SZORZÓ ELV: SZÁMLÁLÁSI TECHNIKÁK ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

A szorzó elv egy olyan módszer, amellyel a számlálási problémákat oldják meg annak érdekében, hogy megoldást találjanak anélkül, hogy elemeit fel kellene sorolni. A kombinatorikus elemzés alapelveként is ismert; az egymást követő szorzáson alapul annak meghatározására, hogy egy esemény hogyan fordulhat elő.

Ez az elv kimondja, hogy ha a (d ₁) döntést n módon lehet meghozni, és egy másik döntést (d ₂) meg lehet hozni m módon, akkor a d ₁ és d ₂ határozatok meghozatalának teljes száma egyenlő megszorozzuk n _* m-ből. Az elv szerint minden döntést egymás után hoznak: utak száma = N _{1 *} N ₂ … _* N _x módon.

Példák

1. példa

Paula azt tervezi, hogy barátaival moziba megy, és hogy kiválassza a ruháját, amelyet viselni fog, 3 blúzt és 2 szoknyát választottam el. Hány módon lehet Paula öltözni?

Megoldás

Ebben az esetben Paulanak két döntést kell hoznia:

d ₁ = Válasszon a 3 blúz közül = n

d ₂ = Válasszon a 2 szoknya közül = m

Ilyen módon Paula n _* m döntéseket hoz, vagy különféle öltözködési lehetőségeket hoz.

n _* m = 3 _* 2 = 6 döntés.

A szorzó elv a fadiagram technikájából származik, amely egy diagram, amely az összes lehetséges eredményt összekapcsolja, így mindegyik véges számú alkalommal fordulhat elő.

2. példa

Mario nagyon szomjas volt, ezért ment a pékségbe, hogy lét vásároljon. Luis vigyáz rá, és elmondja neki, hogy két méretben kapható: nagy és kicsi; és négy íz: alma, narancs, citrom és szőlő. Hányféle módon választhatja meg Mario a gyümölcslevet?

Megoldás

Az ábrán látható, hogy Mario 8 különböző módszerrel választhatja ki a lé kiválasztását, és hogy a szorzó elvhez hasonlóan ezt az eredményt n _* m szorzásával érik el. Az egyetlen különbség az, hogy ezen a diagramon keresztül láthatja, hogy a Mario milyen módon választja a gyümölcslevet.

Másrészről, ha a lehetséges eredmények száma nagyon nagy, célszerűbb a szorzó elv alkalmazása.

Számlálási technikák

A számlálási technikák olyan módszerek, amelyek segítségével közvetlen számlálást végezhetnek, és így tudják, hogy hány lehetséges elrendezés létezhet egy adott halmaz elemei között. Ezek a technikák több elven alapulnak:

Kiegészítés elve

Ez az elv azt állítja, hogy ha két m és n esemény nem fordulhat elő egyszerre, akkor az első vagy a második esemény bekövetkezésének módozatainak száma m + n összege:

Alakzatok száma = m + n… + x különböző alak.

Példa

Antonio utazni akarja, de nem dönt arról, hogy melyik célállomásra; a déli idegenforgalmi ügynökségnél promóciót kínálnak Önnek New Yorkba vagy Las Vegasba történő utazáshoz, míg a keleti turisztikai ügynökség ajánlja Franciaországba, Olaszországba vagy Spanyolországba történő utazást. Hány különböző alternatívát kínál Önnek Antonio?

Megoldás

A déli turisztikai ügynökségnél Antonio-nak 2 alternatíva van (New York vagy Las Vegas), míg a keleti turisztikai ügynökségnél 3 alternatíva van (Franciaország, Olaszország vagy Spanyolország). A különböző alternatívák száma:

Alternatívák száma = m + n = 2 + 3 = 5 alternatíva.

Permutációs elv

A készlet alkotó elemeinek vagy azok egy részének speciális megrendeléséről van szó, hogy megkönnyítsük az elemekkel elvégezhető összes lehetséges elrendezés megszámolását.

Az n különböző elem permutációinak száma egyszerre véve a következő:

_n P _n = n!

Példa

Négy barát szeretne képet készíteni, és szeretné tudni, hogy hány különféle módon lehet őket elrendezni.

Megoldás

Szeretné tudni az összes lehetséges módot, amellyel a 4 embert elhelyezheti a kép készítésében. Így:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 különböző alak.

Ha az n rendelkezésre álló elem permutációinak számát az r elemekből álló halmaz részei veszik fel, akkor az a következő:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Példa

Egy osztályteremben 10 ülőhely van. Ha 4 diák vesz részt az osztályban, akkor hányféle módon tölthetik meg a hallgatók a pozíciókat?

Megoldás

Van, hogy a székek teljes száma 10, ebből csak 4 kerül felhasználásra. A megadott képletet alkalmazzuk a permutációk számának meghatározására:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 a helyek kitöltésének módja.

Vannak esetek, amikor egy készlet rendelkezésre álló elemei megismétlődnek (ugyanazok). Az összes elemet egyidejűleg figyelembe vevő tömbök kiszámításához a következő képletet kell használni:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Példa

Hány különböző négybetűs szó képezhető a "farkas" szóból?

Megoldás

Ebben az esetben 4 elem (betű) van, amelyek közül kettő pontosan azonos. Az adott képlet alkalmazásával ismert, hogy hány különféle szó ered:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 különböző szó.

A kombinációs elv

Az összes elem vagy azok egy részének elrendezése, amelyek meghatározott sorrend nélkül képezik a készletet. Például, ha van XYZ elrendezése, akkor azonos lesz többek között a ZXY, YZX, ZYX elrendezéssel; Ennek oka az, hogy annak ellenére, hogy nem azonos sorrendben vannak, az egyes elrendezések elemei azonosak.

Ha egyes (r) elemeket az (n) halmazból veszünk, akkor a kombináció elvét a következő képlet adja meg:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Példa

Egy üzletben 5 különböző típusú csokoládét árusítanak. Hány különböző módon választhatunk 4 csokoládét?

Megoldás

Ebben az esetben 4 csokoládét kell választani a boltban eladott 5 típus közül. A kiválasztásuk sorrendje nem bír jelentőséggel, ráadásul egy csokoládéfajtát több mint kétszer lehet megválasztani. A képlet alkalmazásával:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 különböző módszer a 4 csokoládé kiválasztására.

Ha az (n) halmaz összes elemét (r) figyelembe vesszük, a kombinációs elv a következő képlettel adható meg:

_n C _{n =} n!

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Van egy baseball csapat 14 tagú. Hány módon lehet 5 pozíciót kiosztani egy játékhoz?

Megoldás

A készlet 14 elemből áll, és 5 konkrét pozíciót szeretne hozzárendelni; vagyis a rend számít. A permutációs képletet akkor alkalmazzák, ahol n rendelkezésre álló elemet az r által alkotott halmaz részei vesznek.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Ahol n = 14 és r = 5. Ezt a következő képletben helyettesítjük:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 módszer a 9 játék pozíció hozzárendelésére.

2. gyakorlat

Ha egy 9 éves család utazik, és egymás utáni helyekkel vásárol jegyet, hányféle módon ülhetnek le?

Megoldás

Körülbelül 9 elem foglalja el egymás után 9 ülőhelyet.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 különféle ülési módok.

Irodalom

1. Hopkins, B. (2009). Források a diszkrét matematika tanításához: Tantermi projektek, történelem modulok és cikkek.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diszkrét matematika. Pearson Oktatás,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Végtelen és diszkrét matematikai problémamegoldó. Kutatási és Oktatási Szövetség szerkesztői.
4. Padró, FC (2001). Diszkrét matematika. POLITEC. Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Alkalmazott tudományok matematika. Reverte.