TEHETETLENSÉG PILLANATA: KÉPLETEK, EGYENLETEK ÉS SZÁMÍTÁSI PÉLDÁK - FIZIKAI - 2026

A merev test tehetetlenségi momentuma egy bizonyos forgástengelyhez viszonyítva azt jelenti, hogy ellenáll annak szögsebességének a tengely körül történő megváltoztatásához. Arányos a tömeggel és a forgástengely helyzetével, mivel a test geometriájától függően könnyebben foroghat bizonyos tengelyek körül, mint másokban.

Tegyük fel, hogy egy nagy része (sok részecskéből áll), amely tengely körül foroghat. Tegyük fel, hogy egy erő F jár, érintőirányban kifejtett a tömeges elem AMa _i, amely olyan nyomatékot keit, vagy a pillanatban, adott τ _nettó = Σ r _i x F _i. A vektor r _i a helyzet a AMa _i (lásd a 2. ábrát).

1. ábra. A különféle figurák tehetetlenségi pillanatai. Forrás: Wikimedia Commons.

Ez a pillanat merőleges a forgás síkjára (irány + k = elhagyja a papírt). Mivel az erő és a sugárirányú helyzet mindig merőleges, a kereszttermék továbbra is megmarad:

τ _nettó = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i) k

2. ábra: A szilárd szilárd anyaghoz tartozó részecske forgás közben. Forrás: Serway, R. 2018. Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Cengage tanulás.

Az a _i gyorsulás a gyorsulás tangenciális összetevőjét képviseli, mivel a sugárirányú gyorsulás nem járul hozzá a nyomatékhoz. Az α szöggyorsulás függvényében megjelölhetjük, hogy:

Ezért a nettó nyomaték így néz ki:

τ _nettó = ∑ Δm _i (α r _i ²) k = (∑ r _i ² Δm _i) α k

Az α szöggyorsulás az egész objektum esetében azonos, ezért az "i" alindex nem befolyásolja, és elhagyhatja az összegzést, amely pontosan az objektum tehetetlenségének pillanatát jelenti, amelyet az I betű szimbolizál:

Ez a diszkrét tömegeloszlás tehetetlenségi pillanata. Ha az eloszlás folyamatos, az összegzést helyettesítjük egy integrállal, és Δm tömegkülönbség dm lesz. Az integrálást az egész tárgyon végzik:

A SI Nemzetközi Rendszer tehetetlenségének egységei kg xm ². Ez egy skaláris és pozitív mennyiség, mivel a tömeg és a távolság négyzetének szorzata.

Számítási példák

Olyan kiterjesztett tárgyat, mint például sáv, tárcsa, gömb vagy más, amelynek ρ sűrűsége állandó, és tudva, hogy a sűrűség a tömeg / térfogat arány, a dm tömegkülönbséget a következőképpen kell írni:

Kicserélve az integrált tehetetlenségi pillanatra:

Ez egy általános kifejezés, amely egy háromdimenziós objektumra érvényes, amelynek V térfogata és r pozíciója az x, y és z térbeli koordináták függvényei. Vegye figyelembe, hogy a sűrűség állandó marad az integrálon kívül.

A ρ sűrűséget tömegsűrűségnek is nevezzük, de ha a tárgy nagyon sima, mint egy lemez, vagy nagyon vékony és keskeny, mint egy rudat, akkor a sűrűség más formái is használhatók, lássuk:

- Nagyon vékony lemez esetén a használandó sűrűség σ, a felületi sűrűség (tömeg egységnyi területre) és dA a területkülönbség.

- És ha ez egy vékony rúd, ahol csak a hosszúság releváns, akkor az λ lineáris tömeg-sűrűséget és a hossz-különbséget kell használni a referenciaként használt tengely szerint.

A következő példákban az összes tárgyat merevnek (nem deformálhatónak) tekintik és egyenletes sűrűséggel rendelkezik.

Vékony rudat tehetetlenségi pillanata a középpontjában áthaladó tengelyhez viszonyítva

Itt kiszámoljuk egy vékony, merev, homogén L hosszúságú és M tömegű tehetetlenségi nyomatékot a közegen áthaladó tengelyhez viszonyítva.

Először létre kell hozni egy koordinátarendszert, és fel kell építeni egy ábrát a megfelelő geometriával, így:

3. ábra: A vékony rúd tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához használt geometria a középpontján áthaladó függőleges tengelyhez viszonyítva. Forrás: F. Zapata.

A forgástengelynek a sáv mentén az x tengelyt és az y tengelyt választottuk. Az integrál létrehozására szolgáló eljáráshoz meg kell választani a rúd tömegkülönbségét is, úgynevezett dm, amelynek hosszúságú dx különbsége van és tetszőleges x helyzetben van, x = 0 középpontjához viszonyítva.

A λ lineáris tömeg-sűrűség meghatározása szerint:

Mivel a sűrűség egységes, ami érvényes az M-re és az L-re, ez érvényes a dm-re és dx-re is:

Másrészt, a tömeg elem x helyzetben van, tehát ennek a geometrianak a meghatározásban való helyettesítésével egy határozott integrált van, amelynek határai a sáv végei vannak a koordinátarendszer szerint:

A λ = M / L lineáris sűrűség helyettesítése:

A rúd tehetetlenségének pillanatát egy másik forgástengelyhez viszonyítva, például az egyik, amely áthalad annak egyik végén, használhatja Steiner tételét (lásd a végén megoldott feladatot), vagy végezhet egy közvetlen számítást, amely hasonló a bemutatotthoz. itt, de a geometria megfelelő módosítása.

A tárcsa tehetetlenségi pillanata a közepén áthaladó tengelyhez viszonyítva

A nagyon vékony, elhanyagolható vastagságú lemez egy lapos alak. Ha a tömeg egyenletesen oszlik meg az A terület teljes felületén, akkor a σ tömegsűrűség:

A dm és a dA egyaránt megfelelnek az ábrán látható differenciál gyűrű tömegének és területének. Feltételezzük, hogy az egész szerelvény az y tengely körül forog.

Elképzelhető, hogy a tárcsa sok koncentrikus, r sugarat tartalmazó gyűrűből áll, mindegyikük megfelelő tehetetlenségi nyomatékkal rendelkezik. Összeadva az összes gyűrű hozzájárulását, amíg el nem éri az R sugarat, megkapjuk a korong teljes tehetetlenségi nyomatékát.

4. ábra: A tárcsa tehetetlenségi nyomatékának a tengelyhez viszonyított kiszámításához használt geometria. Forrás: F. Zapata.

Ahol M a lemez teljes tömegét jelöli. A tárcsa területe r sugárától függ, mint:

Az r szempontjából származik:

A fentiek helyettesítése az I. meghatározásban:

A σ = M / (π.R ²) helyettesítésével kapjuk:

Átmérőjű szilárd gömb tehetetlenségének pillanata

Az R sugárgömb olyan tárcsasorozatnak tekinthető, amely egymásra vannak rakva, és ahol minden egyes korlátlan dm, r sugár és dz vastagságú tárcsa tehetetlenségi pillanattal rendelkezik:

Ennek a különbségnek a meghatározásához egyszerűen az előző szakaszból vett képletet vettünk, és helyettesítettük az M és R értékeit dm-vel és r-vel. Egy ilyen lemez lehet az 5. ábra geometriájában.

5. ábra: Az R sugarú szilárd gömb tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához az átmérőn áthaladó tengelyhez viszonyított geometria. Forrás: F. Zapata.

A egymásra rakott tárcsák végtelen minimális tehetetlenségi nyomatékának hozzáadásával a gömb teljes tehetetlenségi nyomatékát kapjuk:

Amely azzal egyenértékű:

Az integrál megoldásához meg kell fejezni a dm értéket. Mint mindig, ezt a sűrűség alapján érik el:

A differenciállemez térfogata:

A korong magassága a vastagság dz, míg az alap területe πr ², tehát:

A javasolt integrál helyettesítése így néz ki:

Az integrálás előtt azonban meg kell jegyezni, hogy r - a tárcsa sugara - ztől és R-től - a gömb sugaratól függ - amint az az 5. ábrából látható: A Pitagorasi tétel felhasználásával:

Ami oda vezet minket:

A teljes gömb integrálásához megjegyezzük, hogy z –R és R között változik, ezért:

Tudva, hogy ρ = M / V = ​​M / végül megkapjuk, az egyszerűsítés után:

A szilárd henger tehetetlenségi pillanata a tengelyhez képest

Ehhez az objektumhoz a gömbnél alkalmazott módszerhez hasonló módszert alkalmaznak, csak ezúttal könnyebb, ha a hengert úgy gondolják, hogy egy r sugárú, dr vastagságú és H magasságú hengeres kagylókból áll, mintha egy hagyma rétegei lennének..

6. ábra: Az R sugarú szilárd henger tehetetlenségi nyomatékának tengelyirányhoz viszonyított kiszámításához használt geometria. Forrás: Serway, R. 2018. Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Cengage.

A hengeres réteg dV térfogata:

Ezért a héj tömege:

Ezt a kifejezést a tehetetlenségi nyomaték meghatározása helyettesíti:

A fenti egyenlet azt jelzi, hogy a henger tehetetlenségi nyomatéka nem a hosszától, hanem csak a tömegétől és a sugártól függ. Ha L megváltozik, akkor a tengely körül a tehetetlenségi nyomaték változatlan marad. Ezért a henger I értéke megegyezik a korábban kiszámított vékony korongéval.

A téglalap alakú lemez tehetetlenségi pillanata a közepén áthaladó tengelyhez viszonyítva

A vízszintes y tengelyt választottuk forgástengelyként. Az alábbi ábra az integráció végrehajtásához szükséges geometriát mutatja:

7. ábra: A téglalap alakú lemez tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához szükséges geometria a lapkal párhuzamos tengelyhez viszonyítva, amely áthalad a központjában. Forrás: F. Zapata.

A piros elemmel jelölt terület elem téglalap alakú. Területe alap x magasság, tehát:

Ezért a tömegkülönbség:

Ami a terület elem és a forgástengely közötti távolságot illeti, mindig z. Mindezt helyettesítjük a tehetetlenség pillanatának integráljában:

Most a σ felületi sűrűség helyébe a következő lép:

És határozottan így néz ki:

Vegye figyelembe, hogy olyan, mint a vékony rudat.

A négyzet alakú lemez tehetetlenségi pillanata a közepén áthaladó tengelyhez viszonyítva

Az L oldalú négyzet esetén az előző négyszögre érvényes kifejezésben egyszerűen helyettesítse b értékét L értékével:

A tehetetlenségi tételek pillanata

Két különösen hasznos tétel létezik, amelyek egyszerűsítik a tehetetlenségi nyomatékok kiszámítását más tengelyekhez viszonyítva, amelyeket egyébként nehéz lehet megtalálni a szimmetria hiánya miatt. Ezek a tételek a következők:

Steiner tétele

Párhuzamos tengely tételként is nevezik, és a tehetetlenségi nyomatékot egy tengelyhez viszonyítja egy másik elemmel, amely áthalad a tárgy tömegközéppontján, mindaddig, amíg a tengelyek párhuzamosak. Ennek alkalmazásához meg kell ismerni a két tengely közötti D távolságot és természetesen a tárgy M tömegét.

Legyen I _z egy objektum tehetetlenségi pillanata, amely kiterjed a z tengelyre; I _CM a tehetetlenség pillanata egy tengelyre, amely áthalad az említett tárgy tömegközéppontjában (CM), akkor meggyőződik arról, hogy:

Vagy a következő ábra jelölésében: I _{z '} = I _z + Md ²

8. ábra. Steiner tétel vagy párhuzamos tengelyek. Forrás: Wikimedia Commons. Jack See

Merőleges tengely tétel

Ezt a tételt sík felületekre alkalmazzák és így járnak: egy sík objektum tehetetlenségének pillanatát egy merőleges tengely körül körülveszik az első tengelyre merőleges két tengely körüli tehetetlenségi nyomatékok összege:

9. ábra: merőleges tengely tétel. Forrás: F. Zapata.

Ha az objektum szimmetriája olyan, hogy I _x és I _y egyenlő, akkor igaz, hogy:

A feladat megoldódott

Keresse meg a rudat tehetetlenségi nyomatékát az egyik végén áthaladó tengelyhez képest, az 1. ábra szerint (lent és jobbra) és a 10. ábra szerint.

10. ábra: Az egyik végén átmenő tengely körül homogén rudat tehetetlenségének pillanatát. Forrás: F. Zapata.

Megoldás:

Már van a rúd tehetetlenségi pillanatja a geometriai középpontját áthaladó tengely körül. Mivel a rúd homogén, tömegközéppontja ezen a ponton van, tehát ez lesz az I _CM a Steiner-tétel alkalmazásához.

Ha az oszlop hossza L, akkor a z tengely D = L / 2 távolságra van, tehát:

Irodalom

1. Bauer, W. 2011. Fizika a mérnöki és tudományos munkához. 1. kötet. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. A fizika alapjai. Pearson. 190-200.
3. Párhuzamos tengely tétel. Helyreállítva: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Cengage.
5. Sevilla Egyetem. Gömb alakú szilárd tehetetlenségi nyomaték. Helyreállítva: laplace.us.es.
6. Sevilla Egyetem. A részecskerendszer tehetetlenségének pillanata. Helyreállítva: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Párhuzamos tengely tétel. Helyreállítva: en.wikipedia.org