HATSZÖGLETŰ PIRAMIS: MEGHATÁROZÁS, JELLEMZŐK ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

A hatszögletű piramis egy sokszögű, amelyet egy hatszög alkot, amely az alap, és hat háromszög, amelyek a hatszög csúcsaitól kezdődnek és az alapot tartalmazó síkon kívüli ponton találkoznak. A párhuzamosság ezen pontját a piramis csúcsa vagy csúcsa néven ismertek.

A poliéder egy zárt háromdimenziós geometriai test, amelynek arcai sík alakúak. A hatszög egy zárt sík alak (sokszög), amely hat oldalból áll. Ha mind a hat oldal azonos hosszúságú és egyenlő szöget képez, akkor azt szabályosnak tekintik; egyébként szabálytalan.

Meghatározás

A hatszögletű piramis hét felületet tartalmaz, az alapot és a hat oldalsó háromszöget, amelyek közül az alap az egyetlen, amely nem érinti a csúcsot.

A piramisról azt mondják, hogy egyenes, ha az összes oldalsó háromszög egyenlő méretű. Ebben az esetben a piramis magassága az a szegmens, amely a csúcstól a hatszög középpontjába megy.

Általában a piramis magassága a csúcs és az alap síkja közötti távolság. A piramis ferdenek mondja, ha nem minden oldalsó háromszög egyenlő méretű.

Ha a hatszög szabályos és a piramis szintén egyenes, akkor azt mondják, hogy szabályos hatszögletű piramis. Hasonlóképpen, ha a hatszög szabálytalan vagy a piramis ferde, akkor azt mondják, hogy szabálytalan hatszögletű piramis.

jellemzők

Konkáv vagy domború

A sokszög konvex, ha az összes belső szög mértéke kisebb, mint 180 fok. Geometriailag ez azzal egyenértékű, hogy azt állítják, hogy ha a poligonon belül egy pár pontot kapnak, a hozzájuk kapcsolódó vonalszakasz a sokszögben található. Ellenkező esetben a sokszög homorú.

Ha a hatszög konvex, akkor a piramis konvex hatszög alakú piramis. Egyébként azt fogják mondani, hogy konkáv hatszögletű piramis.

élek

A piramis szélei a hat háromszög oldalát alkotják, amelyek azt alkotják.

Apothem

A piramis apotémája a csúcs és a piramis alja közötti távolság. Ennek a meghatározásnak csak akkor van értelme, ha a piramis szabályos, mert ha szabálytalan, akkor ez a távolság a figyelembe vett háromszögtől függ.

Ezzel szemben a szabályos piramisokban az apothem minden egyes háromszög magasságának felel meg (mivel mindegyik egyenlő méretű), és minden háromszögben azonos lesz.

Az alap apotémája az alap egyik oldala és annak középpontja közötti távolság. A meghatározás módjától függően az alap apotémája csak a szabályos piramisokban van értelme.

jelöléseivel

A hatszögletű piramis magasságát h jelzi, az alap apotémiáját (szokásos esetben) az APb, a piramis apotémiáját (a szokásos esetben is) az AP jelöli.

A szabályos hatszögletű piramisok jellemzője, hogy h, APb és AP derékszögű háromszöget alkotnak, hipotenuzus AP-vel, valamint h és APb lábakkal. A Pitagóra tétel szerint AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

A fenti kép egy szabályos piramisot ábrázol.

Hogyan lehet kiszámítani a területet? képletek

Vegyünk egy szabályos hatszögletű piramisot. Legyen A a hatszög mindkét oldalának a mértéke. Ekkor A megfelel a piramis minden egyes háromszögének alappontjának, tehát az alap széleinek.

A sokszög területe a kerület (az oldalak összegének) és az alap apotémájának szorzata, kettőre osztva. Hatszög esetén 3 * A * APb lenne.

Látható, hogy a szabályos hatszögletű piramis területe a piramis minden háromszögének és az alap területének hatszorosa. Mint korábban említettük, az egyes háromszögek magassága megegyezik a piramis apotémájával, AP.

Ezért a piramis minden egyes háromszögének területét A * AP / 2 adja meg. Így a szabályos hatszögletű piramis területe 3 * A * (APb + AP), ahol A az alap széle, APb az alap apotémiája és AP a piramis apotémiája.

Számítás szabálytalan hatszögletű piramisokban

Szabálytalan hatszögletű piramis esetében nincs közvetlen képlet a terület kiszámításához, mint az előző esetben. Ennek oka az, hogy a piramis minden egyes háromszögének eltérő területe van.

Ebben az esetben az egyes háromszögek területét külön kell kiszámítani, és meg kell határozni az alap területét. Ekkor a piramis területe az összes korábban kiszámított terület összegének lesz.

Hogyan lehet kiszámítani a hangerőt? képletek

A szabályos hatszögletű piramis térfogata a piramis magasságának és az alap területének háromszorosának szorzata. Így a szabályos hatszögletű piramis térfogatát A * APb * h adja meg, ahol A az alap széle, APb az alap apotémája és h a piramis magassága.

Számítás szabálytalan hatszögletű piramisokban

A területhez hasonlóan szabálytalan hatszögletű piramis esetén nincs közvetlen képlet a térfogat kiszámítására, mivel az alap széleinek nem ugyanaz a mértéke, mert szabálytalan sokszög.

Ebben az esetben az alap alapterületét külön kell kiszámítani, és a térfogat (h * az alap alapterülete) / 3 lesz.

Példa

Keresse meg a 3 cm magasságú szabályos hatszögletű piramis területét és térfogatát, amelynek alapja mindkét oldalán egy szabályos hatszögletű 2 cm, az alap apotémája pedig 4 cm.

Megoldás

Először ki kell számítani a piramis apotémiáját (AP), amely az egyetlen hiányzó adat. A fenti képen látható, hogy a piramis magassága (3 cm) és az alap apotémája (4 cm) derékszögű háromszöget alkot; Ezért a piramis apothemájának kiszámításához a Pitagóra tételt használjuk:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Így a fenti képlet alkalmazásával következik, hogy a terület egyenlő 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2-rel.

Másrészt, a térfogatképlet alkalmazásával megkapjuk, hogy az adott piramis térfogata 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3.

Irodalom

1. Billstein, R., Libeskind, S., és Lott, JW (2013). Matematika: problémamegoldó megközelítés az általános iskolai tanárok számára. López Mateos szerkesztők.
2. Fregoso, RS és Carrera, SA (2005). Matematika 3. Szerkesztési progreso.
3. Gallardo, G. és Pilar, PM (2005). Matematika 6. Szerkesztési progreso.
4. Gutiérrez, CT és Cisneros, MP (2005). 3. matematika kurzus. Szerkesztői Progreso.
5. Kinsey, L. és Moore, TE (2006). Szimmetria, alak és tér: Bevezetés a matematikába a geometria segítségével (illusztrált, újra nyomtatva). Springer Tudományos és Üzleti Média.
6. Mitchell, C. (1999). Káprázatos Math Line Designs (illusztrált szerkesztés). Scholastic Inc.
7. R., MP (2005). Húzzam a 6.-ot Szerkesztői Progreso.