HIPERBOLIKUS PARABOLOID: MEGHATÁROZÁS, TULAJDONSÁGOK ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

A hiperbolikus paraboloid olyan felület, amelynek általános egyenlete derékszögű koordinátákban (x, y, z) megfelel az alábbi egyenletnek:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

A "paraboloid" név abból a tényből származik, hogy a z változó az x és y változó négyzeteitől függ. Míg a "hiperbolikus" melléknév annak a ténynek köszönhető, hogy a rögzített z értékeknél a hiperbola egyenlete van. Ennek a felületnek a alakja hasonló a ló nyeregéhez.

1. ábra: hiperbolikus paraboloid z = x ² - y ². Forrás: F. Zapata, a Wolfram Mathematica segítségével.

A hiperbolikus paraboloid leírása

A hiperbolikus paraboloid természetének megértése érdekében a következő elemzést kell elvégezni:

1.- Az adott esetet a = 1, b = 1 vesszük, vagyis a paraboloid derékszögű egyenlete z = x ² - y ^{2 marad}.

2.- A síkokat a ZX síkkal párhuzamosan tekintjük, azaz y = ctte.

3.- Ha y = ctte, akkor z = x ² - C marad, ami olyan parabolakat ábrázol, amelyek az ágak felfelé vannak, és csúcsuk az XY sík alatt van.

2. ábra. Z = x ² - C. görbék családja. Forrás: F. Zapata a Geogebra alkalmazásával.

4.- x = ctte esetén z = C - y ^{2 marad}, ami parabolákat ábrázol, lefelé az ágakkal és az XY sík feletti csúccsal.

3. ábra. Z = C - y ² görbék családja. Forrás: F. Zapata a Geogebrán keresztül.

5.- Ha z = ctte, akkor C = x ² - y ^{2 marad}, ami az XY síkkal párhuzamos síkok hiperboljait képviseli. Ha C = 0, akkor két vonal van (+ 45º és -45 ° -ban az X tengelyhez képest), amelyek keresztezik a kiindulási pontot az XY síkon.

4. ábra. Az x ² - y ² = C. görbék családja. Forrás: F. Zapata a Geogebra segítségével.

A hiperbolikus paraboloid tulajdonságai

1.- A háromdimenziós térben négy különböző pont határozza meg az egyetlen hiperbolikus paraboloidot.

2.- A hiperbolikus paraboloid kétszeresen uralkodó felület. Ez azt jelenti, hogy annak ellenére, hogy görbe felületű, két különböző vonal halad át a hiperbolikus paraboloid minden pontján, amelyek teljes mértékben a hiperbolikus paraboloidhoz tartoznak. A másik felület, amely nem sík és kétszer uralkodik, a forradalom hiperboloidja.

Pontosan a hiperbolikus paraboloid második tulajdonsága tette lehetővé széles körű felhasználását az építészetben, mivel a felület gerendákból vagy egyenes húrokból állítható elő.

A hiperbolikus paraboloid második tulajdonsága alternatív meghatározást tesz lehetővé: a felület létrehozható egy rögzített síkkal párhuzamos egyenes vonallal, és két rögzített vonalat vág fel, amelyek útmutatóként szolgálnak. A következő ábra tisztázza a hiperbolikus paraboloid alternatív meghatározását:

5. ábra. A hiperbolikus paraboloid kétszeresen uralkodó felület. Forrás: F. Zapata.

Működő példák

- 1. példa

Mutassuk meg, hogy az egyenlet: z = xy egy hiperbolikus paraboloidnak felel meg.

Megoldás

A x és y változókra transzformációt kell alkalmazni, amely megfelel a derékszög tengelyének + 45 ° Z tengelyhez viszonyított forgásának. A régi x és y koordinátákat az új x 'és y' -okra transzformáljuk a következő kapcsolatok szerint:

x = x '- y'

y = x '+ y'

míg a z koordinátája változatlan marad, azaz z = z '.

A z = xy egyenlet helyettesítésével:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Ha a különbség figyelemre méltó szorzatát alkalmazzuk a négyzetek különbségével megegyező összeggel, akkor:

z '= x' ² - y ' ²

amely egyértelműen megfelel a hiperbolikus paraboloid eredetileg megadott meghatározásának.

Az XY tengelyével párhuzamos síkoknak a z = xy hiperbolikus paraboloiddal történő elfogása meghatározza az egyenlő oldalú hiperbolákat, amelyek aszimptotája az x = 0 és y = 0 síkok.

- 2. példa

Határozzuk meg a hiperbolikus paraboloid a és b paramétereit, amelyek áthaladnak az A pontokon (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) és D (2, -1, 32/9).

Megoldás

Tulajdonságai szerint a háromdimenziós térben négy pont határozza meg az egyetlen hiperbolikus paraboloidot. Az általános egyenlet:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Kicseréljük a megadott értékeket:

Az A ponthoz 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ², egy olyan egyenlettel rendelkezik, amely teljesül, függetlenül az a és b paraméterek értékétől.

A B pont helyébe a következőket kapjuk:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Míg a C pont esetében ez továbbra is fennáll:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Végül, a D ponthoz a következőket kapjuk:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Ami megegyezik az előző egyenlettel. Végül meg kell oldani az egyenletek rendszerét:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

A második egyenlet kivonása az elsőből:

27/9 = 3 / a ^2, ami azt jelenti, hogy a ² = 1.

Hasonló módon a második egyenletet kivonjuk az első négyszögéből, és így kapjuk meg:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

A következőképpen egyszerűsítve:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Röviden: a megadott A, B, C és D pontokon áthaladó hiperbolikus paraboloidnak egy derékszögű egyenlete van:

z = x ² - (4/9) y ²

- 3. példa

A hiperbolikus paraboloid tulajdonságai szerint minden olyan ponton két vonal halad át, amelyek teljesen benne vannak. A z = x ^ 2 - y ^ 2 esethez keresse meg a P ponton (0, 1, -1) áthaladó két vonal egyenletét, amely egyértelműen a hiperbolikus paraboloidhoz tartozik, úgy, hogy ezen vonalak összes pontja a azonos.

Megoldás

A négyzetek különbségének figyelemre méltó szorzata alapján a hiperbolikus paraboloid egyenletét így írhatjuk:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Ahol c jelentése nem nulla állandó.

Az x + y = cz egyenlet és az x - y = 1 / c egyenlet két síknak felel meg, amelyek normál vektorai n = <1,1, -c> és m = <1, -1,0>. Az mxn = <- c, -c, -2> vektortermék adja meg a két sík metszéspontjának irányát. Akkor a P ponton áthaladó és a hiperbolikus paraboloidhoz tartozó egyenes paraméteres egyenlettel rendelkezik:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

A c meghatározásához helyettesítjük a P pontot az x + y = cz egyenletben, így kapjuk meg:

c = -1

Hasonló módon, de figyelembe véve az (x - y = kz) és (x + y = 1 / k) egyenleteket, megvan a sor paraméteres egyenlete:

= <0, 1, -1> + s ha k = 1.

Összefoglalva: a két sor:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> és = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Teljesen benne vannak a z = x ² - y ² hiperbolikus paraboloidban, amely áthalad a ponton (0, 1, -1).

Ellenőrzésként tegyük fel, hogy t = 1, amely megadja a pontot (1,2, -3) az elsõ sorban. Ellenőriznie kell, hogy a z = x ² - y ² paraboloidon is található-e:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Ami megerősíti, hogy valóban a hiperbolikus paraboloid felületéhez tartozik.

A hiperbolikus paraboloid az építészetben

6. ábra: Valencia (Spanyolország) óceánrajzja. Forrás: Wikimedia Commons.

A hiperbolikus paraboloidot az építészetben a nagy avantgárd építészek használják, amelyek közül kiemelkedik a spanyol építész, Antoni Gaudí (1852-1926) és különösen a spanyol Félix Candela (1910-1997) neve.

Az alábbiakban néhány, a hiperbolikus paraboloidon alapuló munka található:

- A Cuernavaca város kápolna (Mexikó), Félix Candela építész munkája.

-A Valencia (Spanyolország) Oceanográfia, szintén Félix Candela.

Irodalom

1. A matematika enciklopédia. Uralkodott felület. Helyreállítva: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hiperbolikus paraboloid. Helyreállítva: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hiperbolikus paraboloid." A MathWorld-tól - egy Wolfram webes erőforrás. Helyreállítva: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Helyreállítva: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Helyreállítva: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Uralkodott felület. Helyreállítva: en.wikipedia.com