EULER-MÓDSZER: MIRE SZOLGÁL, ELJÁRÁS ÉS GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

Az Euler módszer a legalapvetőbb és legegyszerűbb eljárás az elsőrendű rendes differenciálegyenlethez közelítő numerikus megoldások megtalálására, feltéve, hogy a kezdeti állapot ismert.

Egy közönséges differenciálegyenlet (ODE) az az egyenlet, amely egyetlen független változó ismeretlen függvényét vezeti a származékaihoz.

Az egymást követő közelítések Euler módszerével. Forrás: Oleg Alexandrov

Ha az egyenletben megjelenő legnagyobb derivátum egy fokozatú, akkor ez az első fokozat közönséges differenciálegyenlete.

Az első fokú egyenlet leírásának általánosabb módja a következő:

x = x ₀

y = y ₀

Mi az Euler-módszer?

Euler módszerének célja az, hogy numerikus megoldást találjon a differenciálegyenletre az X ₀ és X _f közötti intervallumban.

Először az intervallumot n + 1 pontban kell diszkretizálni:

x ₀, x ₁, x ₂, x ₃ …, x _n

A következőket kapjuk:

x _i = x ₀ + ih

Ahol h az alsó intervallumok szélessége vagy lépése:

A kezdeti feltétellel azután a származék is megismerhető az elején:

y '(x _o) = f (x _o, y _o)

Ez a derivált az y (x) függvény görbéjéhez tartozó érintő vonal meredekségét pontosan abban a pontban reprezentálja:

Ao = (x _o, y _o)

Ezután hozzávetőlegesen megjósoljuk az y (x) függvény értékét a következő pontban:

y (x ₁) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Ezután megkaptuk a megoldás következő hozzávetőleges pontját, amely megfelelne:

A ₁ = (x ₁, y ₁)

Az eljárást megismételjük az egymást követő pontok megszerzése érdekében

A ₂, A ₃ …, x _n

Az elején látható ábrán a kék görbe a differenciálegyenlet pontos megoldását, a piros pedig az Euler-módszerrel kapott egymást követő közelítő pontokat jelöli.

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

I) Legyen a differenciálegyenlet:

X = a = 0 kezdeti feltétellel; és _a = 1

Euler módszerével kapjunk hozzávetőleges y megoldást X = b = 0,5 koordinátán, osztva az intervallumot n = 5 részre.

Megoldás

A numerikus eredményeket a következőképpen foglaljuk össze:

Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a Y-érték 0,5-ös értékére 1,4851.

Megjegyzés: A Smath Studio egy ingyenes, ingyenes felhasználású program volt a számításokhoz.

2. gyakorlat

II) Folytatva az I.) gyakorlat differenciálegyenletét, keresse meg a pontos megoldást, és hasonlítsa össze az Euler módszerrel kapott eredménnyel. Keresse meg a hibát vagy a különbséget a pontos és a hozzávetőleges eredmény között.

Megoldás

A pontos megoldást nem nehéz megtalálni. Ismert, hogy a sin (x) függvény deriváltja a cos (x) függvény. Ezért az y (x) megoldás a következő:

y (x) = sin x + C

Ahhoz, hogy a kezdeti feltétel teljesüljön és (0) = 1, a C állandónak 1-nek kell lennie. A pontos eredményt ezután összehasonlítják a hozzávetőleges feltételekkel:

Megállapítottam, hogy a számított intervallumban a közelítésnek három szignifikáns pontossági száma van.

3. gyakorlat

III) Vegye figyelembe a differenciálegyenletet és annak kezdeti feltételeit:

y '(x) = - y ²

X ₀ = 0 kezdeti feltétellel; és ₀ = 1

Az Euler módszerével keresse meg az y (x) oldat hozzávetőleges értékeit az x = intervallumon. Használja a h = 0,1 lépést.

Megoldás

Az Euler-módszer rendkívül alkalmas egy táblázat használatához. Ebben az esetben a geogebra táblázatot használjuk, egy ingyenes és nyílt forráskódú programot.

Az ábra táblázata három oszlopot mutat (A, B, C), az első az x változó, a második oszlop az y változót, a harmadik oszlop az y 'származékot jelöli.

A 2. sor tartalmazza az X, Y, Y 'kezdeti értékeit.

A 0.1 értéklépést az abszolút pozíció cellába helyeztük ($ D $ 4).

Az y0 kezdeti értéke a B2 cellában, és y1 a B3 cellában van. Az y ₁ kiszámításához a következő képletet kell használni:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Ez a táblázatképlet B3 szám lenne: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Hasonlóképpen az y2 a B4 cellában lenne, és képletét az alábbi ábra mutatja:

Az ábrán a pontos megoldás grafikonja, valamint az Euler módszerével becsült megoldás A, B,…, P pontjai is láthatók.

Newtoni dinamika és Euler-módszer

A klasszikus dinamikát Isaac Newton (1643 - 1727) fejlesztette ki. Leonard Euler (1707 - 1783) eredeti motivációja módszerének kifejlesztésére pontosan az volt, hogy megválaszolja Newton második törvényének egyenletét különböző fizikai helyzetekben.

Newton második törvényét általában a második fok differenciálegyenleteként fejezik ki:

Ahol x egy objektum helyzetét jelzi t időpontban. Az említett tárgy tömege m és F erőnek van kitéve. Az f függvény az alábbiak szerint kapcsolódik az erőhez és a tömeghez:

Az Euler módszer alkalmazásához a t idő, v sebesség és x helyzet kezdeti értékeire van szükség.

A következő táblázat ismerteti, hogy a t1, v1, x1 kezdeti értékekből kiindulva megkapjuk a v2 sebesség és az x2 helyzet közelítését, t2 = t1 + Δt pillanatban, ahol Δt kis növekedést jelent, és megfelel az Euler.

4. gyakorlat

IV) A mechanika egyik alapvető problémája az M tömegrész, amely egy K rugalmas rugóval (vagy rugóval) van kötve.

Newtonnak a problémára vonatkozó második törvénye így néz ki:

Ebben a példában az egyszerűség kedvéért M = 1 és K = 1 értéket veszünk. Keresse meg az x helyzet és v sebesség hozzávetőleges megoldásait az Euler módszerével az időintervallumon úgy, hogy az intervallumot 12 részre osztja.

Vegyük a 0 mint kezdeti pillanatot, a kezdeti sebességet 0 és az 1. kezdeti helyzetet.

Megoldás

A numerikus eredményeket a következő táblázat tartalmazza:

A 0 és 1,44 közötti időpontok és a sebesség grafikonjai is megjelennek.

Javasolt otthoni gyakorlatok

1. Feladat

Táblázat segítségével határozza meg a hozzávetőleges megoldást Euler módszerével a differenciálegyenlethez:

y '= - Exp (-y) x = 0, y = -1 kezdeti feltételekkel, x = intervallumban

Kezdje egy 0,1 lépéssel. Az eredményt ábrázoljuk.

2. gyakorlat

Táblázat segítségével keresse meg numerikus megoldásait a következő négyzetes egyenletre, ahol y a t független változó függvénye.

y '' = - 1 / y² t = 0 kezdeti feltétellel; és (0) = 0,5; y '(0) = 0

0,05 lépés segítségével keresse meg a megoldást az intervallumban.

Az eredményt ábrázoljuk: y vs t; y 'vs t

Irodalom

1. Eurler módszer A wikipedia.org-ból származik
2. Euler megoldó. Az en.smath.com oldalról származik