TRANSZCENDENS SZÁMOK: MI EZEK, KÉPLETEK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A transzcendentális számok olyanok, amelyeket nem lehet polinomi egyenlet eredményeként megszerezni. A transzcendens szám ellentéte egy algebrai szám, amelyek a következő polinomi egyenlet megoldásai:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Amennyiben az együtthatók egy _n, egy _n-1,….. egy ₂, a ₁, a ₀ racionális számok, az úgynevezett polinom együtthatóit. Ha az x szám megoldást jelent az előző egyenletre, akkor ez a szám nem transzcendens.

1. ábra: A tudományban két rendkívül fontos szám a transzcendens szám. Forrás: publicdomainpictures.net.

Elemezünk néhány számot, és megnézjük, hogy transzcendensek-e vagy sem:

a) 3 nem transzcendens, mert x - 3 = 0 megoldása.

b) -2 nem lehet transzcendens, mert x + 2 = 0 megoldása.

c) ⅓ 3x - 1 = 0 oldat

d) Az x ² - 2x + 1 = 0 egyenlet megoldása √2 -1, tehát ez a szám definíció szerint nem transzcendens.

e) A √2 sem, mivel az az x ² - 2 = 0 egyenlet eredménye. A √2 szorzó megadásával a 2. eredményt kapjuk, amelyet 2-ből levonunk, és egyenlő nullával. Tehát √2 egy irracionális szám, de nem transzcendens.

Mik a transzcendens számok?

A probléma az, hogy nincsenek általános szabályok a beszerzésükre (később mondjuk később), ám a legismertebbek közül néhány a pi és a Neper szám, amelyeket π és e jelölnek.

A π szám

A π szám természetesen akkor jelenik meg, ha megfigyeljük, hogy a kör P kerülete és a D átmérője közötti matematikai hányados - függetlenül attól, hogy egy kicsi vagy egy nagy kör - mindig ugyanazt a számot adja, az úgynevezett pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Ez azt jelenti, hogy ha a kerület átmérőjét vesszük mérési egységként, mindegyikre, akár nagyra, akár kicsire, a kerület mindig P = 3,14… = π lesz, amint az a 2. ábra animációján látható.

2. ábra: Egy kör kerületének hossza pi átmérõjének megfelelõ átmérõ hosszának, pi körülbelül 3,1416.

További tizedesjegyek meghatározásához meg kell mérni a P és a D pontosságát, majd kiszámítani a hányadost, amelyet matematikailag végeztek. A következtetés az, hogy az hányados tizedesjeinek nincs vége és soha nem ismétlődnek meg, tehát a π szám a transzcendensen túlmenően irracionális is.

Egy irracionális szám olyan szám, amelyet nem lehet kifejezni két egész szám osztásával.

Ismert, hogy minden transzcendens szám irracionális, de nem igaz, hogy minden irracionális szám transzcendens. Például a √2 irracionális, de nem transzcendens.

3. ábra. A transzcendens számok irracionálisak, de az ellenkezője nem igaz.

Az e szám

Az e transzcendens szám a természetes logaritmusok alapja, decimális közelítése:

és ≈ 2,718281828459045235360….

Ha pontosan az e számot szeretné írni, akkor végtelen tizedesjegyeket kell írni, mert minden transzcendens szám irracionális, ahogy azt már korábban mondtuk.

Az e első tíz számjegye könnyen megjegyezhető:

2,7 1828 1828, és bár úgy tűnik, hogy ismétlődő mintát követ, a kilencnél nagyobb tizedesjegyeknél ez nem érhető el.

Az e formálisabb meghatározása a következő:

Ez azt jelenti, hogy az e pontos értékét a képletben megadott művelet elvégzésével kapjuk meg, amikor az n természetes szám végtelenre hajlik.

Ez magyarázza, hogy miért csak az e közelítéseket szerezhetjük meg, mivel nem számít, hány n szám van elhelyezve, nagyobb n mindig megtalálható.

Nézzünk meg néhány közelítést egyedül:

-Ha n = 100, akkor (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, amely alig esik egybe az első tizedesben az e „igaz” értékével.

-Ha n = 10 000-et választ, akkor (1 + 1/10 000) ^{10 000} = 2 71815 van, amely egybeesik az e „pontos” értékével az első három tizedes pontosságban.

Ezt a folyamatot végtelenül kell követni az e "valódi" értékének megszerzése érdekében. Nem hiszem, hogy van idejük megtenni, de próbáljunk még egyet:

Használjuk n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2,7182682372

Ennek csak négy tizedesjegy van, amely megegyezik a pontosnak tekinthető értékkel.

Fontos az, hogy megértsük, hogy minél nagyobb az n értéke az e _n kiszámításához, annál közelebb lesz az igazi értékhez. De az igazi érték csak akkor lesz, ha n végtelen.

4. ábra: Grafikusan ábrázolja, hogy minél nagyobb n értéke, minél közelebb van e-hez, de ahhoz, hogy pontos n értéket kapjunk, végtelennek kell lennie.

Egyéb fontos számok

Ezen híres számokon kívül vannak más transzcendens számok is, például:

- 2 ^√2

-A Champernowne-szám a 10. alapban:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-A Champernowne-szám a 2. alapban:

C_2 = 0,1101110010110111….

-A Gamma szám γ vagy Euler-Mascheroni állandó:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Ezt a következő számítás elvégzésével lehet elérni:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Mert amikor n nagyon nagy. A Gamma szám pontos értékének meghatározásához n számításokat n végtelenséggel kell elvégezni. Valami hasonló ahhoz, amit fent tettünk.

És még sok más transzcendens szám van. Az oroszországi születésű, 1845 és 1918 között élő nagy matematikus, Georg Cantor megmutatta, hogy a transzcendens számok halmaza sokkal nagyobb, mint az algebrai számok halmaza.

Képletek, ahol a transzcendens szám jelenik meg

A kerület kerülete

P = π D = 2 π R, ahol P a kerület, D az átmérő és R a kerület sugara. Emlékeztetni kell arra, hogy:

-A kerület átmérője a leghosszabb szakasz, amely ugyanazon két pontját összeköti és mindig áthalad a középpontjában,

-A sugár az átmérő felének fele és az a szegmens, amely a közepétől a széléig megy.

Egy kör területe

A = π R ² = ¼ π D ²

Gömb felülete

S = 4 π R ^2.

Igen, bár ez nem tűnik úgy, a gömb felülete megegyezik a gömb azonos sugarú négy körének felületével.

A gömb térfogata

V = 4/3 π R ³

Feladatok

- 1. Feladat

Az „EXÓTICA” pizzéria három átmérőjű pizzát árusít: kicsi 30 cm, közepes 37 cm és nagy 45 cm. Egy fiú nagyon éhes és rájött, hogy két kis pizza ugyanolyanba kerül, mint egy nagy. Mi lesz jobb neki, ha két kis pizzát vagy egy nagy pizzát vesz?

5. ábra - A pizza területe arányos a sugár négyzetével, a pi pedig az arányosság állandója. Forrás: Pixabay.

Megoldás

Minél nagyobb a terület, annál nagyobb a pizza mennyisége, ezért egy nagy pizza területét kiszámítják és összehasonlítják két kis pizzával:

A nagy pizza területe = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 cm ²

A kis pizza területe = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 cm ²

Ezért két kis pizzának területe kb

2 x 706,86 = 1413,72 cm ².

Nyilvánvaló: nagyobb mennyiségű pizzát fog vásárolni, egyetlen nagyot, mint kettőt.

- 2. gyakorlat

Az „EXÓTICA” pizzéria egy félgömb alakú pizzát is forgalmaz, 30 cm-es sugárral, ugyanazon az áron, mint a téglalap alakú pizzákat, amelyek mindkét oldalán 30 x 40 cm méretűek. Melyiket választaná?

6. ábra - A félgömb felülete kétszerese az alap kör alakú felületének. Forrás: F. Zapata.

Megoldás

Amint az előző szakaszban említésre került, a gömb felülete négyszer nagyobb, mint az azonos átmérőjű kör felülete, tehát egy 30 cm átmérőjű féltekének lesz:

30 cm-es félgömb alakú pizza: 1413,72 cm ² (kétszer egy azonos átmérőjű körrel)

Téglalap alakú pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ².

A félgömb alakú pizza nagyobb területe.

Irodalom

1. Fernández J. Az e szám Származás és érdekességek. Helyreállítva: soymatematicas.com
2. Élvezze a matematikát. Euler száma. Helyreállítva: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Változatos. CO-BO kiadások.
4. García, M. Az e szám az alapvető számításban. Helyreállítva: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. PI szám. Helyreállítva: wikipedia.com
6. Wikipedia. Transzcendens számok. Helyreállítva: wikipedia.com