TELJES SZÁM: TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

Az egész szám olyan hasznos számok halmaza, amely az objektumok teljes birtoklásának megszámlálására szolgál, és még nem. Meg kell számolni azokat is, akik az egyik oldalon és a másik oldalon vannak egy bizonyos referenciahelyen.

A teljes számokkal elvégezheti a kivonást vagy a különbséget egy szám és egynél nagyobb szám között is, az eredmény például adósságként kerül elszámolásra. A jövedelmet és az adósságokat a + és - jelekkel kell megkülönböztetni.

1. ábra: A sorszám egész számokhoz. Forrás: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Ezért a teljes számkészlet a következőket tartalmazza:

- Pozitív egész számok, amelyeket egy + jel előz meg, vagy egyszerűen csak a jel nélkül írnak, mivel azt is értjük, hogy pozitívak. Például: +1, +2, + 3… és így tovább.

-A 0, amelyben a megjelölés nem releváns, mivel nem számít hozzá, hogy valamely mennyiségből kivonjuk. De a 0 nagyon fontos, mivel az egész számokra vonatkozik: az egyik oldalon vannak a pozitívok, a másik oldalon pedig a negatívok, amint azt az 1. ábrán láthatjuk.

- Negatív egész szám, amelyet mindig a jel elé kell írni -, mivel velük különböznek az adósságok és a referencia másik oldalán lévö összegek. Példák a negatív egész számokra: -1, -2, -3… és később.

Hogyan vannak ábrázolva egész számok?

Az elején a teljes számokat a beállított jelöléssel ábrázoljuk: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, vagyis listák és szervezett. De egy nagyon hasznos ábrázolás az, amelyet a számsor használ. Ehhez vonal húzására van szükség, amely általában vízszintes, és amelyen a 0 meg van jelölve és azonos részekre oszlik:

2. ábra: A teljes számok ábrázolása a sorsoron. 0-tól jobbra a pozitív egész számok és 0-tól balra a negatívok. Forrás: F. Zapata.

A negatívok 0-tól balra, a pozitívok pedig jobbra mennek. A számsoron található nyilak azt jelzik, hogy a számok a végtelenségig haladnak. Bármely egész számra tekintettel mindig megtalálható nagyobb vagy másik, kevesebb.

Egy egész szám abszolút értéke

Egy egész szám abszolút értéke a szám és a 0 közötti távolság. És a távolságok mindig pozitívak. Ezért a negatív egész szám abszolút értéke a mínuszjele nélküli szám.

Például a -5 abszolút értéke 5. Az abszolút értéket sávok jelzik az alábbiak szerint:

-5- = 5

A megjelenítéshez csak számolja a sorszámot a -5-től 0-ig terjedő szóközökkel. Míg a pozitív egész szám abszolút értéke azonos, például - + 3- = 3, mivel a távolsága 0-tól 3 szóközzel:

3. ábra: Egy egész szám abszolút értéke mindig pozitív mennyiség. Forrás: F. Zapata.

Tulajdonságok

- Az egész szám halmazát Z jelöli, és magában foglalja az N természetes szám halmazát, elemei végtelenek.

-A teljes és az azt követő szám (vagy az azt megelőző szám) mindig egységben különbözik. Például, az 5 után jön 6, az 1 különbség közöttük.

-Minden egész számnak van elődje és utódja.

-A pozitív egész szám nagyobb, mint 0.

-A negatív egész szám mindig kisebb, mint 0 és bármely pozitív szám. Vegyük például a -100 számot, ez kevesebb, mint 2, 10 és 50. De ez is kisebb, mint -10, -20 és -99, és nagyobb, mint -200.

-A 0-nak nincs megfontolása, mivel nem sem negatív, sem pozitív.

-A teljes számokkal ugyanazokat a műveleteket hajthatja végre, mint a természetes számokkal, nevezetesen: összeadás, kivonás, szorzás, felhatalmazás és így tovább.

-A bizonyos x egész számmal szemben lévő egész szám –x, és az ellenkezője egész számának összege 0:

x + (-x) = 0.

Műveletek egész számokkal

- Összeg

-Ha a hozzáadandó számoknak ugyanaz a jele, akkor abszolút értékeik hozzáadódnak, és az eredményt a kiegészítõkkel ellátott jellel kell elhelyezni. Íme néhány példa:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Ha a számok eltérő jellel rendelkeznek, akkor az abszolút értékeket levonjuk (a legalacsonyabb közül a legmagasabb), és az eredményt a legnagyobb abszolút értékű szám jelével helyezzük el, az alábbiak szerint:

a) (-8) + (21) = 21-8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Az egész számok tulajdonságai

-A összeg kommutációs, ezért a kiegészítések sorrendje nem változtatja meg az összeget. Legyen a és b két egész szám, igaz, hogy a + b = b + a

-A 0 az egész számok semleges eleme: a + 0 = a

-A szemben lévő egész szám 0. A + a ellentéte van –a, és fordítva: –a ellentéte + a. Ezért: (+ a) + (-a) = 0.

2. ábra: A jelek szabálya egész számok összeadására. Forrás: Wikimedia Commons.

- Kivonás

A teljes számok kivonásához ezt a szabályt kell vezérelni: a kivonás egyenértékű egy szám hozzáadásával, ellentétes értékkel. Legyen a és b két szám, akkor:

a - b = a + (-b)

Tegyük fel például, hogy a következő műveletet kell végrehajtania: (-3) - (+7), majd:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Szorzás

A egész szám szorzása a jelek bizonyos szabályait követi:

-A két azonos számú szám szorzata mindig pozitív.

-Ha két szám különbözõ jelekkel megszorozódik, az eredmény mindig negatív.

-A termék értéke megegyezik a megfelelő abszolút értékek szorzásával.

Azonnal néhány példa, amely tisztázza a fentieket:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Az egészek szorzásának tulajdonságai

-A Többszörös Kommutációs. Legyen a és b két egész szám, igaz, hogy: ab = ba, amely szintén kifejezhető:

-A szorzás semleges eleme 1. Legyen egy egész szám, tehát a.1 = 1

-A 0-szoros egész szám egyenlő 0-val: a.0 = 0

Az elosztó tulajdonság

A szorzás megfelel a disztribúciós tulajdonságnak az összeadás szempontjából. Ha a, b és c egész szám, akkor:

a. (b + c) = ab + ac

Íme egy példa erre a tulajdonságra:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3).11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Felhatalmazás

-Ha az alap pozitív, akkor a művelet eredménye mindig pozitív.

-Ha az alap negatív, ha az exponens egyenletes, akkor az eredmény pozitív. és ha a kitevő páratlan, akkor az eredmény negatív.

- Osztály

Ugyanazok a jelszabályok vonatkoznak a megosztásra, mint a szorzásra:

-Ha ugyanazon jel két egész számát osztjuk, az eredmény mindig pozitív.

-Ha két, egymástól eltérő jellel rendelkező egész szám fel van osztva, a hányados negatív.

Például:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Fontos: az osztás nem kommutív, más szóval a ÷ b ≠ b ÷ a, és mint mindig, a 0-os osztás nem megengedett.

- Felhatalmazás

Legyen egész szám, és azt egy n exponenciára akarjuk növelni, akkor a magát n-szer kell szoroznunk, az alább látható módon:

a ⁿ = aaaa….a

Vegye figyelembe a következőket is, figyelembe véve, hogy n természetes szám:

-Ha a negatív és n egyenletes, akkor az eredmény pozitív.

-Ha a negatív és n páratlan, negatív számot eredményez.

-Ha a pozitív és n páros vagy páratlan, akkor mindig pozitív egész számot kap.

-A 0-ra emelt egész szám egyenlő 1-gyel: a ⁰ = 1

-Az 1-re emelt szám megegyezik a számmal: a ¹ = a

Tegyük fel például, hogy meg akarjuk találni a (–3) ^4-et, erre szorozva (-3) négyszer önmagában, így: (–3). (–3). (–3). (–3) = 81.

Egy másik példa, negatív egész számmal is:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Az egyenlő bázis erőinek szorzata

Tegyük fel, hogy két egyenlő bázisú hatalom van, ha szorozjuk őket, akkor ugyanazzal a bázissal újabb hatalmat kapunk, amelynek kitevője az adott kitevők összege:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Az egyenlő alapteljesítmény hányadosa

Ha egyenlő bázissal osztjuk meg az eredményeket, akkor ugyanazzal a bázissal rendelkező erőt kapunk, amelynek kitevője az adott kitevők kivonása:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Két példa magyarázza ezeket a pontokat:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Példák

Lássunk egyszerű példákat e szabályok alkalmazására, emlékezve arra, hogy pozitív egész számok esetén a jel elhagyható:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Megoldott gyakorlatok

- 1. Feladat

Egy hangya az 1. ábrán látható számsor mentén mozog. Az x = +3 ponttól kezdve a következő mozgásokat hajtja végre:

-A 7 egységet jobbra mozgatja

-Most vissza 5 egységet balra

-Még további egységet járj balra.

- Visszamegy, és 4 egységet jobbra mozgat.

Mikor áll a hangya a túra végén?

Megoldás

Hívjuk D elmozdulásoknak. Jobbra haladva pozitív jelet kapnak, balra pedig negatív jelet kapnak. Ilyen módon és x = +3-től kezdve:

-Első D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-D _második másodperc: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Harmadik D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-D helyiség: x ₄ = +2 + 4 = +6

Amikor a hangya befejezi sétáját, akkor x = +6 helyzetben van. Vagyis 6 egység a 0-tól jobbra a számsorban.

- 2. gyakorlat

Oldja meg a következő műveletet:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Megoldás

Ez a művelet csoportosító jeleket tartalmaz, amelyek zárójelek, szögletes zárójelek és zárójelek. A megoldás során először a zárójelbe, majd a zárójelbe és utoljára a zárójelekbe kell törődnie. Más szavakkal, kívülről kell dolgoznia.

Ebben a feladatban a pont szorzást jelent, de ha nincs pont egy szám és zárójel vagy egy másik szimbólum között, akkor azt is terméknek kell tekinteni.

A felbontás alatt lépésről lépésre a színek útmutatóként szolgálnak a zárójelek csökkentésének eredményeként, amelyek a legbelső csoportosítási szimbólumok:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1-4]} = {52}. {- 3} = -156

- 3. gyakorlat

Oldja meg az első fokú egyenletet:

12 + x = 30 + 3x

Megoldás

A kifejezések az egyenlőség bal oldalán ismeretlen, a jobb oldalon a numerikus kifejezések csoportosítása:

x - 3x = 30-12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Irodalom

1. Carena, M. 2019. Az egyetem előtti matematikai kézikönyv. Litoral Nemzeti Egyetem.
2. Figuera, J. 2000. A 7. osztályos matematika. CO-BO kiadások.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematikai témák kiválasztása. Monfort Publikációk.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. A teljes számok. Helyreállítva: Cimanet.uoc.edu.