TÖBB TERMÉK: TULAJDONSÁGOK, ALKALMAZÁSOK ÉS GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A kereszttermék vagy vektortermék két vagy több vektor szorzásának módja. A vektorok szorzásának három módja van, ezek egyike sem a szó szokásos értelemben vett szorzás. Ezen formák egyike vektortermékként ismert, amely harmadik vektort eredményez.

A keresztterméknek, amelyet keresztterméknek vagy külső terméknek is nevezünk, különböző algebrai és geometriai tulajdonságai vannak. Ezek a tulajdonságok nagyon hasznosak, különösen a fizika tanulmányozása szempontjából.

Meghatározás

A vektortermék formális meghatározása a következő: ha A = (a1, a2, a3) és B = (b1, b2, b3) vektorok, akkor A és B vektorterméke, amelyet AxB-vel jelölünk:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Az AxB jelölés miatt "A kereszt B" -nek hívják.

A külső termék használatának példája az, hogy ha A = (1, 2, 3) és B = (3, -2, 4) vektorok, akkor egy vektor termék meghatározásának felhasználásával rendelkezünk:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

A vektortermék kifejezésének egy másik módját a determinánsok jelölése adja.

A második rendű determináns kiszámítását az alábbiak szerint végezzük:

Ezért a meghatározásban megadott, a kereszttermékre vonatkozó képlet a következőképpen írható át:

Ezt általában egy harmadik sorrendű meghatározóvá egyszerűsítik, az alábbiak szerint:

Ahol az i, j, k képviselik a vektorokat, amelyek alapját képezik az R ³.

A kereszttermék kifejezésének ilyen módszerével azt kaphatjuk, hogy az előző példát így írhatjuk át:

Tulajdonságok

Néhány tulajdonság, amely a vektor terméknek a következő:

1. ingatlan

Ha A bármelyik vektor R ^3-ban, akkor:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Ezeket a tulajdonságokat egyszerűen csak a meghatározás segítségével ellenőrizni lehet. Ha A = (a1, a2, a3), akkor:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ha i, j, k képviselik az R ^{3 egységbázisát}, akkor az alábbiak szerint írhatjuk őket:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Tehát, a következő tulajdonságok igazak:

Mnemonikus szabályként a következő kört gyakran használják ezeknek a tulajdonságoknak a megjegyzésére:

Itt meg kell jegyeznünk, hogy bármely önmagában lévõ vektor eredményeként 0-nak adódik a vektor, és a többi termék a következõ szabály szerint kapható:

Két egymást követő vektor keresztmetszete az óramutató járásával megegyező irányban adja meg a következő vektort; és ha az óramutató járásával ellentétes irányba vesszük, az eredmény a következő negatív jelű vektor.

Ezeknek a tulajdonságoknak köszönhetően láthatjuk, hogy a vektortermék nem komutációs; Például, csak vegye figyelembe, hogy ixj ≠ jx i. A következő tulajdonság megmutatja, hogy az AxB és a BxA hogyan viszonyulnak általában.

2. ingatlan

Ha A és B vektorokat a R ³, van:

AxB = - (BxA).

Demonstráció

Ha A = (a1, a2, a3) és B = (b1, b2, b3), akkor a külső termék meghatározása szerint:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Azt is láthatjuk, hogy ez a termék nem társul a következő példához:

ix (ixj) = ixk = - j, de (ixi) xj = 0xj = 0

Ebből láthatjuk, hogy:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

3. ingatlan

Ha az A, B, C vektorok R ³ és R egy valós szám, a következő igaz:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Ezeknek a tulajdonságoknak köszönhetően kiszámolhatjuk a vektorterméket az algebrai törvények alapján, feltéve, hogy a sorrendet betartják. Például:

Ha A = (1, 2, 3) és B = (3, -2, 4), tudjuk átírni őket szempontjából a kanonikus alapján R ³.

Így A = i + 2j + 3k és B = 3i - 2j + 4k. Ezután az előző tulajdonságok alkalmazásával:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

4. tulajdonság (hármas ponttermék)

Mint az elején említettük, a vektortermék mellett a vektorok szaporításának más módjai is vannak. Az egyik ilyen módszer a skaláris termék vagy belső termék, amelyet A ∙ B-nek jelölnek és amelynek meghatározása:

Ha A = (a1, a2, a3) és B = (b1, b2, b3), akkor A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Az a tulajdonság, amely mindkét terméket összekapcsolja, tripla skaláris terméknek nevezik.

Ha az A, B, és C vektorok R ³, akkor A ∙ BXC = AxB ∙ C

Példaként nézzük meg, hogy ha A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) és C = (- 5, 1, - 4), akkor ez a tulajdonság teljesül.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Másrészről:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Egy másik hármas termék az Ax (BxC), amelyet hármas vektor termékként is ismert.

5. tulajdonság (hármas vektor termék)

Ha az A, B és C vektorok R ³, akkor:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Példaként nézzük meg, hogy ha A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) és C = (- 5, 1, - 4), akkor ez a tulajdonság teljesül.

Az előző példából tudjuk, hogy BxC = (- 18, - 22, 17). Számítsuk ki az Ax (BxC) értéket:

Tengely (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Másrészt:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Így:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

6. ingatlan

Ez a vektorok egyik geometriai tulajdonsága. Ha A és B két vektorok R ³ és Θ az a szög között képződött őket, majd:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), ahol - ∙ - egy vektor modulusát vagy nagyságát jelöli.

Ennek a tulajdonságnak a geometriai értelmezése a következő:

Legyen A = PR és B = PQ. Tehát az A és B vektorok által létrehozott szög az RQP háromszög P szöge, ahogy az a következő ábrán látható.

Ezért a párhuzamos ábra azon területe, amelynek szomszédos oldalai PR és PQ, --A ---- B - sin (ϴ), mivel alapként vehetjük a --A-- értéket, és annak magasságát --B - sin (ϴ).

Ezért azt a következtetést vonhatjuk le, hogy --AxB-- az említett párhuzamos diagram területe.

Példa

Figyelembe véve a P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) és S (5,7, -3) négyszög következő csúcsait, mutatjuk be, hogy az említett négyszög egy párhuzamos diagram, és keresse meg területét.

Ehhez először meghatározzuk azokat a vektorokat, amelyek meghatározzák a négyszög oldalának irányát. Ez:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Mint láthatjuk, A és C azonos irányító vektorral rendelkezik, amelyekre vonatkozóan mindkettő párhuzamos; ugyanez történik B-vel és D-vel. Ezért azt a következtetést vonjuk le, hogy a PQRS párhuzamos diagram.

A paralelogram területének kiszámításához kiszámoljuk a BxA-t:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Ezért a négyzet területe a következő lesz:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Megállapítható, hogy a párhuzamos diagram területe a 89 négyzetgyöke lesz.

7. ingatlan

Két a és b vektorok párhuzamosak a R ³, ha, és csak akkor, ha AxB = 0

Demonstráció

Nyilvánvaló, hogy ha A vagy B nulla vektor, akkor teljesül, hogy AxB = 0. Mivel a nulla vektor párhuzamos más vektorral, akkor a tulajdonság érvényes.

Ha a két vektor közül egyik sem nulla vektor, akkor nagyságaink különböznek nullától; vagyis mind a --A-- ≠ 0, mind a --B-- ≠ 0, tehát --AxB-- = 0 lesz akkor és csak akkor, ha sin (ϴ) = 0, és ez csak akkor történik, ha ϴ = π vagy ϴ = 0.

Ezért akkor vonhatjuk le az AxB = 0 értéket, ha és csak akkor, ha ϴ = π vagy ϴ = 0, ami csak akkor történik, ha mindkét vektor párhuzamos egymással.

8. ingatlan

Ha A és B két vektorok R ³, akkor AxB merőleges mind az A és B

Demonstráció

Erre a bizonyítékra emlékezzünk, hogy két vektor merőleges, ha A ∙ B nulla. Ezen felül tudjuk, hogy:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, de az AxA egyenlő nullával. Ezért van:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Ebből arra következtethetünk, hogy A és AxB merőlegesek egymásra. Hasonlóan:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Mivel BxB = 0, rendelkezünk:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Ezért az AxB és B merőlegesek egymásra, és ezzel demonstrálják a tulajdonságot. Ez nagyon hasznos számunkra, mivel lehetővé teszik számunkra, hogy meghatározzuk a sík egyenletét.

1. példa

Kapja meg a sík egyenletét, amely áthalad a P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) és R (2, 1, 3) pontokon.

Legyen A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) és B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Ezután A = - i + 3j + k és B = i - 2j + k. A három pont által alkotott sík megkereséséhez elegendő egy síkhoz normál vektort találni, amely az AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Ezzel a vektorral, és figyelembe véve a P pontot (1, 3, 2), a sík egyenletét az alábbiak szerint határozhatjuk meg:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Tehát a sík egyenlete 5x + 2y - z - 9 = 0.

2. példa

Keresse meg a P (4, 0, - 2) pontot tartalmazó sík egyenletét, amely merőleges az x - y + z = 0 és 2x + y - 4z - 5 = 0 síkokra.

Tudva, hogy egy normál vektor egy ax + síkra + + cz + d = 0 -val (a, b, c), megkapjuk, hogy (1, -1,1) x - y + z = 0 y (2,1, - 4) egy normál vektor, amelynek 2x + y - 4z - 5 = 0.

Ezért a keresett sík normál vektorának merőlegesnek kell lennie az (1, -1,1) és a (2, 1, - 4) értékkel. Ez a vektor:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Ezután azt találjuk, hogy a keresett sík az, amely P pontot (4,0, - 2) tartalmaz, és a (3,6,3) vektorral rendelkezik normál vektorként.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Alkalmazások

A párhuzamos cső térfogatának kiszámítása

A hármas skaláris szorzót alkalmazó alkalmazásnak képesnek kell lennie egy olyan párhuzamos cső térfogatának kiszámítására, amelynek széleit az A, B és C vektor adja meg, az ábra szerint:

Ezt az alkalmazást az alábbiak szerint vonhatjuk le: amint már említettük, az AxB vektor olyan vektor, amely normális az A és B síkkal. Arra is számítunk, hogy a (- AxB) vektor egy másik, az említett síkra normál vektor.

A normál vektort választjuk, amely a legkisebb szöget képezi a C vektorral; Az általános jelleg elvesztése nélkül legyen az AxB az a vektor, amelynek szöge C-vel a legkisebb.

Van, hogy mind az AxB, mind a C azonos kiindulási ponttal rendelkezik. Ezenkívül tudjuk, hogy a párhuzamos cső alapját képező párhuzamos ábra területe --AxB--. Ezért ha a párhuzamos csúcs magasságát h adja meg, akkor a térfogata a következő lesz:

V = --AxB - h.

Másrészt vizsgáljuk meg az AxB és a C pontpontot, amelyet a következőképpen lehet leírni:

A trigonometrikus tulajdonságok alapján azonban h = --C - cos (ϴ) van, tehát:

Ilyen módon megvan:

Általánosságban azt mondhatjuk, hogy a párhuzamos cső térfogatát az AxB ∙ C hármasszkár szorzata abszolút értéke adja meg.

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Tekintettel a P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) és S = (2, 6, 9) pontokra, ezek a pontok párhuzamos csövet alkotnak, amelynek élei ezek PQ, PR és PS. Határozzuk meg az említett párhuzamos cső térfogatát.

Megoldás

Ha vesszük:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

A hármas skaláris termék tulajdonságát felhasználva:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Ezért van az, hogy az említett párhuzamos cső térfogata 52.

2. gyakorlat

Határozzuk meg egy olyan párhuzamos cső térfogatát, amelynek széleit A = PQ, B = PR és C = PS adja, ahol a P, Q, R és S pontok (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) és (2, 2, 5).

Megoldás

Először azt kapjuk, hogy A = (2, 2, -1), B = (1,2, 2), C = (1, -1, 1).

Kiszámítjuk az AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6) értékét.

Ezután kiszámoljuk az AxB ∙ C értéket:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Megállapítottuk tehát, hogy az említett párhuzamos cső térfogata 1 köbméter.

Irodalom

1. Leithold, L. (1992). A számítás analitikus geometriával. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., és Krane, K. (2001). Physics 1. kötet. Mexikó: kontinentális.
3. Saenz, J. (második). Vektor kalkulus 1ed. Átfogó.
4. Spiegel, MR (2011). Vektoros elemzés 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG és Wright, W. (2011). Több változó kiszámítása 4ed. Mc Graw Hill.