ALAPSZÁMOK: JELLEMZŐK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A prímszámok, amelyeket prímszám abszolútnak is neveznek, azok a természetes számok, amelyek csak önmagukban oszthatók el. Az ilyen kategóriájú számok, mint például 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 és sok plusz.

Ehelyett egy összetett szám osztható önmagában, 1-gyel és legalább egy másik számmal. Például 12 van, amely osztható 1-gyel, 2-gyel, 4-tel, 6-tal és 12. Megállapodás szerint az 1 nem szerepel a prímszámok listájában vagy a vegyületek listájában.

1. ábra. Néhány prímszám. Forrás: Wikimedia Commons.

A prímszámok ismerete az ókorban nyúlik vissza; az ókori egyiptomiak már felhasználták őket, és biztosan ismerték őket régen.

Ezek a számok nagyon fontosak, mivel bármilyen természetes számot ábrázolhatunk az alapszámok szorzatával, ez a megjelenítés egyedi, kivéve a tényezők sorrendjét.

Ezt a tényt a számtani alaptétel, az úgynevezett alaptétel, amely kimondja, hogy a nem prím számok szükségszerűen olyan számok szorzata alkotják, amelyek az.

Prímszámok jellemzése

Itt vannak a prímszámok fő jellemzői:

- Végtelenek, mivel függetlenül attól, hogy mekkora a prímszám, mindig találhat nagyobbat.

-Ha a p prímszám nem osztja pontosan egy másik a számot, akkor azt mondják, hogy p és a prímszámok egymáshoz. Amikor ez megtörténik, az egyetlen közös osztó, amely mindkettőnek megvan, az 1.

Nem szükséges, hogy az a abszolút prím legyen. Például, az 5 elsődleges, és bár a 12 nem, mindkét szám elsődleges egymással szemben, mivel mindkettő 1-es közös osztóval rendelkezik.

-Ha egy p prímszám osztja az n szám hatalmát, akkor azt is osztja n. Tekintsük a 100-at, amely 10-es, különösen 10 ^{2-es teljesítmény}. Előfordul, hogy a 2 osztja mind a 100-at, mind a 10-et.

-Minden elsődleges szám páratlan, kivéve a 2-t, ezért az utolsó számjegye 1, 3, 7 vagy 9. 5 nem tartalmazza, mert bár páratlan és elsődleges, soha nem egy másik elsődleges szám végső száma. Valójában az 5-ös véget érő számok ennek többszörösei, tehát nem primerek.

-Ha p két ab szám számának szorzata és osztója, akkor p osztja az egyiket. Például a 3 prímszám osztja a szorzatot 9 x 11 = 99, mivel a 3 osztója 9.

Honnan lehet tudni, hogy egy szám prím?

Az elsődlegesség azt a nevet adja, amely az elsődleges lét minőségére utal. Nos, a francia matematikus Pierre de Fermat (1601-1665) megtalálta a módját egy szám prímjának ellenőrzésére Fermat úgynevezett kis tételében, amely szerint:

"Ha egy p prím természetes számot és bármely 0-nál nagyobb természetes számot adunk, igaz, hogy ^{p p} - a többszöröse p, mindaddig, amíg p prím".

Ezt kis számokkal megerősíthetjük, például tegyük fel, hogy p = 4, amelyről már tudjuk, hogy nem prím, és már = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Az 1290 szám nem osztható pontosan 4-kel, tehát a 4 nem prímszám.

Végezzük el a tesztet p = 5-rel, amely prím és ya = 6:

6 ⁵ - R6 = 7766-6 = 7760

A 7760 osztható 5-gyel, mivel minden olyan szám, amely 0-ra vagy 5-re végződik, az. Valójában 7760/5 = 1554. Mivel a Fermat kis tétel áll fenn, biztosíthatjuk, hogy 5 prímszám legyen.

A tétel révén történő bizonyítás hatékony és közvetlen kis számokkal, amelyekben a műveletet könnyű elvégezni, de mi a teendő, ha felkérést kapunk egy nagy szám prímszámára?

Ebben az esetben a számot egymás után fel kell osztani az összes kisebb prímszám között, amíg pontos megoszlást nem találnak, vagy az hányados kisebb, mint az osztó.

Ha bármelyik osztás pontos, akkor azt jelenti, hogy a szám összetett, és ha az hányados kisebb, mint az osztó, ez azt jelenti, hogy a szám elsődleges. A gyakorlatban a 2. megoldott feladatban fogjuk megvalósítani.

Prímszám megtalálásának módjai

Végtelen sok prímszám van, és nincs egységes formula, amely meghatározná őket. Néhány prímszámot tekintve, például:

3, 7, 31, 127…

Megfigyeltük, hogy 2 ⁿ - 1 alakúak, n = 2, 3, 5, 7, 9… Biztosítjuk ezt:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

De nem tudjuk biztosítani, hogy általában 2 ⁿ - 1 legyen elsődleges, mert vannak olyan n értékek, amelyekre nem működik, például 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

És a 15-es szám nem elsődleges, mivel az 5-ös véget ér. Ugyanakkor az egyik legnagyobb ismert prím, amelyet számítógépes számításokkal találtak, a 2 ⁿ - 1 alakú, amelynek alakja:

n = 57,885,161

Mersenne képlete biztosítja számunkra, hogy 2 ^p - 1 mindig prím, mindaddig, amíg p prím is. Például a 31 prím, tehát biztos, hogy a 2 ³¹ - 1 is prím:

2 ³¹ - 1 = 2,147,483,647

A képlet azonban lehetővé teszi, hogy csak néhány prímszámot határozzon meg, nem mindegyiket.

Euler képlete

A következő polinom lehetővé teszi a prímszámok megtalálását, feltéve, hogy n értéke 0 és 39 között van:

P (n) = n ² + n + 41

Később a megoldott gyakorlatok részben található példa annak alkalmazására.

Az Eratosthenes szitája

Eratosthenes volt az ókori görögországi fizikus és matematikus, aki a Kr. E. III. Században élt, és egy grafikus módszert dolgozott ki az Eratosthenes-szitának nevezett prímszámok megtalálására, amelyeket kis számokkal is alkalmazhatunk a gyakorlatban (a szita olyan, mint egy szita).

-A számokat az animációban láthatóhoz hasonló táblázatokba helyezik.

-A páros számokat ezután áthúzzák, kivéve a 2-t, amelyről tudjuk, hogy prím. A többi ennek többszöröse, és ezért nem elsődleges.

-A 3-as, 5-ös, 7-es és 11-es szorzót szintén megjelöltük, kivéve mindegyiket, mert tudjuk, hogy ezek elsődlegesek.

-A 4-es, 6-os, 8-as, 9-es és 10-es szorzó már meg van jelölve, mert összetett, és így a megjelölt prímek némelyikének szorzata.

-Végül a jelöletlen számok elsőszámúak.

2. ábra: Az Eratosthenes szita animációja. Forrás: Wikimedia Commons.

Feladatok

- 1. Feladat

Az elsődleges számokra az Euler polinom segítségével keresse meg a 100-nál nagyobb 3 számot.

Megoldás

Ezt a polinomot javasolta Euler, hogy prímszámot találjon, amely n-re vonatkozik 0 és 39 között.

P (n) = n ² + n + 41

Próba és hiba alapján n értéket választunk ki, például n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Mivel n = 8 100-nál nagyobb prímszámot eredményez, akkor a polinomot n = 9 és n = 10-re becsüljük meg:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- 2. gyakorlat

Tudja meg, hogy a következő számok elsődlegesek:

a) 13.

b) 191

Megoldás

A 13-as elem elég kicsi ahhoz, hogy felhasználhassa Fermat kis tételét és a számológép segítségével.

A = 2 értéket használunk, hogy a számok ne legyenek túl nagyok, bár a = 3, 4 vagy 5 is használhatók:

2 ^13- - 2 = 8190

A 8190 osztható kettővel, mivel egyenlő, tehát a 13 elsődleges. Az olvasó ezt megerősítheti, ha ugyanazt a tesztet hajtja végre a = 3 értékkel.

B. Megoldás

A 191-es szám túl nagy ahhoz, hogy a tételtel és egy közös számológéppel bizonyítani lehessen, de megtalálhatjuk az osztást az egyes prímszámok között. Hagyjuk el a 2-es elosztást, mert a 191 nem egyenletes, és az osztás nem lesz pontos, vagy az hányados kevesebb, mint 2.

Megpróbáljuk osztani 3-mal:

191/3 = 63 666…

És nem pontos, és az hányadosa sem kisebb, mint az osztó (63,666… nagyobb, mint 3)

Így folytatjuk a 191 osztását az 5., 7., 11., 13. prím között, és sem a pontos megosztás, sem az osztó kevesebb hányadosa nem érhető el. Addig, amíg nem osztja 17-vel

191/17 = 11, 2352…

Mivel nem pontos és a 11.2352… kevesebb, mint 17, a 191 szám elsődleges.

Irodalom

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Kiadások és disztribúciók kódexe.
2. Prieto, C. A prímszámok. Helyreállítva: paginas.matem.unam.mx.
3. Prímszámok tulajdonságai. Helyreállítva: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Alapszámok: hogyan lehet megtalálni őket az Eratosthenes szitán. Helyreállítva: smartick.es.
5. Wikipedia. Prímszám. Helyreállítva: es.wikipedia.org.