Van egy ortogonális mátrix, amikor az említett mátrixot megszorozzuk az átültetéssel, így az identitási mátrixot kapjuk. Ha egy mátrix fordítottja megegyezik az átültetéssel, akkor az eredeti mátrix merőleges.
Az ortogonális mátrixok jellemzője, hogy a sorok száma megegyezik az oszlopok számával. Ezenkívül a sorvektorok egyenes ortogonális vektorok, és az átültetési sorvektorok is.
1. ábra. Példa az ortogonális mátrixra és annak átalakítására a geometriai objektumokkal. (Készítette: Ricardo Pérez)
Ha egy ortogonális mátrixot megszorozzunk egy vektortér vektorával, akkor izometrikus transzformációt produkál, azaz olyan transzformációt, amely nem változtatja meg a távolságot és megőrzi a szöget.
Az ortogonális mátrixok tipikus képviselője a rotációs mátrixok. Az ortogonális mátrixok transzformációit egy vektor térben ortogonális transzformációknak nevezzük.
A derékszögű vektoruk által ábrázolt pontok forgásának és tükrözésének geometriai transzformációit ortogonális mátrixok alkalmazásával hajtjuk végre az eredeti vektorokon, hogy megkapjuk a transzformált vektorok koordinátáit. Ez az oka annak, hogy az ortogonális mátrixokat széles körben használják a számítógépes grafika feldolgozásában.
Tulajdonságok
Az M mátrix ortogonális, ha megszorozzuk az átültetéssel, M T eredményeként az I azonosító mátrixot kapjuk. Hasonlóképpen, az ortogonális mátrix eredeti mátrix általi átültetésének szorzata az identitás mátrixot eredményezi:
MM T = M T M = I
Az előző állítás eredményeként azt tapasztaltuk, hogy egy ortogonális mátrix átültetése egyenlő annak inverz mátrixával:
M T = M -1 .
Az nxn méretű ortogonális mátrixok halmaza az O (n) ortogonális csoportot alkotja. És az +1 determináns ortogonális mátrixok O (n) részhalmaza az SU (n) egységes speciális mátrixok csoportját alkotja. Az SU (n) csoport mátrixai olyan mátrixok, amelyek a forgás lineáris transzformációit eredményezik, amelyet forgáscsoportnak is nevezünk.
Demonstráció
Meg akarjuk mutatni, hogy egy mátrix ortogonális akkor és csak akkor, ha a sorvektorok (vagy oszlopvektorok) egymásra merőlegesen állnak és az 1. normának megfelelőek.
Tegyük fel, hogy az nxn ortogonális mátrix sorai n méretű ortonormális vektorok. Ha azt v 1 , v 2 ,… jelöli , akkor V n az n vektorhoz:
Ahol nyilvánvaló, hogy a sorvektorok halmaza valójában ortogonális vektorok egy normájával.
Példák
1. példa
Mutassa be, hogy a 2 x 2 mátrix, amelynek első sorában a v1 = (-1 0) vektor van, és a második sorában a v2 = (0 1) vektor egy ortogonális mátrix.
Megoldás: Az M mátrixot felépítjük, és átültetésének M T- jét kiszámítjuk:
Ebben a példában az M mátrix önátültetett, azaz a mátrix és annak átültetése azonos. Szorozzuk meg az M-et az átültetéssel M T:
Ellenőrizzük, hogy az MM T megegyezik-e az azonosító mátrixszal:
Ha az M mátrixot megszorozzuk egy vektor vagy egy pont koordinátáival, akkor új koordinátákat kapunk, amelyek megfelelnek a mátrix által a vektoron vagy egy ponton végrehajtott transzformációnak.
Az 1. ábra azt mutatja, hogyan M átalakítja a vektort u be u " és azt is, hogyan M átalakítja a kék poligon a piros poligon. Mivel az M ortogonális, tehát egy ortogonális transzformáció, amely megőrzi a távolságot és a szöget.
2. példa
Tegyük fel, hogy van egy 2 x 2 mátrix, amelyet a reálban a következő kifejezés határoz meg:
Keresse meg az a, b, c és d valós értékeit úgy, hogy az M mátrix egy ortogonális mátrix.
Megoldás: Definíció szerint egy mátrix ortogonális, ha megszorozzuk az átültetéssel, az identitási mátrixot kapjuk. Emlékeztetve arra, hogy az átültetett mátrixot az eredetiből nyerik, oszlopokat cserélve, a következő egyenlőség érhető el:
Mátrix szorzás végrehajtása:
A bal oldali mátrix elemeit azonosítva a jobb oldali azonosító mátrix elemeivel négyféle egyenletrendszert kapunk, amely négy ismeretlen a, b, c és d ismeretlen.
Javasoljuk a, b, c és d a következő kifejezéseket a szinusz és a kosinus trigonometrikus arányában:
Ezzel a javaslattal és az alapvető trigonometrikus identitás miatt az első és a harmadik egyenlet automatikusan teljesül a mátrix elemek egyenlőségében. A harmadik és a negyedik egyenlet azonos és mátrix egyenlőségben a javasolt értékek helyettesítése után így néz ki:
ami a következő megoldáshoz vezet:
Végül a következő megoldásokat kapjuk az M ortogonális mátrixra:
Vegye figyelembe, hogy az oldatok közül az elsőnek +1 determinánsa van, tehát az SU (2) csoporthoz tartozik, míg a második megoldásnak -1 determinánsa van, ezért nem tartozik ebbe a csoportba.
3. példa
Tekintettel a következő mátrixra, keresse meg a és b értékeit úgy, hogy ortogonális mátrix legyen.
Megoldás: Ahhoz, hogy egy adott mátrix ortogonális legyen, a transzponált terméknek azonosító mátrixnak kell lennie. Ezután elvégezzük az adott mátrix mátrix szorzatát és annak átültetett mátrixát, és a következő eredményt kapjuk:
Ezután az eredményt egyenlővé kell tenni a 3 x 3 azonosító mátrixszal:
A második sorban a harmadik oszlop értéke (ab = 0), de a nem lehet nulla, mert különben a második sor és a második oszlop elemeinek egyenlőtlensége nem teljesül. Ekkor feltétlenül b = 0. A 0 értéket b helyettesítve van:
Ezután az egyenlet megoldódik: 2a ^ 2 = 1, amelynek megoldásai: + ½√2 és -½√2.
Az a) pozitív oldatot figyelembe véve a következő ortogonális mátrixot kapjuk:
Az olvasó könnyen ellenőrizheti, hogy a sorvektorok (és az oszlopvektorok is) ortogonálisak és egységesek, azaz ortonormálisak.
4. példa
Igazoljuk, hogy a mátrix Egy, amelynek sorban vektorok v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) és v3 = (0 0 -1) egy ortogonális mátrix. Ezen felül keressük meg a vektorokat az i, j, k kanonikus bázisról u1, u2 és u3 vektorokra.
Megoldás: Nem szabad elfelejteni, hogy a mátrix (i, j) eleme, szorozva az átültetésével, az (i) sor vektorának skaláris szorzata az átültetés (j) oszlopának számával. Ezenkívül ez a termék megegyezik a Kronecker delta-val abban az esetben, ha a mátrix merőleges:
Esetünkben a következőképpen néz ki:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Amellyel megmutatjuk, hogy ez egy ortogonális mátrix.
Továbbá u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) és végül u3 = A k = (0, 0, -1)
Irodalom
- Anthony Nicolaides (1994) Determinánsok és mátrixok. Pass közzététel.
- Birkhoff és MacLane. (1980). Modern Algebra, szerk. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Bevezetés a lineáris algebrába. ESIC szerkesztőség.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Matematika: A tanulók túlélési útmutatója. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30 másodperces matematika: A matematika 50 legjobban szem előtt tartó elmélete. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Ortogonális mátrix. Helyreállítva: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Ortogonális mátrix. Helyreállítva: en.wikipedia.com