PÁRHUZAMOS: JELLEMZŐK, TÍPUSOK, TERÜLET, TÉRFOGAT - MATEMATIKA - 2026

A párhuzamos cső egy geometriai test, amely hat felületből áll, amelynek fő jellemzője, hogy minden felülete párhuzamos, és ellentétes felületei párhuzamosak egymással. Ez egy általános poliéder a mindennapi életünkben, mivel cipődobozokban, tégla alakban, mikrohullámú alakban stb. Találhatjuk meg.

Poliéderként a párhuzamos cső véges térfogatot fed le, és minden felülete sík. A prizmák csoportjába tartozik, amelyek azok a többrétegűek, amelyekben minden csúcsa két párhuzamos síkban van.

A párhuzamos csöves elemek

arcok

Ezek mindegyike a párhuzamos csövet korlátozó párhuzamos diagramok által alkotott régió. A párhuzamos cső hat oldallal rendelkezik, ahol mindegyik oldalnak négy szomszédos és egy ellentétes oldala van. Mindegyik oldal párhuzamos az ellenkezőjével.

élek

A két oldal közös oldala. Összességében egy párhuzamos csőnek tizenkét éle van.

Csúcs

Ez a három oldal közös pontja, amelyek egymással szomszédosak egymással. A párhuzamos csőnek nyolc csúcsa van.

Átlós

Mivel a párhuzamos cső két, egymással szemben lévő oldalával felhívhatunk egy vonalszakaszt, amely az egyik oldal csúcsától a másik ellenkező csúcsáig megy.

Ezt a szegmenst a párhuzamos cső átlójának nevezik. Mindegyik párhuzamos csőnek négy átlója van.

Központ

Az a pont, ahol az összes átló keresztezi.

A párhuzamos csúcs jellemzői

Mint már említettük, ennek a geometriai testnek tizenkét éle, hat oldala és nyolc csúcsa van.

Párhuzamos csőben három, négy élekből álló halmaz azonosítható, amelyek párhuzamosak egymással. Ezenkívül az említett készletek széleinek tulajdonsága ugyanolyan hosszú.

Egy másik tulajdonság, amely a párhuzamos csövekkel rendelkezik, konvex, azaz ha bármilyen pár pontot veszünk, amely a párhuzamos cső belsejébe tartozik, akkor az említett pontpár által meghatározott szegmens szintén a párhuzamos csőnél lesz.

Ezen túlmenően a konvex többrétegű párhuzamos csövek megfelelnek az Euler többrétegű tételének, amely összefüggést ad nekünk az arcok száma, az élek száma és a csúcsok száma között. Ezt a kapcsolatot a következő egyenlet formájában adjuk meg:

C + V = A + 2

Ezt a karakterisztikát Euler-karakterisztikának nevezzük.

Ahol C az arcok száma, V a csúcsok száma és A az élek száma.

típusai

A párhuzamos csöveket az arcuk alapján a következő típusokba sorolhatjuk:

Orthohedron

Ezek a párhuzamos csövek, ahol arca hat téglalapból áll. Minden téglalap merőleges azokra, amelyeknek éle oszlik. Ezek a leggyakoribbak mindennapi életünkben, ez a cipődobozok és téglák szokásos formája.

Normál kocka vagy hexahedron

Ez az előző eset egyedi esete, ahol az egyes lapok négyzet alakúak.

A kocka szintén része a platonikus szilárd anyagnak nevezett geometriai testeknek. A platonikus szilárd anyag egy konvex poliéder, úgy, hogy mind a felülete, mind a belső szöge megegyezzen egymással.

romboéderes

Arcához párhuzamos csomó van. Ezek a rombuszok egyenlőek egymással, mivel osztoznak egymással.

romboéderes

Hat arca rombusz alakú. Emlékezzünk arra, hogy a rombusz egy sokszög, amelynek négy oldala és négy szöge egyenlő kettővel. A rombuszok olyan párhuzamos diagramok, amelyek nem négyzetek, sem téglalapok, sem rombuszok.

Másrészről, az ferde párhuzamos csövek azok, amelyekben legalább egy magasság nem egyezik a szélükkel. Ebbe az osztályozásba beletartozhat a rhombohedra és a rhombohedra.

Átlóságok számítása

Kiszámításához az átlós egy orthohedron tudjuk használni a Pitagorasz-tétel R ³.

Emlékezzünk arra, hogy az ortoédernek az a jellemzője, hogy mindkét oldala merőleges azokkal az oldalakkal, amelyeknek egy széle van. Ebből a tényből levonhatjuk, hogy minden él merőleges azokkal, amelyek csúcsa oszlik meg.

Az ortopédron átlójának hosszának kiszámításához az alábbiak szerint járunk el:

1. Kiszámoljuk az egyik oldal átlóját, amelyet alapként fogunk felvinni. Ehhez a Pitagorasi tételt használjuk. Nézzük ezt az átlós d _b-et.

2. Ezután d _b-vel egy új derékszögű háromszöget képezhetünk úgy, hogy az említett háromszög hipotenuusa a D átló, amelyet keresünk.

3. Újra használjuk a Pitagorasi tételt, és azt találjuk, hogy ennek az átlónak a hossza:

Az átlók grafikusabb kiszámításának másik módja szabad vektorok hozzáadása.

Emlékezzünk arra, hogy két szabad A és B vektort adunk hozzá úgy, hogy a B vektor farkát az A vektor végével helyezzük el.

Az (A + B) vektor az, amely az A végénél kezdődik és a B végén ér véget.

Vegyünk egy párhuzamos csövet, amelyre átlós értéket szeretnénk kiszámítani.

Az éleket kényelmesen orientált vektorokkal azonosítjuk.

Ezután hozzáadjuk ezeket a vektorokat, és a kapott vektor lesz a párhuzamos cső átlója.

Terület

A párhuzamos cső területét az arcok mindegyik területének összege adja meg.

Ha az egyik oldalt alapként határozzuk meg, A _L + 2A _B = teljes terület

Ahol A _L egyenlő az alaphoz szomszédos összes oldal felületének összegével, az úgynevezett oldalsó területtel, és A _B az alap területével.

Attól függően, hogy milyen párhuzamos csövekkel dolgozunk, átírhatjuk ezt a képletet.

Egy ortoéder területe

Ezt a képlet adja meg

A = 2 (ab + bc + ca).

1. példa

Tekintettel a következő ortoedronra, amelynek oldala a = 6 cm, b = 8 cm és c = 10 cm, számolja ki a párhuzamos cső területét és annak átlós hosszát.

Az ortoéder területének képletével megkapjuk ezt

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ².

Figyelem: mivel ortopédron, négy átlójának bármelyikének hossza azonos.

A Pitagorasi térelmélet térbeli felhasználásával megvan

D = (6 ² + 8 ² + 10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Egy kocka területe

Mivel minden él azonos hosszúságú, akkor a = b és a = c vannak. Helyettesítés az előző képletben

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ²) = 6a ²

A = 6a ²

2. példa

A játékkonzol dobozja kocka alakú. Ha ezt a dobozt ajándékcsomagolással szeretnénk csomagolni, mennyi papírt költenénk tudva, hogy a kocka széleinek hossza 45 cm?

A kocka területének képletével ezt kapjuk

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ²) = 12150 cm ²

Egy romboéder területe

Mivel minden arca azonos, csak kiszámoljuk egyikük területét és szorzzuk meg hatszor.

Van, hogy a rombusz területe átlóságain keresztül az alábbi képlettel számítható ki

A _R = (Dd) / 2

E képlet alkalmazásával következik, hogy a romboéder teljes területe

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

3. példa

A következő romboéder felületeit olyan rombusz alkotja, amelynek átlója D = 7 cm és d = 4 cm. Az ön területe lesz

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ².

Egy romboéder területe

A romboéder területének kiszámításához ki kell számolnunk az azt alkotó romboidok területét. Mivel a párhuzamos csövek teljesítik azt a tulajdonságot, hogy az ellenkező oldalak azonos területtel rendelkeznek, az oldalakat három párba rendezhetjük.

Ilyen módon azt látjuk, hogy az ön területe lesz

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Ahol b _i az oldalakhoz kapcsolódó alapok és a h _i ezeknek az alapoknak megfelelő relatív magassága.

4. példa

Vegyük figyelembe a következő párhuzamos csövet:

ahol az A oldal és az A 'oldal (annak ellentétes oldala) alapja b = 10 és magassága h = 6. A megjelölt terület értéke

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

A B és B 'értéke b = 4 és h = 6, tehát

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC és C 'értéke b = 10 és h = 5, tehát

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Végül a romboéder területe

A = 120 + 48 + 100 = 268.

A párhuzamos cső mennyisége

A képlet, amely megadja nekünk a párhuzamos cső térfogatát, az egyik felületének a szorzata az adott arcnak megfelelő magassággal.

V = A _C h _C

A párhuzamos cső típusától függően ez a képlet egyszerűsíthető.

Így például van, hogy az ortopeedron térfogatát a következő adja meg

V = abc.

Ahol a, b és c jelentése az ortoéder széleinek hossza.

És az adott esetben a kocka

V = a ³

1. példa

Három különböző modell van a sütemény dobozokhoz, és azt szeretné tudni, hogy ezek közül melyikben tárolhat több sütit, vagyis melyik dobozban található a legnagyobb mennyiség.

Az első egy kocka, amelynek széle a = 10 cm hosszú

Térfogata V = 1000 cm ³

A második széle b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Ezért térfogata V = 765 cm ³

És a harmadik e = 9 cm, f = 9 cm és g = 13 cm

És térfogata V = 1053 cm ³

Ezért a legnagyobb mennyiségű doboz a harmadik.

Egy másik módszer a párhuzamos cső térfogatának meghatározására a vektor algebra felhasználása. Különösen a hármas ponttermék.

Az egyik geometriai értelmezés, amely a hármas skaláris szorzatnak felel meg, a párhuzamos cső térfogata, amelynek élei három vektor, amelyeknek ugyanaz a csúcsa van, mint a kiindulási pont.

Ilyen módon, ha van párhuzamos csövük és szeretnénk tudni, hogy milyen a térfogata, akkor elegendő azt egy R ³ koordinátarendszerben ábrázolni, ha annak egyik csúcsa egybeesik az eredettel.

Ezután azokat az éleket ábrázoljuk, amelyek az origónál egybeesnek a vektorokkal, az ábra szerint.

És ily módon megvan, hogy az említett párhuzamos csövű térfogatát az adja meg

V = - AxB ∙ C-

Vagy egyenértékű módon a térfogat a 3 × 3 mátrix meghatározója, amelyet az élvektorok alkotóelemei képeznek.

2. példa

Ha az R ^3-ban a következő párhuzamos csövet ábrázoljuk, láthatjuk, hogy az azt meghatározó vektorok a következők

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) és w = (-0,25, -4, 4)

A meglévő hármaszárványos termék felhasználásával

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Ebből arra következtethetünk, hogy V = 60

Nézzük most az alábbi párhuzamos csövet az R3-ban, amelynek széleit a vektorok határozzák meg

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) és C = (3,4, 4)

A determinánsok használata ezt adja meg

Így van, hogy az említett párhuzamos cső térfogata 112.

Mindkettő egyenértékű módon számolja a térfogatot.

Tökéletes párhuzamos

Az ortédert Euler-téglaként (vagy Euler-blokkként) nevezzük, amely teljesíti azt a tulajdonságot, hogy mind széleinek hossza, mind az egyes oldalainak átlóinak hossza egész számok.

Bár Euler nem volt az első tudós, aki megvizsgálta az ortoéderat, amely teljesíti ezt a tulajdonságot, érdekes eredményeket talált róluk.

A legkisebb Euler téglát Paul Halcke fedezte fel, széleinek hossza a = 44, b = 117 és c = 240.

A számelméletben a következő probléma létezik

Van-e tökéletes ortoédera?

Jelenleg erre a kérdésre nem válaszoltak, mivel nem sikerült bizonyítani, hogy ilyen testületek nem léteznek, de egyiket sem találtak.

Ami eddig megmutatta, hogy tökéletes párhuzamos csövek léteznek. Az első felfedezésre kerülő élek hossza a 103, 106 és 271 érték.

Bibliográfia

1. Guy, R. (1981). Megoldatlan problémák a számelméletben. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. Előrehalad.
3. Leithold, L. (1992). A számítás analitikus geometriával. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Műszaki rajz: 3. füzet 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., és Krane, K. (2001). Physics 1. kötet. Mexikó: kontinentális.