ÖSSZETETT SZÁMOK: JELLEMZŐK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

Az összetett számok azok az egész számok, amelyeknek kettőnél több elválasztója van. Ha közelebbről megnézzük, akkor minden szám legalább pontosan elosztható önmagában és 1-gyel. Azokat, akiknek csak ez a két osztójuk van, prímnek nevezzük, és azokat, amelyeknek több van, összetett.

Nézzük meg a 2-es számot, amelyet csak 1 és 2 között lehet felosztani. A 3-nak szintén két osztója van: 1 és 3. Ezért mindkettő elsődleges. Most nézzük meg a 12-et, amelyet pontosan oszthatunk 2, 3, 4, 6 és 12-rel. Ha 5 osztóval rendelkezünk, 12 egy összetett szám.

1. ábra: A kék alapon megadott számok csak egyetlen sor ponttal vannak ábrázolva, nem pedig a vörös összetett számokkal. Forrás: Wikimedia Commons.

És mi történik az 1. számmal, amely osztja az összes többi? Nos, nem prím, mert nem rendelkezik két osztóval, és nem is összetett, tehát az 1 nem tartozik e két kategória egyikébe sem. De sok, még sok más van.

A kompozit számokat prímszámok szorzataként lehet kifejezni, és ez a tényező a tényezők sorrendjének kivételével minden számra egyedi. Ezt biztosítja az aritmetikai alaptétel, amelyet a görög matematikus Euclid (325-365) bizonyított.

Térjünk vissza a 12. számhoz, amelyet különféle módon tudunk kifejezni. Próbáljuk meg néhányat:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

A vastag betűvel kiemelt formák prímszámok, és az egyetlen dolog, amely megváltozik, a tényezők sorrendje, amelyről tudjuk, hogy nem változtatja meg a terméket. A többi forma, bár a 12 kifejezésére érvényes, nem kizárólag prímből áll.

Példák összetett számokra

Ha azt szeretnénk, hogy egy összetett számot lebontunk annak primer tényezőire, akkor azt el kell osztani a prímszámok között úgy, hogy az osztás pontos legyen, vagyis a fennmaradó érték 0.

Ezt az eljárást prime faktorizációnak vagy kanonikus bomlásnak nevezzük. Az elsődleges tényezőket pozitív kitevőkre lehet emelni.

Az 570 számot bontjuk, megjegyezve, hogy egyenletes és ezért osztható 2-vel, ami egy prima szám.

A sáv segítségével elválasztjuk a bal oldalon lévő számot a jobb oldalon lévő elválasztótól. A megfelelő hányadosokat a szám alá helyezzük, ahogyan megkapjuk. A bomlás akkor fejeződik be, amikor a bal oszlop utolsó száma 1:

570 282

285 │

Ha ketté osztjuk, akkor a hányados 285, amely osztható 5-gyel, egy másik prímszámmal, amely 5-del zárul.

570 282

285 575

57 │

Az 57 osztható 3-val, szintén prímtel, mivel az 5 + 7 = 12 számjegyeinek összege a 3-szoros.

570 282

285 │5

57 │3

19 │

Végül 19-et kapunk, amely egy prímszám, amelynek osztói 19 és 1:

570 282

285 │5

57 │3

19 │19

1 │

Az 1 megszerzésével az 570-et kifejezhetjük így:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

És látjuk, hogy valójában ez 4 prímszám szorzata.

Ebben a példában 2-el kezdjük el osztani, de ugyanazokat a tényezőket (egy másik sorrendben) kaphatnánk, ha például 5-szel osztjuk.

2. ábra: A 42 összetett szám fa alakú diagram segítségével is bontható. Forrás: Wikimedia Commons.

Oszthatósági kritériumok

Ahhoz, hogy egy összetett számot lebonthassunk elsődleges tényezőire, pontosan el kell osztani. Az elsődleges számok megoszthatóságának kritériumai olyan szabályok, amelyek lehetővé teszik, hogy megtudja, mikor egy szám pontosan osztható-e egy másikkal, anélkül, hogy meg kellene próbálnia vagy bizonyítani.

- Megoszthatóság 2-del

Az összes páros szám, azok, amelyek 0-val végződnek, vagy egy páros szám, osztható 2-del.

- 3-os oszthatóság

Ha egy szám számjegye összege 3-szoros, akkor a szám is, tehát 3-dal osztható.

- oszthatóság 5-szel

A 0-val vagy 5-rel végződő számok oszthatók 5-del.

-Elosztás 7-re

A szám osztható 7-gyel, ha az utolsó számjegy elválasztásakor, szorzásával 2-gyel és a fennmaradó szám kivonásával az eredményül kapott eredmény szorzata 7.

Ez a szabály kicsit bonyolultabbnak tűnik, mint az előzőek, de a valóságban nem annyira, tehát nézzünk meg egy példát: a 98 osztható-e 7-gyel?

Kövessük az utasításokat: elválasztjuk az utolsó számot, amely 8, megszorozzuk azt 2-del, amely 16-at kap. A 8 elválasztásakor megmaradó szám 9. Levonjuk a 16 - 9 = 7-et. És mivel a 7 önmagában többszöröse, a 98 osztható 7 között

-Elosztás 11-ig

Ha a páros helyzetben lévő számok összegét (2, 4, 6…) levonjuk a páratlan helyzetben lévő számok összegéből (1, 3, 5, 7…) és 0-t vagy 11-es szorzót kapunk, akkor a szám osztható 11-vel.

Az első 11 szorzó könnyen azonosítható: 11, 22, 33, 44… 99. De légy óvatos, a 111 nem, a 110 helyett.

Példaként nézzük meg, hogy a 143 a 11-es szorzója.

Ez a szám 3 számjegyből áll, az egyetlen páros szám 4 (a második), a két páratlan szám 1 és 3 (első és harmadik), és összegük 4.

Mindkét összeget kivonjuk: 4 - 4 = 0, és mivel 0-t kapunk, kiderül, hogy a 143 a 11 szorzata.

-Elosztás 13-ig

Az egy számjegy nélküli számot le kell vonni a számjegy 9-szerese. Ha a szám 0 vagy 13-szoros, akkor a szám 13-szoros.

Példaként ellenőrizni fogjuk, hogy a 156-nak a 13-szorosa van-e. Az egy számjegy 6 és a szám, amely nélkül marad 15, megszorozzuk a 6 x 9 = 54-et, és most kivonjuk az 54 - 15 = 39-et.

De a 39 3 x 13, tehát az 56 a 13 szorzata.

Töltse fel a számokat egymással

Két vagy több prímszám vagy összetett szám lehet prím vagy társprím. Ez azt jelenti, hogy egyetlen közös osztójuk az 1.

Két fontos tulajdonságot kell megjegyezni, amikor a bűncselekményekről van szó:

-Két, három és több egymást követő szám mindig elsőbbséget élvez egymással.

- Ugyanez mondható el két, három vagy több egymást követő páratlan számról.

Például a 15, 16 és 17 prímszámok egymáshoz, így a 15, 17 és 19.

Hogyan lehet megtudni, hogy hány osztóval rendelkezik egy összetett szám?

Az első számnak két osztója van, az azonos szám és az 1. És hány osztóval rendelkezik egy összetett szám? Ezek lehetnek unokatestvérek vagy vegyületek.

Legyen N olyan összetett szám, amelyet kanonikus bomlásukban az alábbiak szerint fejezünk ki:

N = a ⁿ. b ^m. c ^p … r ^k

Ahol a, b, c… r az elsődleges tényezők, és n, m, p… k a megfelelő kitevők. Nos, az N osztószámát az N adja meg:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

C = elsődleges osztókkal + összetett osztókkal + 1

Például 570, amely így van kifejezve:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Az összes alapvető tényezőt 1-re emelik, tehát az 570:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 osztó

A 10 osztó közül már tudunk: 1, 2, 3, 5, 19 és 570. További 10 osztó hiányzik, amelyek összetett számok: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 és 285. Ezeket úgy találják meg, hogy megfigyelik a primer tényezőkké való bomlást, és e faktorok kombinációit szorozva.

Megoldott gyakorlatok

- 1. Feladat

Ossza le a következő számokat elsődleges tényezőkké:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Megoldás

98 492

49 │7

7 │7

1 │

98 = 2 x 7 x 7

B. Megoldás

143 │11

13 │13

1 │

143 = 11 x 13

C. Megoldás

540 │5

108 │2

54 │2

27 │3

9 │3

3 │3

1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

D. Megoldás

3705 745

741 │3

247 │13

19 │19

1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- 2. gyakorlat

Tudja meg, hogy a következő számok elsődlegesek-e egymáshoz:

6, 14, 9

Megoldás

-A 6 osztó: 1, 2, 3, 6

-Mint 14, ez osztható a következőkkel: 1, 2, 7, 14

-Végül a 9 osztóval rendelkezik: 1, 3, 9

Az egyetlen osztó, amelyikben közös, az 1, tehát elsődlegesek egymáshoz.

Irodalom

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Kiadások és disztribúciók kódexe.
2. Byju években. Első és összetett számok. Helyreállítva: byjus.com.
3. Első és összetett számok. Helyreállítva: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Oszthatósági kritériumok. Helyreállítva: smartick.es.
5. Wikipedia. Összetett számok. Helyreállítva: en.wikipedia.org.