- A szorzás asszociatív tulajdonsága
- A szorzás asszociatív tulajdonságának alkalmazása
- Példák
- A vektorok asszociatív tulajdonsága
- A polinomok faktorizálása kifejezések csoportosítása révén
- Feladatok
- - 1. Feladat
- Megoldás
- - 2. gyakorlat
- Megoldás
- Irodalom
Az asszociativitás hozzáadás képviseli asszociatív jellegét az összeadást a különböző matematikai készletek. Ebben az említett halmazok három (vagy több) elem kapcsolódik egymáshoz, úgynevezett a, b és c, így mindig igaz:
a + (b + c) = (a + b) + c
Ily módon garantált, hogy a művelet végrehajtásának csoportosítási módjától függetlenül az eredmény ugyanaz.

1. ábra. Az összeadás asszociatív tulajdonságát sokszor használjuk aritmetikai és algebrai műveletek elvégzésekor. (Rajz: freepik Összetétel: F. Zapata)
De meg kell jegyezni, hogy az asszociatív tulajdonság nem azonos a kommutációs tulajdonsággal. Vagyis tudjuk, hogy a kiegészítések sorrendje nem változtatja meg az összeget, vagy hogy a tényezők sorrendje nem változtatja meg a terméket. Tehát az összegért így lehet írni: a + b = b + a.
Az asszociatív tulajdonságban azonban ez más, mivel a hozzáadandó elemek sorrendje megmarad, és mi változtatja meg az elsőként végrehajtandó műveletet. Ami azt jelenti, hogy az első (b + c) hozzáadása és a hozzáadása ehhez az eredményhez nem számít, ha elkezdi hozzáadni a -val az eredményt hozzáadó c-t.
Számos fontos művelet, például az addíció asszociatív, de nem minden. Például a valós számok kivonásával előfordul, hogy:
a - (b - c) ≠ (a - b) - c
Ha a = 2, b = 3, c = 1, akkor:
2– (3–1) ≠ (2–3) –1
0 ≠ -2
A szorzás asszociatív tulajdonsága
Ahogyan azt az összeadáshoz megtették, a szorzás asszociatív tulajdonsága kimondja:
a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c
A valós számok halmaza esetén könnyű ellenőrizni, hogy mindig ez a helyzet. Például az a = 2, b = 3, c = 1 értékeket használva:
2 ˟ (3 ˟ 1) = (2 ˟ 3) ˟ 1 → 2 ˟ 3 = 6 ˟ 1
6 = 6
A valós számok teljesítik az összeadás és szorzás asszociatív tulajdonságát. Másrészt, egy másik halmazban, mint például a vektorok, az összeg asszociatív, de a kereszt- vagy vektortermék nem.
A szorzás asszociatív tulajdonságának alkalmazása
Az asszociatív tulajdonságot teljesítő műveletek előnye, hogy a legkényelmesebb módon csoportosíthatók. Ez sokkal könnyebbé teszi a felbontást.
Tegyük fel például, hogy egy kis könyvtárban 3 polc van, egyenként 5 polccal. Mindegyik polcon 8 könyv található. Hány könyv van összesen?
A műveletet így hajthatjuk végre: összes könyv = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 könyv.
Vagy így: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 könyv.

2. ábra. A szorzás asszociatív tulajdonságának egyik alkalmazása az egyes polcokon lévő könyvek számának kiszámítása. Kép készítette: F. Zapata.
Példák
-A természetes, egész számok, racionális, valós és komplex számok halmazában az összeadás és szorzás asszociatív tulajdonsága teljesül.

3. ábra. Valós számok esetén az összeadás asszociatív tulajdonsága teljesül. Forrás: Wikimedia Commons.
- Polinómokra ezek a műveletek is vonatkoznak.
-A kivonás, osztás és exponencia műveletek esetén az asszociatív tulajdonság nem érvényes valós számokra vagy polinomokra.
-Mátrixok esetén az asszociatív tulajdonság teljesül az összeadás és szorzás érdekében, bár az utóbbi esetben a kommutativitás nem teljesül. Ez azt jelenti, hogy az A, B és C mátrixra való tekintettel igaz:
(A x B) x C = A x (B x C)
De… A x B ≠ B x A
A vektorok asszociatív tulajdonsága
A vektorok a halmaztól vagy a komplex számtól eltérő halmazt alkotnak. A vektorkészletre meghatározott műveletek kissé eltérnek: vannak összeadás, kivonás és háromféle termék.
A vektorok összege teljesíti az asszociatív tulajdonságot, csakúgy, mint a számok, polinomok és mátrixok. Ami a skaláris termékeket, a vektorok által létrehozott skaláris és a kereszteket, amelyeket a vektorok között készítenek, az utóbbi nem teljesíti, de a skaláris szorzat, amely a vektorok közötti másik művelet, teljesíti, figyelembe véve a következőket:
-A skalár és egy vektor szorzata vektort eredményez.
- És ha két vektor skalaráris szorzásával számolunk, akkor skalár lesz.
Ezért, figyelembe véve a v, u és w vektorokat , valamint ezen felül egy λ skalárt, a következőt lehet írni:
- A vektorok összege: v + (u + w) = (v + u) + w
-Skáláris termék: λ (v • u) = (λ v) • u
Ez utóbbi azért lehetséges, mert v • u egy skalár, és λ v egy vektor.
Azonban:
v × (u × w) ≠ (v × u) × w
A polinomok faktorizálása kifejezések csoportosítása révén
Ez az alkalmazás nagyon érdekes, mert mint már korábban elhangzott, az asszociatív tulajdonság segít bizonyos problémák megoldásában. A monomialisok összege asszociatív, és ez használható faktorizálásra, ha egyértelmű közös tényező nem jelenik meg első pillantásra.
Tegyük fel például, hogy a következő tényezőt kéri: x 3 + 2 x 2 + 3 x +6. Ennek a polinomnak nincs közös tényezője, de nézzük meg, mi történik, ha így csoportosulunk:
Az első zárójelben a axe 2 közös tényezője van:
A második esetben a közös tényező 3:
Feladatok
- 1. Feladat
Az iskolaépület 4 emelettel rendelkezik, mindegyikben 12 osztályterem található, 30 íróasztallal. Hány íróasztal van az iskolában?
Megoldás
Ezt a problémát a szorzás asszociatív tulajdonságának alkalmazásával oldjuk meg, lássuk:
Asztalok száma összesen = 4 emelet x 12 tanterem / padló x 30 íróasztal = (4 x 12) x 30 íróasztal = 48 x 30 = 1440 íróasztal.
Vagy ha inkább: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 íróasztal
- 2. gyakorlat
Tekintettel a polinomokra:
A (x) = 5x 3 + 2x 2 -7x + 1
B (x) = x 4 + 6x 3 -5x
C (X) = -8x 2 + 3x -7
Az addíció asszociatív tulajdonságát alkalmazva keresse meg az A (x) + B (x) + C (x) értéket.
Megoldás
Az első kettőt csoportosíthatja, és a harmadik hozzáadhatja az eredményhez:
A (x) + B (x) = + = x 4 + 11x 3 + 2x 2 -12x +1
Azonnal hozzáadjuk a C (x) polinomot:
+ = X 4 + 11x 3 - 6x 2 -9x -6
Az olvasó ellenőrizheti, hogy az eredmény megegyezik-e, ha az A (x) + opcióval oldják meg.
Irodalom
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- A matematika szórakoztató, komutációs, asszociációs és elosztó törvények. Helyreállítva: mathisfun.com.
- Matematikai raktár. A társulási vagyon meghatározása. Helyreállítva: mathwarehouse.com.
- Sciencing. Az összeadás és szorzás asszociatív és komutációs tulajdonságai (példákkal). Helyreállítva: sciencing.com.
- Wikipedia. Társulási tulajdonság. Helyreállítva: en.wikipedia.org.
