelik az ötödiket a másik 4-ből levezetni, de ez nem lehetséges.

Ez azt tette lehetővé, hogy az XIX. Században azok, akik fenntartják az ötöt, az euklideszi geometriát támogatták, míg azok, akik tagadták az ötödiket, azok, akik a nem-euklideszi geometriákat alkották.

Nem euklideszi axiomatikus módszer

Pontosan Nikolai Ivanovics Lobachevski, Bolyai János és Johann Karl Friedrich Gauss látják annak lehetőségét, hogy ellentmondás nélkül olyan geometriát készítsenek, amely az Euclidől eltérő axiómákból származik. Ez elpusztítja az axiómák és az azokból eredő elméletek abszolút igazságába vagy a prioriba vetett hitét.

Következésképpen az axiómákat egy adott elmélet kiindulási pontjaként kezdik felfogni. A választása és az értelemben vett értelemben vett probléma is az axiomatikus elméleten kívüli tényekhez kapcsolódik.

Ilyen módon a geometriai, az algebrai és a számtani elméletek az axiomatikus módszer segítségével épülnek fel.

Ez a szakasz az aritmetikai axiomatikus rendszerek létrehozásának csúcspontja, például Giuseppe Peano 1891-ben; David Hubert geometriája 1899-ben; Alfred North Whitehead és Bertrand Russell nyilatkozata és prediktív számításai Angliában, 1910-ben; Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo készletek axiomatikus elmélete 1908-ban.

Modern vagy formális axiomatikus módszer

David Hubert kezdeményezi a formális axiomatikus módszer koncepcióját, és ez vezet annak csúcspontjához, David Hilbert.

Pontosan Hilbert formálja a tudományos nyelvet, amikor állításait olyan képletekként vagy jelek sorozatainak tekinti, amelyeknek önmagában nincs értelme. Csak bizonyos értelmezésben szereznek jelentést.

A "Geometria alapjai" című részben elmagyarázza ennek a módszertannak az első példáját. Innentől kezdve a geometria a tiszta logikai következmények tudományává válik, amelyeket egy hipotézisek vagy axiómák rendszeréből vonnak ki, jobban megfogalmazva, mint az euklideszi rendszer.

Ennek oka az, hogy az ősi rendszerben az axiomatikus elmélet az axiómák bizonyítékán alapszik. Míg a formális elmélet megalapozásában azt axiómáinak ellentmondásának bizonyítása adja.

Lépések

A tudományos elméletekben axiomatikus strukturálást végző eljárás elismeri:

a - bizonyos számú axióma megválasztása, vagyis egy bizonyos elmélet számos olyan állítása, amelyet bizonyítás nélkül elfogadnak.

b - az ezen állítások részét képező fogalmakat az adott elmélet keretei között nem határozzuk meg.

c - meghatározzák az adott elmélet meghatározásának és levezetésének szabályait, és lehetővé teszik új fogalmak bevezetését az elméletben, és logikusan következtetnek másoktól.

d-az elmélet többi állítását, vagyis a tételt, az a-ból következtetik c alapján.

Példák

Ez a módszer a két legismertebb Euclid-tétel bizonyításával igazolható: a lábak és a magasság tétel.

Mindkettő e görög geométer megfigyeléséből fakad, hogy amikor a hipotenuszhoz viszonyított magasságot egy derékszögű háromszögben ábrázolják, akkor az eredeti két további háromszöge jelenik meg. Ezek a háromszögek hasonlóak egymással, és ugyanakkor hasonlóak a származási háromszöghez. Ez feltételezi, hogy homológ oldalaik arányosak.

Látható, hogy a háromszögek kongruens szögei ilyen módon igazolják a három érintett háromszög közötti hasonlóságot az AAA hasonlósági kritérium szerint. Ez a kritérium azt állítja, hogy ha két háromszögnek azonos szöge van, akkor hasonlóak.

Amint bebizonyosodik, hogy a háromszögek hasonlóak, az első tételben megadott arányok meghatározhatók. Ugyanaz az állítás, hogy egy derékszögű háromszögben az egyes lábak mértéke a hipotenusz és a láb kivetítése közötti geometriai arányos átlag.

A második tétel a magasság. Azt határozza meg, hogy bármely olyan háromszög magassága, amelyet a hipoténus alapján húznak, a szegmensek közötti geometriai arányos átlag, amelyet a hipotenuszon a geometriai átlag határoz meg.

Természetesen mindkét tételnek számos alkalmazásra van szerte a világon, nemcsak az oktatásban, hanem a mérnöki, a fizikai, a kémiai és a csillagászat területén is.

Irodalom

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalizmus és intuíció: David Hilbert és a formális axiomatikus módszer (1895-1905). Revista de Filosofía, 39. kötet, 2. szám, 121-146. A magazines.ucm.es oldalról vettük fel.
2. Hilbert, David. (1918) Axiomatikus gondolat. W. Ewald, szerkesztő, Kant-tól Hilbert-ig: egy forráskönyv a matematika alapjain. II. Kötet, 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Mi az axiomatikus módszer? Synthese, 2011. november, 189. kötet, 69–85. A link.springer.com oldalról származik.
4. López Hernández, José. (2005). Bevezetés a kortárs jogfilozófiába. (Pp.48-49). A (z) books.google.com.ar webhelyről származik.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Axiomatikus módszer, Ricardo Nirenberg olvasata, 1996 ősz, Albanyi Egyetem, Projekt Reneszánsz. Átvett az Albany.edu-tól.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert a matematika formális és informális oldala között. Kézirat vol. 38 no 2, Campinas, 2015. július / augusztus. Készült a scielo.br-től.