GAUSS-SEIDEL MÓDSZER: MAGYARÁZAT, ALKALMAZÁSOK, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

A Gauss-Seidel- módszer iteratív eljárás egy lineáris algebrai egyenletrendszer hozzávetőleges megoldásának megtalálására önkényesen megválasztott pontossággal. A módszert olyan négyszögletes mátrixokra alkalmazzák, amelyek átlója nem nulla elem, és garantált a konvergencia, ha a mátrix diagonálisan domináns.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) készítette, aki 1823-ban magánbemutatót tartott egyik diákja számára. Később 1874-ben hivatalosan közzétette Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896), innen származik a neve mindkét matematikus.

1. ábra: A Gauss-Seidel módszer gyorsan konvergál, hogy megkapjuk az egyenletrendszer megoldását. Forrás: F. Zapata.

A módszer teljes megértése érdekében tudnunk kell, hogy egy mátrix átlósan domináns, ha az egyes sorok átlós elemének abszolút értéke nagyobb, vagy egyenlő ugyanazon sor többi elemének abszolút értékeinek összegével.

Matematikailag így fejezik ki:

Magyarázat egy egyszerű eset használatával

Annak szemléltetése érdekében, hogy a Gauss-Seidel módszer miként áll, egy egyszerű esetet veszünk, amelyben X és Y értékei megtalálhatók az alább bemutatott lineáris egyenletek 2 × 2 rendszerében:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Követendő lépések

1- Először is meg kell határozni, hogy a konvergencia biztonságos-e. Azonnal megfigyelhető, hogy valójában átlósan domináns rendszer, mivel az első sorban az első együttható nagyobb abszolút értékkel rendelkezik, mint az első sorban szereplők:

-5 -> - 2-

Hasonlóképpen, a második sorban a második együttható is átlósan domináns:

--4 -> - 1-

2- Az X és Y változók törlődnek:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Tetszőleges kezdeti értéket helyezünk el, az úgynevezett "mag" -ra: Xo = 1, I = 2.

4 - Az iteráció kezdődik: az első X1, Y1 közelítés eléréséhez a magot a 2. lépés első egyenletében helyettesítjük, és az eredmény a 2. lépés második egyenletében jelentkezik:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Hasonló módon járunk el az egyenletrendszer megoldásának második megközelítésére:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Harmadik iteráció:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- negyedik iteráció, mint a szemléltető eset utolsó iterációja:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Ezek az értékek meglehetősen egyetértenek a más felbontási módszerekkel talált megoldással. Az olvasó online matematikai program segítségével gyorsan ellenőrizheti.

A módszer elemzése

Mint látható, a Gauss-Seidel módszernél az ugyanazon lépésben az előző változóhoz kapott megközelítő értékeket a következő változóval kell helyettesíteni. Ez megkülönbözteti a többi iteratív módszertől, mint például a Jacobi-féle, ahol minden egyes lépés megköveteli az előző szakasz közelítését.

A Gauss-Seidel módszer nem párhuzamos eljárás, míg a Gauss-Jordan módszer. Ez is az oka annak, hogy a Gauss-Seidel módszer gyorsabb konvergenciát mutat - kevesebb lépésben -, mint a jordán módszer.

Ami az átlósan domináns mátrix feltételt illeti, ez nem mindig teljesül. A legtöbb esetben azonban elegendő a sorok egyszerű cseréje az eredeti rendszerből, ha a feltétel teljesül. Ezenkívül a módszer szinte mindig konvergál, még akkor is, ha az átlós dominancia feltétel nem teljesül.

A Gauss-Seidel módszer négy iterációjával kapott előző eredmény tizedes formában írható:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

A javasolt egyenletrendszer pontos megoldása:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Tehát mindössze 4 iterációval eredményt kap ezred pontossággal (0.001).

Az 1. ábra szemlélteti, hogy az egymást követő iterációk milyen gyorsan konvergálnak a pontos megoldáshoz.

Alkalmazások

A Gauss-Seidel módszer nem korlátozódik csak a lineáris egyenletek 2 × 2 rendszerére. Az előző eljárást általánosíthatjuk úgy, hogy megoldjuk az n egyenlet lineáris rendszerét n ismeretlennel, amelyet az alábbi mátrixban ábrázolunk:

A X = b

Ahol A egy nxn mátrix, míg X a kiszámítandó n változó n vektor komponense; és b egy vektor, amely a független kifejezések értékeit tartalmazza.

A szemléltetett esetben az nxn rendszerhez alkalmazott iterációk sorozatának általánosítása céljából, amelyből az Xi változót kiszámítani akarjuk, a következő képletet kell alkalmazni:

Ebben az egyenletben:

- k a k iterációval kapott érték indexe.

-k + 1 az új értéket jelzi az alábbiakban.

Az iterációk végleges számát akkor határozzuk meg, ha a k + 1 iterációban kapott érték különbözik a közvetlenül azelőtt kapott értéktől olyan ε értékkel, amely pontosan a kívánt pontosság.

Példák a Gauss-Seidel módszerre

- 1. példa

Írj egy általános algoritmust, amely lehetővé teszi az nxn egyenlet lineáris rendszerének megközelítő X megoldásainak vektorának kiszámítását, az A együttható mátrixának, a független b feltételek vektorának, az iterációk számának (i ​​ter), valamint a kiindulási értéknek vagy a "magnak" megfelelően "az X vektor".

Megoldás

Az algoritmus két „To” ciklusból áll, az egyik az iterációk számát, a másik a változók számát tartalmazza. Ez a következő lenne:

K ∊ esetén

Mert én ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- 2. példa

Ellenőrizze az előző algoritmus alkalmazását az SMath Studio ingyenes és ingyenesen használható matematikai szoftverében, amely elérhető a Windows és az Android számára. Vegyünk példát a 2 × 2 mátrix esetére, amely a Gauss-Seidel módszer bemutatására segített bennünket.

Megoldás

2. ábra: A 2 x 2 példa egyenletrendszerének megoldása az SMath Studio szoftver segítségével. Forrás: F. Zapata.

- 3. példa

Alkalmazza a Gauss-Seidel algoritmust a következő 3 × 3 egyenletrendszerre, amelyet korábban úgy rendeztek, hogy az átlós együtthatók dominálnak (vagyis nagyobb abszolút értékkel rendelkezzenek, mint a ugyanaz a sor):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Használjon magként a nullvektort, és vegye figyelembe az öt iterációt. Kommentáld az eredményt.

Megoldás

3. ábra: A 3. példa szerinti egyenletrendszer megoldása az SMath Studio használatával. Forrás: F. Zapata.

Ugyanazon rendszerhez, amelynél 5 is helyett 10 ismétlést alkalmazunk, a következő eredményeket kapjuk: X1 = -0,485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Ez azt jelenti, hogy öt iteráció elegendő három tizedes pontosság eléréséhez, és hogy a módszer gyorsan konvergál a megoldáshoz.

- 4. példa

A fent megadott Gauss-Seidel algoritmussal keresse meg a megoldást az alább megadott 4 × 4 egyenletrendszerre:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x 1 - 1 x 2 + 10 x 3 - 1 x 4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

A módszer elindításához használja ezt a magot:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 és x4 = 0

Vegyünk 10 iterációt, és becsüljük meg az eredmény hibáját, összehasonlítva a 11. iterációs számmal.

Megoldás

4. ábra: A 4. példa szerinti egyenletrendszer megoldása az SMath Studio használatával. Forrás: F. Zapata.

A következő iterációval (11. szám) összehasonlítva az eredmény azonos. A két iteráció között a legnagyobb különbség 2 × 10 ^-8, azaz a megjelenített megoldás pontossága legalább hét tizedesjegy.

Irodalom

1. Iteratív megoldási módszerek. Gauss-Seidel. Helyreállítva: cimat.mx
2. Numerikus módszerek. Gauss-Seidel. Helyreállítva: test.cua.uam.mx
3. Numerikus: Gauss-Seidel módszer. Helyreállítva: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Gauss-Seidel módszer. Helyrehozva: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Gauss-Seidel módszer. Helyreállítva: es.wikipedia.com