- Példák
- 1. példa
- Megoldás
- 2. példa
- Megoldás
- Számlálási technikák
- Kiegészítés elve
- Példa
- Megoldás
- Permutációs elv
- Példa
- Megoldás
- Példa
- Megoldás
- Példa
- Megoldás
- A kombinációs elv
- Példa
- Megoldás
- Megoldott gyakorlatok
- 1. Feladat
- Megoldás
- 2. gyakorlat
- Megoldás
- Irodalom
A szorzó elv egy olyan módszer, amellyel a számlálási problémákat oldják meg annak érdekében, hogy megoldást találjanak anélkül, hogy elemeit fel kellene sorolni. A kombinatorikus elemzés alapelveként is ismert; az egymást követő szorzáson alapul annak meghatározására, hogy egy esemény hogyan fordulhat elő.
Ez az elv kimondja, hogy ha a (d 1) döntést n módon lehet meghozni, és egy másik döntést (d 2) meg lehet hozni m módon, akkor a d 1 és d 2 határozatok meghozatalának teljes száma egyenlő megszorozzuk n * m-ből. Az elv szerint minden döntést egymás után hoznak: utak száma = N 1 * N 2 … * N x módon.

Példák
1. példa
Paula azt tervezi, hogy barátaival moziba megy, és hogy kiválassza a ruháját, amelyet viselni fog, 3 blúzt és 2 szoknyát választottam el. Hány módon lehet Paula öltözni?

Megoldás
Ebben az esetben Paulanak két döntést kell hoznia:
d 1 = Válasszon a 3 blúz közül = n
d 2 = Válasszon a 2 szoknya közül = m
Ilyen módon Paula n * m döntéseket hoz, vagy különféle öltözködési lehetőségeket hoz.
n * m = 3 * 2 = 6 döntés.
A szorzó elv a fadiagram technikájából származik, amely egy diagram, amely az összes lehetséges eredményt összekapcsolja, így mindegyik véges számú alkalommal fordulhat elő.
2. példa
Mario nagyon szomjas volt, ezért ment a pékségbe, hogy lét vásároljon. Luis vigyáz rá, és elmondja neki, hogy két méretben kapható: nagy és kicsi; és négy íz: alma, narancs, citrom és szőlő. Hányféle módon választhatja meg Mario a gyümölcslevet?

Megoldás
Az ábrán látható, hogy Mario 8 különböző módszerrel választhatja ki a lé kiválasztását, és hogy a szorzó elvhez hasonlóan ezt az eredményt n * m szorzásával érik el. Az egyetlen különbség az, hogy ezen a diagramon keresztül láthatja, hogy a Mario milyen módon választja a gyümölcslevet.
Másrészről, ha a lehetséges eredmények száma nagyon nagy, célszerűbb a szorzó elv alkalmazása.
Számlálási technikák
A számlálási technikák olyan módszerek, amelyek segítségével közvetlen számlálást végezhetnek, és így tudják, hogy hány lehetséges elrendezés létezhet egy adott halmaz elemei között. Ezek a technikák több elven alapulnak:
Kiegészítés elve
Ez az elv azt állítja, hogy ha két m és n esemény nem fordulhat elő egyszerre, akkor az első vagy a második esemény bekövetkezésének módozatainak száma m + n összege:
Alakzatok száma = m + n… + x különböző alak.
Példa
Antonio utazni akarja, de nem dönt arról, hogy melyik célállomásra; a déli idegenforgalmi ügynökségnél promóciót kínálnak Önnek New Yorkba vagy Las Vegasba történő utazáshoz, míg a keleti turisztikai ügynökség ajánlja Franciaországba, Olaszországba vagy Spanyolországba történő utazást. Hány különböző alternatívát kínál Önnek Antonio?
Megoldás
A déli turisztikai ügynökségnél Antonio-nak 2 alternatíva van (New York vagy Las Vegas), míg a keleti turisztikai ügynökségnél 3 alternatíva van (Franciaország, Olaszország vagy Spanyolország). A különböző alternatívák száma:
Alternatívák száma = m + n = 2 + 3 = 5 alternatíva.
Permutációs elv
A készlet alkotó elemeinek vagy azok egy részének speciális megrendeléséről van szó, hogy megkönnyítsük az elemekkel elvégezhető összes lehetséges elrendezés megszámolását.
Az n különböző elem permutációinak száma egyszerre véve a következő:
n P n = n!
Példa
Négy barát szeretne képet készíteni, és szeretné tudni, hogy hány különféle módon lehet őket elrendezni.
Megoldás
Szeretné tudni az összes lehetséges módot, amellyel a 4 embert elhelyezheti a kép készítésében. Így:
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 különböző alak.
Ha az n rendelkezésre álló elem permutációinak számát az r elemekből álló halmaz részei veszik fel, akkor az a következő:
n P r = n! ÷ (n - r)!
Példa
Egy osztályteremben 10 ülőhely van. Ha 4 diák vesz részt az osztályban, akkor hányféle módon tölthetik meg a hallgatók a pozíciókat?
Megoldás
Van, hogy a székek teljes száma 10, ebből csak 4 kerül felhasználásra. A megadott képletet alkalmazzuk a permutációk számának meghatározására:
n P r = n! ÷ (n - r)!
10 P 4 = 10! ÷ (10 - 4)!
10 P 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 a helyek kitöltésének módja.
Vannak esetek, amikor egy készlet rendelkezésre álló elemei megismétlődnek (ugyanazok). Az összes elemet egyidejűleg figyelembe vevő tömbök kiszámításához a következő képletet kell használni:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 !… n r !
Példa
Hány különböző négybetűs szó képezhető a "farkas" szóból?
Megoldás
Ebben az esetben 4 elem (betű) van, amelyek közül kettő pontosan azonos. Az adott képlet alkalmazásával ismert, hogy hány különféle szó ered:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 !… n r !
4 P 2, 1,1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 különböző szó.
A kombinációs elv
Az összes elem vagy azok egy részének elrendezése, amelyek meghatározott sorrend nélkül képezik a készletet. Például, ha van XYZ elrendezése, akkor azonos lesz többek között a ZXY, YZX, ZYX elrendezéssel; Ennek oka az, hogy annak ellenére, hogy nem azonos sorrendben vannak, az egyes elrendezések elemei azonosak.
Ha egyes (r) elemeket az (n) halmazból veszünk, akkor a kombináció elvét a következő képlet adja meg:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
Példa
Egy üzletben 5 különböző típusú csokoládét árusítanak. Hány különböző módon választhatunk 4 csokoládét?
Megoldás
Ebben az esetben 4 csokoládét kell választani a boltban eladott 5 típus közül. A kiválasztásuk sorrendje nem bír jelentőséggel, ráadásul egy csokoládéfajtát több mint kétszer lehet megválasztani. A képlet alkalmazásával:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
5 C 4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!
5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 különböző módszer a 4 csokoládé kiválasztására.
Ha az (n) halmaz összes elemét (r) figyelembe vesszük, a kombinációs elv a következő képlettel adható meg:
n C n = n!
Megoldott gyakorlatok
1. Feladat
Van egy baseball csapat 14 tagú. Hány módon lehet 5 pozíciót kiosztani egy játékhoz?
Megoldás
A készlet 14 elemből áll, és 5 konkrét pozíciót szeretne hozzárendelni; vagyis a rend számít. A permutációs képletet akkor alkalmazzák, ahol n rendelkezésre álló elemet az r által alkotott halmaz részei vesznek.
n P r = n! ÷ (n - r)!
Ahol n = 14 és r = 5. Ezt a következő képletben helyettesítjük:
14 P 5 = 14! ÷ (14 - 5)!
14 P 5 = 14! ÷ (9)!
14 P 5 = 240 240 módszer a 9 játék pozíció hozzárendelésére.
2. gyakorlat
Ha egy 9 éves család utazik, és egymás utáni helyekkel vásárol jegyet, hányféle módon ülhetnek le?
Megoldás
Körülbelül 9 elem foglalja el egymás után 9 ülőhelyet.
P 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 különféle ülési módok.
Irodalom
- Hopkins, B. (2009). Források a diszkrét matematika tanításához: Tantermi projektek, történelem modulok és cikkek.
- Johnsonbaugh, R. (2005). Diszkrét matematika. Pearson Oktatás,.
- Lutfiyya, LA (2012). Végtelen és diszkrét matematikai problémamegoldó. Kutatási és Oktatási Szövetség szerkesztői.
- Padró, FC (2001). Diszkrét matematika. POLITEC. Catalunya.
- Steiner, E. (2005). Alkalmazott tudományok matematika. Reverte.
