ORTOPÉDIA: KÉPLETEK, TERÜLET, TÉRFOGAT, ÁTLÓ, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

Az ortopédia egy térbeli vagy háromdimenziós geometriai ábra, amelyet hat téglalap alakú felület jellemez, úgy, hogy az ellenkező felületek párhuzamos síkokban vannak, és azonosak vagy egymással megegyező téglalapok. Másrészről, az adott felülettel szomszédos felületek a kezdeti felületre merőleges síkokban vannak.

Az ortopédia egy olyan téglalap alakú ortogonális prizmaként is tekinthető, amelyben a közös szélekkel szomszédos két oldal síkjai által alátámasztott szögletes szögek 90º-osak. A két oldal közötti szögletes szöget a felületek metszéspontjában és a számukra közös merőleges síkban mérik.

1. ábra. Ortodox. Forrás: F. Zapata a Geogebrával.

Hasonlóképpen, az ortoéder egy téglalap alakú, párhuzamos csíkkal rendelkezik, mivel így határozzák meg a párhuzamos csövet úgy, mint a hat oldal térhatású alakja, amelyek egymással párhuzamosak.

Bármely párhuzamos csőnél az arcok párhuzamosak, de a téglalap alakú párhuzamos alakban az arcoknak téglalap alakúnak kell lenniük.

Az ortoéder részei

A poliéder részei, mint például az ortoéder, a következők:

-Aristas

-Vertices

-Faces

Az ortopédia egyik oldalának két széle közötti szög egybeesik a kétoldalú szöggel, amelyet a másik két oldal az egyes szélekkel szomszédos, egyenes szöget képez. A következő kép tisztázza az egyes fogalmakat:

2. ábra. Egy ortoéder alkatrészei. Forrás: F. Zapata a Geogebrával.

- Összességében egy ortoédernek van 6 oldala, 12 éle és 8 csúcsa.

-A két szél közötti szög derékszög.

-A két oldal közötti diéles szög is helyes.

- Mindegyik oldalon négy csúcs van, és minden csúcson három, egymástól ortogonális oldal van.

Ortopédikus képletek

Terület

Az ortoéder felülete vagy területe az arca felületének összege.

Ha a csúcson találkozó három élnek a, b és c méretei vannak, amint azt a 3. ábra mutatja, akkor az elülső felületnek c⋅b területe van, és az alsó felületnek szintén c⋅b területe.

Akkor a két oldalsó oldal felülete egyenként kb. És végül, a padló és a mennyezet felületének mindegyike tienenc.

3. ábra. Az a, b, c méretek ortopédjai. Belső átló és külső átló d.

Az összes arc felületének hozzáadásával:

Közös tényező figyelembevétele és a feltételek rendezése:

Hangerő

Ha az ortoédert prizmának tekintik, akkor a térfogatát így kell kiszámítani:

Ebben az esetben a c és a méretű padlót vesszük téglalap alakú alapnak, tehát az alap területe c⋅a.

A magasságot az a és c oldal felületéhez merőleges szélek b hossza adja meg.

Az alap (a⋅c) területét szorozva a b magassággal, megkapjuk az ortoéder V térfogatát:

Belső átló

Az ortodéderben kétféle átlós lehet: a külső átlók és a belső átlók.

A külső átlók a téglalap alakú felületeken helyezkednek el, míg a belső átlók azok a szegmensek, amelyek két egymással ellentétes csúcshoz csatlakoznak, és azokat az ellentétes csúcsoknak kell megérteniük, amelyeknek nincs közös széle.

Az ortopédia négy belső átlóval rendelkezik, amelyek mindegyike azonos méretű. A belső átlók hossza a jobb oldali háromszögek Pythagorai tételének alkalmazásával érhető el.

Az ortoéder padlófelületének külső átlójának d hossza teljesíti a Pitagóra-összefüggést:

d ² = a ² + c ²

Hasonlóképpen, a D intézkedés belső átlója teljesíti a pitagorói kapcsolatot:

D ² = d ² + b ².

A két korábbi kifejezés kombinálásával:

D ² = a ² + c ² + b ².

Végül az ortopédron bármelyik belső átlójának hosszát a következő képlet adja meg:

D = √ (a ² + b ² + c ²).

Példák

- 1. példa

A kőműves egy tartályt épít fel ortoéder alakban, amelynek belső méretei: 6 mx 4 m alap és 2 m magasság. Azt kérdezi:

a) Határozza meg a tartály belső felületét, ha a teteje teljesen nyitva van.

b) Számítsa ki a tartály belső térfogatát.

c) Keresse meg a belső átló hosszát.

d) Mekkora a tartály kapacitása literben?

Megoldás

A téglalap alakú alap méreteit a = 4 m és c = 6 m, a magasságot pedig b = 2 m-nek vesszük

Az adott méretekkel rendelkező ortoéder területét a következő kapcsolat adja:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Vagyis:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ²) = ² (44 m ²) = 88 m ²

Az előző eredmény a zárt ortoéder területe a megadott méretekkel, de mivel a tartály felső falának teljesen felfedezetlen tartálya van, a tartály belső falainak felületét megkapjuk, ezért ki kell vonni a hiányzó fedél területét, azaz:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ².

Végül a tartály belső felülete: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ².

B. Megoldás

A tartály belső térfogatát a tartály belső méreteihez tartozó ortoéder térfogata adja meg:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³.

C. Megoldás

Az oktaéder belső átlója és a tartály belsejének méretei D hosszúságúak:

√ (a ² + b ² + c ²) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ²)

A megadott műveletek elvégzése:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ²) = √ (56 m ²) = 2√ (14) m = 7,48 m.

D. Megoldás

A tartály térfogatának literben történő kiszámításához tudnia kell, hogy egy köbméter deciméter térfogata megegyezik egy liter kapacitásával. Korábban térfogatát köbméterben számították ki, de ezt köbméter-deciméterre, majd literre kell átszámítani:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4 800 dm ³ = 4 800 L

- 2. gyakorlat

Az üveg akvárium köbméter alakú, oldalsó 25 cm. Határozzuk meg a területet m ² -ben, a térfogatot literben és a belső átló hosszát cm-ben.

4. ábra Kocka alakú üveg akvárium.

Megoldás

A területet ugyanazon ortoéderes képlettel kell kiszámítani, de figyelembe kell venni, hogy az összes méret azonos:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ egy ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1,250 cm ²

A kocka térfogatát a következő adja meg:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

A belső átló D hossza:

D = √ (3a ²) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Irodalom

1. Arias J. GeoGebra: Prizma. Helyreállítva: youtube.com.
2. Calculation.cc. Gyakorlatok és a megoldandó területek és kötetek problémái Helyreállítva: calculo.cc.
3. Salvador R. Piramis + ortoéder GEOGEBRA-val (IHM). Helyreállítva: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". Mathworld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Helyreállítva: es.wikipedia.com