VALÓS SZÁMOK: ELŐZMÉNYEK, PÉLDÁK, TULAJDONSÁGOK, MŰVELETEK - MATEMATIKA - 2026

A valós számok azt a numerikus halmazt alkotják, amely magában foglalja a természetes számokat, egész számokat, racionális és irracionális értékeket. Ezeket ℝ vagy egyszerűen R szimbólummal jelölik, és a tudományban, a mérnöki és a közgazdaságtanban való kiterjedésük olyan, hogy amikor a „számról” beszélünk, akkor szinte magától értetődőnek tekintjük, hogy ez egy valós szám.

A valós számokat az ősi idők óta használják, bár nem kapták meg ezt a nevet. Már akkor, amikor Pythagoras kifejlesztette híres tételét, olyan számok merültek fel, amelyeket nem lehetett megszerezni a természetes számok vagy egészek hányadosaként.

1. ábra. Venn diagram, amely azt mutatja, hogy a valós számok halmaza hogyan tartalmazza a többi számkészletet. Forrás> Wikimedia Commons.

Példák a számokra: √2, √3 és π. Ezeket a számokat irracionálisnak hívják, szemben a racionális számokkal, amelyek a teljes számok hányadosából származnak. Ezért olyan numerikus halmazra volt szükség, amely magában foglalja mindkét számosztályt.

A "valós szám" kifejezést a nagy matematikus, René Descartes (1596-1650) hozta létre, hogy megkülönböztesse a két gyökérfajtát, amelyek a polinomi egyenlet megoldásából származhatnak.

Ezeknek a gyökereknek a negatív számok gyökerei is lehetnek, Descartes ezeket a "képzeletbeli számokat" nevezte, és azokat, amelyek nem voltak, valódi számoknak nevezték.

A felekezet az idő múlásával fennmaradt, két nagy numerikus halmazt eredményezve: a valós számok és a komplex számok, egy nagyobb halmaz, amely tartalmazza a valós számokat, a képzeletbeli számokat, valamint azokat, amelyek részben valós és részben képzeletbeli számok.

A valós számok alakulása folytatódott, amíg 1872-ben Richard Dedekind (1831–1936) a matematikus hivatalosan meghatározta a valós szám halmazát az úgynevezett Dedekind vágásokkal. Munkája összefoglalását egy cikkben tették közzé, amely ugyanebben az évben látta a fényt.

Példák a valós számokra

Az alábbi táblázat a valós számokra mutat példákat. Ez a halmaz részhalmazaiban található a természetes számok, egész számok, racionális és irracionális értékekkel. Ezeknek a halmazoknak a száma önmagában egy valós szám.

Ezért a negatívok, pozitívok, törtek és tizedes jelek valós számok.

2. ábra. A valós számokra példa lehet természetes, egész szám, racionális, irracionális és transzcendens. Forrás: F. Zapata.

A valós számok ábrázolása a valós vonalon

A valós számok ábrázolhatók az R valódi vonalon, az ábra szerint. Nem szükséges, hogy a 0 mindig jelen legyen, azonban kényelmes tudni, hogy a negatív tényezők balra, a pozitívok pedig jobbra vannak. Ezért kiváló referenciapont.

A valódi vonalon egy skálát veszünk, amelyben az egész szám megtalálható:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. A nyíl jelzi, hogy a vonal a végtelenig terjed. De ez még nem minden, bármilyen figyelembe vett intervallumban mindig végtelen valós számokat is találunk.

A valós számokat sorrendben ábrázoljuk. Először az egész számok sorrendje van, amelyben a pozitív értékek mindig nagyobb, mint 0, a negatívok pedig kisebbek.

Ez a sorrend a valós számokon belül van. Példaként a következő egyenlőtlenségeket mutatjuk be:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

3. ábra - A valós vonal. Forrás: Wikimedia Commons.

A valós számok tulajdonságai

-A valós számok közé tartoznak a természetes számok, egész számok, racionális számok és irracionális számok.

-A hozzáadás kommutív tulajdonsága teljesül: a kiegészítések sorrendje nem változtatja meg az összeget. Ha a és b két valós szám, akkor mindig igaz, hogy:

a + b = b + a

-A 0 az összeg semleges eleme: a + 0 = a

-Az összeghez a társulási tulajdonság teljesül. Ha a, b és c valós számok: (a + b) + c = a + (b + c).

-A valós szám ellentéte -a lesz.

-A kivonást az ellenkező összegeként definiáljuk: a - b = a + (-b).

-A termék kommutációs tulajdonsága teljesül: a tényezők sorrendje nem változtatja meg a terméket: ab = ba

-A termékben az asszociatív tulajdonságot is alkalmazzák: (ab).c = a. (Bc)

-Az 1 a szorzás semleges eleme: a.1 = a

-A szorzás elosztó tulajdonsága az összeadás tekintetében érvényes: a. (b + c) = ab + ac

-A 0-os osztás nincs meghatározva.

-Minden a valós számnak, a 0 kivételével, szorzószáma ^-1-é olyan, hogy aa ^-1 = 1.

-Ha a valós szám: a ⁰ = 1 és a ¹ = a.

-A valós szám abszolút értéke vagy modulusa a szám és a 0 közötti távolság.

Műveletek valós számokkal

A valós számokkal elvégezheti azokat a műveleteket, amelyeket a többi numerikus készlettel elvégez, beleértve az összeadást, kivonást, szorzást, osztás, felhatalmazás, sugárzás, logaritmus és így tovább.

Mint mindig, a 0-os elosztás nincs meghatározva, sem a negatív számok, sem a 0 logaritmusai nem szerepelnek, bár igaz, hogy log 1 = 0, és hogy a 0 és 1 közötti szám logaritmusai negatívak.

Alkalmazások

A valós számok alkalmazása mindenféle helyzetben rendkívül változatos. A valós számok a precíz tudomány, a számítástechnika, a mérnöki, a közgazdaságtan és a társadalomtudomány számos kérdésére adott válaszként jelennek meg.

Mindenféle nagyságrend és mennyiség, például távolságok, idők, erők, hangintenzitás, pénz és még sok más, valós számban fejeződik ki.

A telefonjelek továbbítása, a videó képe és hangja, a klímaberendezés, a melegítő vagy a hűtőszekrény hőmérséklete digitálisan vezérelhető, ami azt jelenti, hogy a fizikai mennyiségeket numerikus szekvenciákká kell alakítani.

Ugyanez történik, ha banki tranzakciót hajt végre az interneten keresztül, vagy azonnali üzenetküldést kér. A valós számok mindenütt megtalálhatók.

A feladat megoldódott

Gyakorlatokkal látni fogjuk, hogyan működnek ezek a számok a szokásos helyzetekben, amelyekben naponta találkozunk.

1. Feladat

A posta csak azokat a csomagokat fogadja el, amelyek hossza és a kerület mérete nem haladja meg a 108 hüvelyket. Ezért ahhoz, hogy a megjelenített csomag elfogadható legyen, teljesíteni kell a következőket:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) A 6 hüvelyk széles, 8 hüvelyk magas és 5 láb hosszú csomag átjut-e rajta?

b) Mi a helyzet azzal, amely 2 x 2 x 4 láb ^3-at mér ?

c) Mi a legmagasabb megengedett magasság egy csomagolásnál, amelynek alapja négyzet és mérete 9 x 9 hüvelyk ² ?

Válasz neki

L = 5 láb = 60 hüvelyk

x = 6 hüvelyk

y = 8 hüvelyk

A megoldandó művelet a következő:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) hüvelyk = 60 + 2 x 14 hüvelyk = 60 + 28 hüvelyk = 88 hüvelyk

A csomagot elfogadjuk.

B. Válasz

Ennek a csomagnak a méretei kisebbek, mint az a) csomagnak, tehát mindkettő átjut.

C válasz

Ebben a csomagban:

x = L = 9 hüvelyk

Meg kell jegyezni, hogy:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

és ≤ 40,5 hüvelyk

Irodalom

1. Carena, M. 2019. Az egyetem előtti matematikai kézikönyv. Litoral Nemzeti Egyetem.
2. Diego, A. Valós számok és tulajdonságaik. Helyreállítva: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 9.. Fokozat. CO-BO kiadások.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematika a kalkulushoz. 5.. Kiadás. Cengage tanulás.