INVERZIÓS MÁTRIX: SZÁMÍTÁS ÉS MEGOLDOTT FELADAT - MATEMATIKA - 2026

Az inverz mátrix egy adott mátrix mátrix hogy szorozva az eredeti ad az identitás mátrix. A fordított mátrix hasznos a lineáris egyenletek rendszereinek megoldásában, ezért fontos tudni, hogyan kell kiszámítani.

A mátrixok nagyon hasznosak a fizikában, a mérnöki munkában és a matematikában, mivel kompakt eszközek az összetett problémák megoldására. A mátrixok hasznossága akkor javul, ha fordíthatók, és inverzeik is ismertek.

1. ábra: Általános 2 × 2 mátrix és annak inverz mátrixa látható. (Készítette: Ricardo Pérez)

A grafikus feldolgozás, a Big Data, az Data Mining, Machine Learning és mások területén hatékony és gyors algoritmusokat használnak nagyon nagy n-vel rendelkező nxn mátrixok inverz mátrixának értékeléséhez, ezer vagy millió sorrendben.

A fordított mátrix használatának szemléltetésére a lineáris egyenletrendszer kezelése során a legegyszerűbb esettel kezdjük: 1 × 1 mátrix.

A legegyszerűbb eset: egy változó lineáris egyenletét vesszük figyelembe: 2 x = 10.

Az ötlet az, hogy megtaláljuk az x értékét, de ezt "mátrixban" hajtjuk végre.

Az M = (2) mátrix, amely megszorozza a (x) vektort, egy 1 × 1 mátrix, amely a (10) vektort eredményezi:

M (x) = (10)

Az M mátrix inverzét M ^-1 jelöli.

A "lineáris rendszer" általános írásának módja a következő:

MX = B, ahol X a (x) vektor és B a (10) vektor.

Definíció szerint az inverz mátrix az, amely az eredeti mátrixszor szorozva az I azonosító mátrixot eredményezi:

M ^-1 M = I

A vizsgált esetben az M ^-1 mátrix a (½) mátrix, azaz M ^-1 = (½), mivel M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Az ismeretlen X = (x) vektor megtalálásához a javasolt egyenletben mindkét tagot megszorozzuk a fordított mátrixszal:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Elérte a két vektor egyenlőségét, amelyek csak akkor egyenlők, ha a megfelelő elemek egyenlők, azaz x = 5.

A mátrix inverzének kiszámítása

A fordított mátrix kiszámítását az motiválja, hogy egy univerzális módszert találjon a lineáris rendszerek megoldására, például a következő 2 × 2 rendszerre:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Az 1 × 1 eset lépéseit követve, amelyeket az előző szakaszban vizsgáltunk, az egyenletrendszert mátrix formában írjuk:

2. ábra. Lineáris rendszer mátrix formában.

Vegye figyelembe, hogy ezt a rendszert a következők szerint írják kompakt vektor jelöléssel:

MX = B

ahol

A következő lépés az M inverzének megtalálása.

1. módszer: Gauss-elimináció használata

A Gauss-féle eliminációs módszert kell alkalmazni. Ami az elemi műveletek elvégzését jelenti a mátrix sorain, ezek a következő műveletek:

- Szorozzuk meg a sort egy nullán kívüli számmal.

- Egy sor hozzáadása vagy kivonása egy sorból, vagy egy másik sor többszöröse.

- Cserélje ki a sorokat.

A cél ezen műveletek révén az eredeti mátrix identitásmátrixvá konvertálása.

Amint ez megtörténik, az M mátrixban pontosan ugyanazokat a műveleteket kell alkalmazni az identitási mátrixra. Ha a sorokon végzett több művelet után az M átalakul az egység mátrixszá, akkor az, amely eredetileg az egység volt, M fordított mátrixává válik, azaz M ^-1.

1- A folyamatot az M mátrix, és mellette az mátrix írásával kezdjük:

2- Összeadjuk a két sort, és az eredményt a második sorba tesszük, így a második sor első elemében nullát kapunk:

3- Szorozzuk meg a második sort -1-gyel, hogy 0 és 1 legyen a második sorban:

4- Az első sort megszorozzuk ½-del:

5- A második és az első hozzáadásra kerül, és az eredményt az első sorba helyezzük:

6- A folyamat befejezéséhez az első sort megszorozzuk 2-sel, hogy az első sorban az azonosító mátrixot, a másodikban az eredeti M mátrix fordított mátrixát kapjuk:

Vagyis:

Rendszermegoldás

Miután megkaptuk a fordított mátrixot, az egyenletrendszert úgy oldjuk meg, hogy a fordított mátrixot alkalmazzuk a kompakt vektor egyenlet mindkét tagjára:

M- ¹ M X = M- ¹ B

X = M- ¹ B

Amely kifejezetten így néz ki:

Ezután a mátrixszorzást elvégezzük, hogy X vektort kapjunk:

2. módszer: csatolt mátrix használata

Ebben a második módszer a fordított mátrixba számítjuk a csatlakozómodulok mátrix az eredeti mátrix A.

Tegyük fel, hogy az A mátrixot megadja:

ahol _{i, j} az az elem i sorában és j oszlopában a mátrix A.

A adjoint A mátrix A fogja hívni korr (A) és annak elemei a következők:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

ahol Ai, j a komplementer alsó előállított mátrix kiküszöbölésével i sorában és j oszlopában az eredeti mátrix A. Az ¦ ¦ oszlopok azt jelzik, hogy a determináns kiszámításra kerül , vagyis ¦Ai, j¦ a kisebb komplementer mátrix meghatározója.

Inverziós mátrix képlet

A képlet az eredeti mátrix szomszédos mátrixából kiindulva az inverz mátrix megtalálásához a következő:

Van, az inverz mátrixa Egy, A ^-1, a transzponáltját csatlakozómodulok a A osztva a meghatározója A.

A transzponáltját Egy ^T mátrix Egy kapunk cseréjével sor oszlopok, azaz, az első sor lesz az első oszlop és a második sor válik a második oszlop és így tovább, amíg az N sorok az eredeti mátrix befejeződött.

A feladat megoldódott

Legyen az A mátrix a következő:

Az A szomszédos mátrix minden elemét kiszámítjuk: Adj (A)

Ennek eredményeként az A, Adj (A) szomszédos mátrixa a következő:

Ezután kiszámítják az A mátrix meghatározóját, det (A):

Végül az A fordított mátrixát kapjuk:

Irodalom

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinánsok és mátrixok. Pass közzététel.
2. Awol Assen (2013) Tanulmány 3 × 3 determinánsok kiszámításáról
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Bevezetés a lineáris algebrába. ESIC szerkesztőség.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Matematika: A tanulók túlélési útmutatója. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30 másodperces matematika: A matematika 50 legjobban szem előtt tartó elmélete. Ivy Press Limited.
7. Mátrix. Lap Lambert Tudományos Kiadó.