EGYDIMENZIÓS HULLÁMOK: MATEMATIKAI KIFEJEZÉS ÉS PÉLDÁK - FIZIKAI - 2026

Az egydimenziós hullámok azok, amelyek csak egy irányban terjednek, függetlenül attól, hogy a rezgés ugyanabban a terjedési irányban zajlik-e vagy sem. Jó példa erre a hullám, amely egy feszes húron halad át, mint egy gitáré.

Keresztirányú síkhullám esetén a részecskék függőleges irányban rezegnek (emelkednek és esnek, lásd az 1. ábrán látható piros nyilat), ám egydimenziós, mivel a zavar csak egy irányba halad, követve a sárga nyilat.

1. ábra: A kép egydimenziós hullámot ábrázol. Vegye figyelembe, hogy a gerincek és völgyek párhuzamos vonalakat képeznek és merőlegesek a terjedési irányra. Forrás: saját készítésű.

Az egydimenziós hullámok meglehetősen gyakran jelennek meg a mindennapi életben. A következő szakaszban példákat mutatunk be ezekre, valamint a nem egydimenziós hullámokra is, hogy világosan meghatározzuk a különbségeket.

Példák az egydimenziós és a nem egydimenziós hullámokra

Egydimenziós hullámok

Íme néhány példa az egyszerűen megfigyelhető egydimenziós hullámokra:

- Egy hangimpulzus, amely áthalad az egyenes rudakon, mivel ez egy zavar, amely a rúd teljes hosszában terjed.

- Hullám, amely egy vízcsatornán halad át, még akkor is, ha a vízfelület elmozdulása nem párhuzamos a csatornával.

- A felületen vagy a háromdimenziós térben terjedő hullámok is lehetnek egydimenziósak, feltéve, hogy hullámaik frontjai egymással párhuzamos síkok és csak egy irányba haladnak.

Nem egydimenziós hullámok

A nem egydimenziós hullámra példát találunk olyan hullámokban, amelyek egy álló víz felszínén képződnek, amikor egy kő esik. Ez egy kétdimenziós hullám, hengeres hullámfrontdal.

2. ábra. A kép egy példát mutat, hogy NEM egy egydimenziós hullám. Vegye figyelembe, hogy a bélések és völgyek köröket képeznek, és a terjedési irány radiálisan kifelé fordul, ezután egy kör alakú kétdimenziós hullám. Forrás: Pixabay.

A nem egydimenziós hullám másik példája a hanghullám, amelyet egy petárdás egy bizonyos magasságban robbant fel. Ez egy háromdimenziós hullám, gömbhullám frontokkal.

Az egydimenziós hullám matematikai kifejezése

Az egydimenziós hullám kifejezése, amely csillapítás nélkül terjed a xy tengely pozitív irányában v sebességgel, matematikailag:

Ebben a kifejezésben az x helyzetben fellépő zavart jelenti t időpontban. A hullám alakját az f függvény adja meg. Például az 1. ábrán látható hullámfüggvény: y (x, t) = cos (x - vt), és a hullámkép megfelel a t = 0 pillanatnak.

Az ilyen hullámot, amelyet koszinusz vagy szinusz függvény ír le, harmonikus hullámnak nevezzük. Bár nem ez az egyetlen létező hullámforma, ez rendkívül fontos, mivel bármely más hullám ábrázolható harmonikus hullámok szuperpozíciójaként vagy összegeként. Ez a közismert Fourier-tétel, amelyet széles körben használnak mindenféle jel jelzésére.

Amikor a hullám az x tengely negatív irányában halad, egyszerűen változtassa meg v értékét -v érvben, hagyva:

A 3. ábra egy balra haladó hullám animációját mutatja: ez egy Lorentzian függvénynek nevezett forma, matematikai kifejezése:

Ebben a példában a terjedési sebesség v = 1, - egy térbeli egység az egyes időegységekre.

3. ábra. Példa egy Lorentz-hullámra, amely balra halad v = 1 sebességgel. Forrás: F. Zapata, Geogebra készítette.

Egydimenziós hullámagyenlet

A hullámagyenlet egy részleges derivált egyenlet, amelynek megoldása természetesen egy hullám. Megállapítja a matematikai kapcsolatot a térbeli rész és az időbeli része között, és a következőképpen alakul:

Működő példa

A harmonikus hullám általános y (x, t) kifejezése a következő:

a) Mutassa be az A, k, ω és θo paraméterek fizikai jelentését.

b) Milyen jelentése van a ± jeleknek a koszinusz érvben?

c) Ellenőrizze, hogy az adott kifejezés valóban az előző szakasz hullámagyenletének megoldása, és találja meg a terjedési sebességet v.

Megoldás)

A hullám jellemzőit a következő paraméterek tartalmazzák:

Második származék t szempontjából: ∂ ² és / ∂t ² = -ω ². A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Ezeket az eredményeket helyettesítjük a hullámagyenletben:

Mind az A, mind a koszinusz egyszerűsödnek, mivel mind az egyenlőség mindkét oldalán megjelennek, és a koszinusz érve ugyanaz, ezért a kifejezés a következőre csökken:

Amely lehetővé teszi v egyenlet elérését ω és k szempontjából:

Irodalom

1. E-oktatási. Az egydimenziós harmonikus hullámok egyenlete. Helyreállítva: e-ducativa.catedu.es
2. A fizika sarka. Hullám osztályok. Helyreállítva: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Hullámok és kvantumfizika. Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. Szerkesztette Douglas Figueroa. Simon Bolivar Egyetem. Caracas Venezuela.
4. Physics Lab. Hullámmozgás. Helyreállítva: fisicalab.com.
5. Peirce, A. 21. előadás: Az egydimenziós hullámagyenlet: D'Alembert megoldása. Helyreállítva: ubc.ca.
6. Hullám-egyenlet. Helyreállítva: en.wikipedia.com