AZ ADDITÍV ELV: MIBŐL ÁLL, ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

Az additív elv egy valószínűség-számláló technika, amely lehetővé teszi, hogy megmérjük, hogy egy tevékenység hány módon végezhető el, amelynek viszont számos végrehajtandó alternatívája van, amelyek közül egyszerre csak egyet lehet választani. Erre a klasszikus példa az, amikor egy szállítási vonalat akar választani, amely egyik helyről a másikra megy.

Ebben a példában az alternatívák megfelelnek az összes lehetséges szállítási vonalnak, amelyek a kívánt útvonalat lefedik, legyen az akár légi, akár tengeri vagy szárazföldi. Nem mehetünk egy helyre két szállítóeszközzel egyszerre; csak egyet kell választanunk.

Az additív elv azt mondja nekünk, hogy az utazás megkönnyítésének száma megfelel minden lehetséges alternatíva (szállítóeszköz) összegének, amely létezik a kívánt helyre való eljutáshoz; ez magában foglalja azokat a szállítóeszközöket is, amelyek valahol megállnak. (vagy helyek) között.

Nyilvánvaló, hogy az előző példában mindig a legkényelmesebb alternatívát választjuk, amely leginkább megfelel a lehetőségeinknek, de valószínűség szerint nagyon fontos tudni, hogy egy esemény hány módon hajtható végre.

Valószínűség

Általában véve a valószínűség a matematika azon területe, amely felelős az események vagy jelenségek, valamint a véletlenszerű kísérletek tanulmányozásáért.

A kísérlet vagy véletlenszerű jelenség olyan művelet, amely nem mindig ad azonos eredményeket, még akkor is, ha ugyanazon kezdeti feltételek mellett hajtják végre, anélkül, hogy az eredeti eljárásban bármit megváltoztatnának.

Klasszikus és egyszerű példa annak megértésére, hogy egy véletlenszerű kísérlet áll, egy érme vagy kocka dobása. A művelet mindig ugyanaz lesz, de nem mindig kapunk "fejet" vagy "hatot".

A valószínűség feladata technikák biztosítása annak meghatározására, hogy egy adott véletlen esemény milyen gyakran fordulhat elő; többek között a legfontosabb az, hogy előre jelezzék a lehetséges jövőbeli eseményeket, amelyek bizonytalanok.

Esemény valószínűsége

Pontosabban, az A esemény bekövetkezésének valószínűsége nulla és egy közötti valós szám; vagyis az intervallumhoz tartozó szám. Ezt P (A) jelöli.

Ha P (A) = 1, akkor az A esemény bekövetkezésének valószínűsége 100%, és ha nulla, akkor nincs esélye annak bekövetkezésére. A mintaterület az összes lehetséges eredmény halmaza, amelyet véletlenszerű kísérlet elvégzésével lehet elérni.

Az esettől függően legalább négy típusú vagy fogalmi tényező létezik: a klasszikus valószínűség, a gyakori valószínűség, a szubjektív és az axiomatikus valószínűség. Mindegyik különféle esetekre összpontosít.

A klasszikus valószínűség magában foglalja azt az esetet, amikor a mintaterületen véges számú elem van.

Ebben az esetben az A esemény bekövetkezésének valószínűsége a kívánt eredmény eléréséhez rendelkezésre álló alternatívák száma (azaz az A halmazban lévő elemek száma), elosztva a mintaterületen lévő elemek számával.

Ebben az esetben figyelembe kell venni, hogy a mintaterület összes elemének valószínűleg azonosnak kell lennie (például mint egy változatlan változatot, amelyben a hat szám bármelyikének valószínűsége azonos).

Például, milyen valószínűséggel fordul meg egy préspáratlan páratlan szám? Ebben az esetben az A halmaz minden páratlan számból áll, 1 és 6 között, és a mintaterület minden 1-6 közötti számból áll. Tehát A-nak van 3 eleme, és a mintaterületnek van 6. Tehát Ezért P (A) = 3/6 = 1/2.

Mi az adalékanyag elve?

Mint már korábban kijelentettük, a valószínűség azt méri, hogy egy esemény milyen gyakran fordul elő. Ennek a frekvencianak a meghatározása részeként fontos tudni, hogy az esemény hány módon hajtható végre. Az adalékanyag elve lehetővé teszi számításunkat egy adott esetben.

Az additív elv a következőt állapítja meg: Ha A olyan esemény, amelynek „a” végrehajtási módja van, és B olyan esemény, amelynek „b” végrehajtási módja van, és ha ezen kívül csak A vagy B fordulhat elő, és nem mindkettő a Ugyanakkor az A vagy B (A deB) megvalósításának módjai a + b.

Általában ezt egy véges számú halmaz uniójára állítják be (2-nél nagyobb vagy egyenlő).

Példák

Első példa

Ha egy könyvesbolt irodalomról, biológiáról, orvostudományról, építészetről és kémiáról szóló könyveket árusít, ezekből 15 különféle irodalmi, 25 biológiai, 12 orvostudományi, 8 építészeti és 10 kémiai könyveket kínál, hány lehetőség van az ember számára válasszon építészeti vagy biológiai könyvet?

Az additív elv azt mondja nekünk, hogy a választás lehetőségei vagy módjai 8 + 25 = 33.

Ez az elv alkalmazható akkor is, ha egyetlen eseményről van szó, amelynek viszont különböző alternatívái vannak.

Tegyük fel, hogy egy bizonyos tevékenységet vagy eseményt akar végrehajtani, és hogy többféle alternatíva áll rendelkezésre, mondjuk n.

Az első alternatívához viszont _{1 megvalósítási} módja van, a második alternatívanak _{2 megvalósítási} módja van, és így tovább, az n számú alternatíva _n módon történhet.

Az additív elv szerint az A esemény _1- től _2-ig +… + -ig hajtható végre _n módon.

Második példa

Tegyük fel, hogy valaki cipőt akar vásárolni. Amikor megérkezik a cipőboltba, cipőméretének csak két különböző modelljét találja meg.

Kétféle szín létezik: az egyik és a másik öt. Hány módon kell ennek a személynek megvásárolnia? Az additív elv szerint a válasz 2 + 5 = 7.

Az additív alapelvet akkor kell alkalmazni, ha ki akarja számítani az egyik vagy a másik esemény végrehajtásának módját, nem mindkettő egyszerre.

Az események egymással ("és") egy másikkal történő végrehajtásának különféle módjainak kiszámításához - azaz hogy mindkét eseménynek egyszerre kell történnie - a multiplikatív elv kerül alkalmazásra.

Az additív elv a valószínűség szempontjából az alábbiak szerint értelmezhető: az A vagy B esemény bekövetkezésének valószínűsége, amelyet P (A∪B) jelöl, tudva, hogy A nem fordulhat elő egyszerre B-vel, értéke P (A∪B) = P (A) + P (B).

Harmadik példa

Mennyire valószínű, hogy egy 5-et kap, ha dob egy szerszámot vagy fejet egy érme dobásakor?

Mint fentebb láttuk, általában egy szám megszerzésének valószínűsége egy szerszámgördüléskor 1/6.

Különösen az 5-ös valószínűsége 1/6. Hasonlóképpen, az érme dobásakor valószínűsége, hogy fejek lesznek, 1/2. Ezért az előző kérdésre a válasz: P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Irodalom

1. Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: A klasszikus valószínűség színpadának meghatározása és alkalmazásai. CRC Press.
2. Cifuentes, JF (2002). Bevezetés a valószínűség elméletébe. Kolumbia állampolgára.
3. Daston, L. (1995). Klasszikus valószínűség a megvilágosodásban. Princeton University Press.
4. Hopkins, B. (2009). Források a diszkrét matematika tanításához: Tantermi projektek, történelem modulok és cikkek.
5. Johnsonbaugh, R. (2005). Diszkrét matematika. Pearson oktatás.
6. Larson, HJ (1978). Bevezetés a valószínűségi elméletbe és a statisztikai következtetésekbe. Szerkesztői Limusa.
7. Lutfiyya, LA (2012). Végtelen és diszkrét matematikai problémamegoldó. Kutatási és Oktatási Szövetség szerkesztői.
8. Martel, PJ és Vegas, FJ (1996). Valószínűség és matematikai statisztikák: alkalmazások a klinikai gyakorlatban és az egészség kezelésében. A Díaz de Santos kiadásai.
9. Padró, FC (2001). Diszkrét matematika. POLITEC. Catalunya.
10. Steiner, E. (2005). Alkalmazott tudományok matematika. Reverte.