EULER SZÁM VAGY E SZÁM: MENNYIT ÉR, TULAJDONSÁGOK, ALKALMAZÁSOK - MATEMATIKA - 2024

Az Euler-szám vagy az e-szám egy jól ismert matematikai állandó, amely számos tudományos és gazdasági alkalmazásban gyakran megjelenik, a π-számmal és a matematika más fontos számaival együtt.

Egy tudományos számológép az e számra a következő értéket adja vissza:

1. ábra. Euler száma gyakran megjelenik a Science-ben. Forrás: F. Zapata.

e = 2,718281828…

De még sok más tizedesjegy is ismert, például:

e = 2,71828182845904523536…

És a modern számítógépek milliárd tizedesjegyet találtak az e számra.

Irracionális szám, ami azt jelenti, hogy végtelen számú tizedes pontossággal rendelkezik, ismétlődő mintázat nélkül (az 1828 sorozat kétszer jelenik meg az elején, és már nem ismétlődik).

Ez azt is jelenti, hogy az e szám nem szerezhető meg két egész szám hányadosaként.

Történelem

Az e számot Jacques Bernoulli tudós ismerte fel 1683-ban, amikor az összetett érdek problémáját vizsgálta, de korábban közvetett módon jelenik meg a John Napier skót matematikus munkájában, aki 1618 körül logaritmusokat talált ki.

Leonhard Euler azonban 1727-ben adta neki az e számot és intenzíven vizsgálta tulajdonságait. Ezért is ismert Euler számként, valamint a jelenleg használt természetes logaritmusok (exponensek) természetes alapjaként.

Mennyit ér az e szám?

Az e szám érdemes:

e = 2,71828182845904523536…

Az ellipszis azt jelenti, hogy végtelen számú tizedes pont van, és a mai számítógépekkel valójában ezek milliói ismertek.

Az e szám ábrázolása

Az e meghatározásának többféle módja van, amelyeket alább írunk le:

Az e szám korlátozásként

Az e szám kifejezésének egyik módja az, amelyet Bernoulli tudós talált összetett kamatú munkáiban:

Ebben az esetben az n értéket nagyon nagy számmal kell megadni.

Könnyen ellenőrizni egy számológép segítségével, hogy ha n nagyon nagy, akkor az előző kifejezés a fent megadott e értékre hajlamos.

Természetesen megkérdezhetjük magunktól, hogy mekkora n lehet, tehát próbáljuk meg kerek számokat, például ezeket:

n = 1000; 10 000 vagy 100 000

Az első esetben e = 2,7169239-et kapunk. A másodikban e = 2,7181459… és a harmadikban sokkal közelebb van e értékéhez: 2,7182682. Már el tudjuk képzelni, hogy n = 1 000 000 vagy annál nagyobb esetén a közelítés még jobb lesz.

A matematikai nyelvben azt az eljárást, amellyel n közelebb kerülnek és közelebb kerülnek egy nagyon nagy értékhez, a végtelenség határának nevezzük, és így jelöljük:

A végtelenség jelöléséhez a "∞" szimbólumot kell használni.

Az e szám összegként

Az e szám ezen a művelettel is meghatározható:

A nevezőben megjelenő számok: 1, 2, 6, 24, 120… megfelelnek az n! Műveletnek, ahol:

És definíció szerint 0! = 1.

Könnyű ellenőrizni, hogy minél több kiegészítést adnak hozzá, annál pontosabban érik el az e számot.

Tegyünk néhány tesztet a számológéppel, egyre több és több kiegészítést adva hozzá:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Minél több kifejezést adunk az összeghez, annál inkább hasonlít az eredmény e.

A matematikusok összetett jelölést dolgoztak ki ezekre az összegekre, amelyek sok kifejezést tartalmaznak, az mation összegző szimbólum használatával:

Ezt a kifejezést így kell értelmezni: "n-től 0-ig terjedő végösszeg az 1 tényező közötti 1-ig".

Az e szám geometriai szempontból

Az e szám grafikus ábrázolást mutat a görbe grafikonja alatt lévő területtel kapcsolatban:

y = 1 / x

Ha x értékei 1 és e között vannak, ez a terület egyenlő 1-gyel, ahogy az a következő ábrán látható:

2. ábra. Az e szám grafikus ábrázolása: az 1 / x görbe alatti terület x = 1 és x = e között érdemes 1. Forrás: F. Zapata.

A szám tulajdonságai e

Az e szám néhány tulajdonsága a következő:

- Ez irracionális, más szóval, nem érhető el egyszerűen két egész szám elosztásával.

- Az e szám egy transzcendens szám is, ami azt jelenti, hogy e nem jelent megoldást egyetlen polinomi egyenletre sem.

- Ez négy másik híres számhoz kapcsolódik a matematika területén, nevezetesen: π, i, 1 és 0, az Euler-azonosítón keresztül:

-Az úgynevezett komplex számok kifejezhetők e-n keresztül.

- Ez képezi a mai természetes vagy természetes logaritmusok alapját (John Napier eredeti definíciója kissé eltér).

- Ez az egyetlen szám, amelyben a természetes logaritmus értéke 1, azaz:

Alkalmazások

Statisztika

Az e szám nagyon gyakran jelenik meg a valószínűség és a statisztika területén, különféle eloszlásokban, például normál vagy Gauss, Poisson és mások esetében.

Mérnöki

A mérnöki tervezésben ez gyakori, mivel az y = e ^x exponenciális függvény például a mechanikában és az elektromágnesességben van jelen. A sok alkalmazás közül megemlíthetjük:

-A kábel vagy lánc, amelyet a végek megtartanak, a következő görbe alakját alakítja ki:

y = (e ^x + e ^-x) / 2

-A kezdetben kisütött C kondenzátor, amelyet sorosan csatlakoztatnak az R ellenálláshoz és a V feszültségforráshoz, a t idő függvényében egy bizonyos Q töltést kap:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC})

biológia

Az y = Ae ^Bx exponenciális függvényt A és B állandóval a sejtnövekedés és a baktériumok növekedésének modellezésére használják.

Fizikai

A nukleáris fizikában a radioaktív bomlást és az életkor meghatározását a szénhidrogén randevú modellezés modellezi.

Gazdaság

Az összetett kamat kiszámításakor az e szám természetesen felmerül.

Tegyük fel, hogy van egy bizonyos összeget P _o befektetni egy kamatláb i% évente.

Ha 1 évre hagyja a pénzt, azután:

Egy újabb év után, anélkül, hogy megérintené, a következők lesznek:

És így folytatva n évet:

Most emlékezzünk az e definíciójának egyikére:

Kicsit úgy néz ki, mint a P kifejezés, tehát kapcsolatnak kell lennie.

Az i nominális kamatlábat n időtartamra osztjuk szét, így az összetett kamatláb i / n lesz:

Ez a kifejezés kissé hasonlít a határértékünkre, de még mindig nem pontosan ugyanaz.

Néhány algebrai manipuláció után azonban megmutatható, hogy a változó megváltoztatásával:

P pénzünk:

És mi van a zárójelek között, még ha h betűvel is írják, megegyezik az e számot meghatározó határérték érvelésével, hiányzik csak a határérték.

Tegyük fel h → ∞-t, és az, ami a zárójelek között van, e szám lesz. Ez nem azt jelenti, hogy végtelen hosszú ideig várnunk kell a pénzünk kivonására.

Ha közelebbről megnézzük, ha h = n / i és to hajlamosak vagyunk, akkor valójában megtettük a kamatlábat nagyon-nagyon kis időszakokra:

i = n / h

Ezt folyamatos keverésnek nevezzük. Ebben az esetben a pénzösszeget így kell kiszámítani:

Ahol i az éves kamatláb. Például ha 12 € -t fizetsz be évente 9% -kal, folyamatos tőkésítéssel, egy év után:

1,13 euró nyereséggel.

Irodalom

1. Élvezze a matematikát. Összetett kamat: Periodikus összetétel. Helyreállítva: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Változatos. CO-BO kiadások.
3. García, M. Az e szám az alapvető számításban. Helyreállítva: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Egy változó kiszámítása. 9.. Kiadás. McGraw Hill.