IRRACIONÁLIS SZÁMOK: TÖRTÉNELEM, TULAJDONSÁGOK, OSZTÁLYOZÁS, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

Az irracionális számok azok, amelyek kifejezésében végtelen tizedes számok vannak, ismétlődő mintázat nélkül, ezért a két egész szám közötti arányból nem számíthatók ki.

A legismertebb irracionális számok a következők:

1. ábra: Fent lefelé a következő irracionális számok: pi, Euler-szám, aranyarány és két négyzetgyök. Forrás: Pixabay.

Közülük kétségtelenül π (pi) a legismertebb, ám még sok más is létezik. Mindegyik a valós szám halmazába tartozik, azaz a numerikus halmaz, amely racionális és irracionális számokat csoportosít.

Az 1. ábrán látható ellipszis azt jelzi, hogy a tizedesjegyek határozatlan ideig folytatódnak, történik az, hogy a szokásos számológépek helyén csak néhány jelenik meg.

Ha körültekintően nézzük meg, amikor két egész szám közötti hányadost készítünk, akkor tizedes értéket kapunk korlátozott számokkal, vagy ha nem, akkor végtelen számokkal, amelyekben egy vagy több ismétlődik. Nos, ez nem történik irracionális számokkal.

Az irracionális számok története

A nagy ősi matematikus, Pythagoras, Kr. E. 582-ben született Sámosban, Görögországban, megalapította a pitagorói gondolkodási iskolát, és felfedezte a nevét viselő híres tételt. Itt lent, a bal oldalon van (a babilóiak már régen tudhatták).

2. ábra. A Pythagora-tétel egy olyan háromszögre vonatkozik, amelynek oldalai 1-nek felelnek meg. Forrás: Pixabay / Wikimedia Commons.

Nos, amikor Pythagoras (vagy valószínűleg a tanítványa) a tételt egy jobboldali háromszögre alkalmazta, amelynek oldala megegyezik az 1-gyel, megtalálja az √2 irracionális számot.

Így tette:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

És azonnal rájött, hogy ez az új szám nem két másik természetes szám közötti hányadból származik, amelyek akkoriban ismertek.

Ezért irracionálisnak nevezte, és a felfedezés nagy szorongást és zavart váltott ki a pitagoraiak körében.

Az irracionális számok tulajdonságai

-Az összes irracionális szám halmazát I betűvel jelöljük, néha Q * vagy Q ^C betűvel. Az I vagy Q * irracionális szám és a Q racionális szám közötti unió az R valós szám halmazát eredményezi.

Irracionális számokkal az ismert számtani műveletek végrehajthatók: összeadás, kivonás, szorzás, osztás, felhatalmazás és így tovább.

-A 0-os eloszlást sem az irracionális számok határozzák meg.

- Az irracionális számok összege és szorzata nem feltétlenül újabb irracionális szám. Például:

√2 x √8 = √16 = 4

És a 4 nem egy irracionális szám.

-Az ésszerű szám és egy irracionális szám összege nem ad irracionális eredményt. Ilyen módon:

1 + √2 = 2,41421356237…

- Az ésszerű számtól 0-tól eltérő racionális szám szorzata szintén irracionális. Nézzük meg ezt a példát:

2 x √2 = 2,828427125…

-Az irracionális inverz egy másik irracionális számot eredményez. Próbáljuk meg néhányat:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Ezek a számok érdekesek, mivel az ismert szögek néhány trigonometrikus arányának értékei is. A trigonometrikus arányok többsége irracionális szám, de vannak kivételek, például a sin 30º = 0,5 = ½, ami ésszerű.

- Összegezve teljesülnek a kommutációs és asszociatív tulajdonságok. Ha a és b két irracionális szám, ez azt jelenti, hogy:

a + b = b + a.

És ha c újabb irracionális szám, akkor:

(a + b) + c = a + (b + c).

-A szorzás eloszló tulajdonsága az összeadáshoz viszonyítva egy másik jól ismert tulajdonság, amely igaz az irracionális számokra is. Ebben az esetben:

a. (b + c) = ab + ac

-A irracionális a-nak ellentéte van: -a. Összeadva az eredmény 0:

a + (- a) = 0

- Két különféle racionalitás között legalább egy irracionális szám van.

Irracionális szám elhelyezkedése a valódi vonalon

A valós vonal egy vízszintes vonal, ahol a valós számok találhatók, amelyeknek az irracionális számok fontos részét képezik.

Egy irracionális szám megtalálásához a valódi vonalon, geometriai formában a Pythagora-tétel, az vonalzó és az iránytű használatával használhatjuk.

Példaként a √5-et fogjuk megkeresni a valódi vonalon, amelyre egy jobb háromszöget rajzolunk x = 2 és y = 1 oldalakkal, az ábra szerint:

3. ábra: Iracionális szám megtalálásának módja a valódi vonalon. Forrás: F. Zapata.

A Pitagóra-tétel szerint egy ilyen háromszög hipotenusza:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Most az iránytűt úgy helyezzük el, hogy 0 pontja legyen, ahol a jobboldali háromszög egyik csúcsa is található. Az iránytű ceruzajának az A csúcson kell lennie.

Egy kerületi ívet húzunk, amely a valós vonalra megy. Mivel a kerület középpontja és a rajta lévő bármely pont közötti távolság a sugár, amely egyenlő: √5, az metszéspont szintén távol van √5-re a középponttól.

A grafikonból látható, hogy √5 2 és 2,5 között van. A számológép megadja a következő hozzávetőleges értékét:

√5 = 2.236068

És tehát a megfelelő oldalakkal rendelkező háromszög felépítésével más irracionálisak is megtalálhatók, például √7 és mások.

Az irracionális számok osztályozása

Az irracionális számokat két csoportra osztják:

-Algebrai

-Transzcendens vagy transzcendentális

Algebrai számok

Az algebrai számok, amelyek irracionálisak is, de nem polinomiális egyenletek megoldásai, amelyek általános formája:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

A polinomi egyenletre példa a következő kvadratikus egyenlet:

x ³ - 2x = 0

Könnyű bebizonyítani, hogy az √2 irracionális szám ezen egyenlet egyik megoldása.

Transzcendens számok

Másrészt, bár a transzcendens számok irracionálisak, soha nem merül fel megoldásként egy polinomi egyenletre.

Az alkalmazott matematikában leggyakrabban előforduló transzcendens számok π, a kerülethez viszonyított viszonyukkal és az e számmal, vagy az Euler számával, amely a természetes logaritmusok alapja.

Gyakorlat

A szürke négyzetet egy fekete négyzetre helyezzük az ábrán jelzett helyzetben. A fekete négyzet területe ismert, hogy 64 cm ². Mennyi a két négyzet hossza?

4. ábra. Két négyzet, amelyekből meg akarjuk találni az oldalak hosszát. Forrás: F. Zapata.

Válasz

Az L oldalú négyzet területe:

A = L ²

Mivel a fekete négyzet területe 64 cm ², oldalának 8 cm-nek kell lennie.

Ez a mérés megegyezik a szürke négyzet átlójával. Ha alkalmazzuk a Pitagorasi tételt erre az átlóra, és emlékezve arra, hogy egy négyzet oldala ugyanaz, akkor:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Ahol L _g a szürke négyzet oldala.

Ezért: 2L _g ² = 8 ²

Négyzetgyök alkalmazása az egyenlőség mindkét oldalára:

L _g = (8 / √2) cm

Irodalom

1. Carena, M. 2019. Az egyetem előtti matematikai kézikönyv. Litoral Nemzeti Egyetem.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 9.. Fokozat. CO-BO kiadások.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Oktatási portál. Irracionális számok és azok tulajdonságai. Helyreállítva: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Irracionális számok. Helyreállítva: es.wikipedia.org.