- A mátrix inverzének kiszámítása
- 1. módszer: Gauss-elimináció használata
- Rendszermegoldás
- 2. módszer: csatolt mátrix használata
- Inverziós mátrix képlet
- A feladat megoldódott
- Irodalom
Az inverz mátrix egy adott mátrix mátrix hogy szorozva az eredeti ad az identitás mátrix. A fordított mátrix hasznos a lineáris egyenletek rendszereinek megoldásában, ezért fontos tudni, hogyan kell kiszámítani.
A mátrixok nagyon hasznosak a fizikában, a mérnöki munkában és a matematikában, mivel kompakt eszközek az összetett problémák megoldására. A mátrixok hasznossága akkor javul, ha fordíthatók, és inverzeik is ismertek.

1. ábra: Általános 2 × 2 mátrix és annak inverz mátrixa látható. (Készítette: Ricardo Pérez)
A grafikus feldolgozás, a Big Data, az Data Mining, Machine Learning és mások területén hatékony és gyors algoritmusokat használnak nagyon nagy n-vel rendelkező nxn mátrixok inverz mátrixának értékeléséhez, ezer vagy millió sorrendben.
A fordított mátrix használatának szemléltetésére a lineáris egyenletrendszer kezelése során a legegyszerűbb esettel kezdjük: 1 × 1 mátrix.
A legegyszerűbb eset: egy változó lineáris egyenletét vesszük figyelembe: 2 x = 10.
Az ötlet az, hogy megtaláljuk az x értékét, de ezt "mátrixban" hajtjuk végre.
Az M = (2) mátrix, amely megszorozza a (x) vektort, egy 1 × 1 mátrix, amely a (10) vektort eredményezi:
M (x) = (10)
Az M mátrix inverzét M -1 jelöli.
A "lineáris rendszer" általános írásának módja a következő:
MX = B, ahol X a (x) vektor és B a (10) vektor.
Definíció szerint az inverz mátrix az, amely az eredeti mátrixszor szorozva az I azonosító mátrixot eredményezi:
M -1 M = I
A vizsgált esetben az M -1 mátrix a (½) mátrix, azaz M -1 = (½), mivel M -1 M = (½) (2) = (1) = I
Az ismeretlen X = (x) vektor megtalálásához a javasolt egyenletben mindkét tagot megszorozzuk a fordított mátrixszal:
M -1 M (x) = M -1 (10)
(½) (2) (x) = (½) (10)
(½ 2) (x) = (½ 10)
(1) (x) = (5)
(x) = (5)
Elérte a két vektor egyenlőségét, amelyek csak akkor egyenlők, ha a megfelelő elemek egyenlők, azaz x = 5.
A mátrix inverzének kiszámítása
A fordított mátrix kiszámítását az motiválja, hogy egy univerzális módszert találjon a lineáris rendszerek megoldására, például a következő 2 × 2 rendszerre:
x - 2 y = 3
-x + y = -2
Az 1 × 1 eset lépéseit követve, amelyeket az előző szakaszban vizsgáltunk, az egyenletrendszert mátrix formában írjuk:

2. ábra. Lineáris rendszer mátrix formában.
Vegye figyelembe, hogy ezt a rendszert a következők szerint írják kompakt vektor jelöléssel:
MX = B
ahol

A következő lépés az M inverzének megtalálása.
1. módszer: Gauss-elimináció használata
A Gauss-féle eliminációs módszert kell alkalmazni. Ami az elemi műveletek elvégzését jelenti a mátrix sorain, ezek a következő műveletek:
- Szorozzuk meg a sort egy nullán kívüli számmal.
- Egy sor hozzáadása vagy kivonása egy sorból, vagy egy másik sor többszöröse.
- Cserélje ki a sorokat.
A cél ezen műveletek révén az eredeti mátrix identitásmátrixvá konvertálása.
Amint ez megtörténik, az M mátrixban pontosan ugyanazokat a műveleteket kell alkalmazni az identitási mátrixra. Ha a sorokon végzett több művelet után az M átalakul az egység mátrixszá, akkor az, amely eredetileg az egység volt, M fordított mátrixává válik, azaz M -1.
1- A folyamatot az M mátrix, és mellette az mátrix írásával kezdjük:

2- Összeadjuk a két sort, és az eredményt a második sorba tesszük, így a második sor első elemében nullát kapunk:

3- Szorozzuk meg a második sort -1-gyel, hogy 0 és 1 legyen a második sorban:

4- Az első sort megszorozzuk ½-del:

5- A második és az első hozzáadásra kerül, és az eredményt az első sorba helyezzük:

6- A folyamat befejezéséhez az első sort megszorozzuk 2-sel, hogy az első sorban az azonosító mátrixot, a másodikban az eredeti M mátrix fordított mátrixát kapjuk:

Vagyis:

Rendszermegoldás
Miután megkaptuk a fordított mátrixot, az egyenletrendszert úgy oldjuk meg, hogy a fordított mátrixot alkalmazzuk a kompakt vektor egyenlet mindkét tagjára:
M- 1 M X = M- 1 B
X = M- 1 B
Amely kifejezetten így néz ki:

Ezután a mátrixszorzást elvégezzük, hogy X vektort kapjunk:

2. módszer: csatolt mátrix használata
Ebben a második módszer a fordított mátrixba számítjuk a csatlakozómodulok mátrix az eredeti mátrix A.
Tegyük fel, hogy az A mátrixot megadja:

ahol i, j az az elem i sorában és j oszlopában a mátrix A.
A adjoint A mátrix A fogja hívni korr (A) és annak elemei a következők:
ad i, j = (-1) (i + j) ¦Ai, j¦
ahol Ai, j a komplementer alsó előállított mátrix kiküszöbölésével i sorában és j oszlopában az eredeti mátrix A. Az ¦ ¦ oszlopok azt jelzik, hogy a determináns kiszámításra kerül , vagyis ¦Ai, j¦ a kisebb komplementer mátrix meghatározója.
Inverziós mátrix képlet
A képlet az eredeti mátrix szomszédos mátrixából kiindulva az inverz mátrix megtalálásához a következő:

Van, az inverz mátrixa Egy, A -1, a transzponáltját csatlakozómodulok a A osztva a meghatározója A.
A transzponáltját Egy T mátrix Egy kapunk cseréjével sor oszlopok, azaz, az első sor lesz az első oszlop és a második sor válik a második oszlop és így tovább, amíg az N sorok az eredeti mátrix befejeződött.
A feladat megoldódott
Legyen az A mátrix a következő:

Az A szomszédos mátrix minden elemét kiszámítjuk: Adj (A)

Ennek eredményeként az A, Adj (A) szomszédos mátrixa a következő:

Ezután kiszámítják az A mátrix meghatározóját, det (A):

Végül az A fordított mátrixát kapjuk:

Irodalom
- Anthony Nicolaides (1994) Determinánsok és mátrixok. Pass közzététel.
- Awol Assen (2013) Tanulmány 3 × 3 determinánsok kiszámításáról
- Casteleiro Villalba M. (2004) Bevezetés a lineáris algebrába. ESIC szerkesztőség.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Matematika: A tanulók túlélési útmutatója. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30 másodperces matematika: A matematika 50 legjobban szem előtt tartó elmélete. Ivy Press Limited.
- Mátrix. Lap Lambert Tudományos Kiadó.
