ASSZOCIATÍV TULAJDONSÁG: ÖSSZEADÁS, SZORZÁS, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

Az asszociativitás hozzáadás képviseli asszociatív jellegét az összeadást a különböző matematikai készletek. Ebben az említett halmazok három (vagy több) elem kapcsolódik egymáshoz, úgynevezett a, b és c, így mindig igaz:

a + (b + c) = (a + b) + c

Ily módon garantált, hogy a művelet végrehajtásának csoportosítási módjától függetlenül az eredmény ugyanaz.

1. ábra. Az összeadás asszociatív tulajdonságát sokszor használjuk aritmetikai és algebrai műveletek elvégzésekor. (Rajz: freepik Összetétel: F. Zapata)

De meg kell jegyezni, hogy az asszociatív tulajdonság nem azonos a kommutációs tulajdonsággal. Vagyis tudjuk, hogy a kiegészítések sorrendje nem változtatja meg az összeget, vagy hogy a tényezők sorrendje nem változtatja meg a terméket. Tehát az összegért így lehet írni: a + b = b + a.

Az asszociatív tulajdonságban azonban ez más, mivel a hozzáadandó elemek sorrendje megmarad, és mi változtatja meg az elsőként végrehajtandó műveletet. Ami azt jelenti, hogy az első (b + c) hozzáadása és a hozzáadása ehhez az eredményhez nem számít, ha elkezdi hozzáadni a -val az eredményt hozzáadó c-t.

Számos fontos művelet, például az addíció asszociatív, de nem minden. Például a valós számok kivonásával előfordul, hogy:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Ha a = 2, b = 3, c = 1, akkor:

2– (3–1) ≠ (2–3) –1

0 ≠ -2

A szorzás asszociatív tulajdonsága

Ahogyan azt az összeadáshoz megtették, a szorzás asszociatív tulajdonsága kimondja:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

A valós számok halmaza esetén könnyű ellenőrizni, hogy mindig ez a helyzet. Például az a = 2, b = 3, c = 1 értékeket használva:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

A valós számok teljesítik az összeadás és szorzás asszociatív tulajdonságát. Másrészt, egy másik halmazban, mint például a vektorok, az összeg asszociatív, de a kereszt- vagy vektortermék nem.

A szorzás asszociatív tulajdonságának alkalmazása

Az asszociatív tulajdonságot teljesítő műveletek előnye, hogy a legkényelmesebb módon csoportosíthatók. Ez sokkal könnyebbé teszi a felbontást.

Tegyük fel például, hogy egy kis könyvtárban 3 polc van, egyenként 5 polccal. Mindegyik polcon 8 könyv található. Hány könyv van összesen?

A műveletet így hajthatjuk végre: összes könyv = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 könyv.

Vagy így: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 könyv.

2. ábra. A szorzás asszociatív tulajdonságának egyik alkalmazása az egyes polcokon lévő könyvek számának kiszámítása. Kép készítette: F. Zapata.

Példák

-A természetes, egész számok, racionális, valós és komplex számok halmazában az összeadás és szorzás asszociatív tulajdonsága teljesül.

3. ábra. Valós számok esetén az összeadás asszociatív tulajdonsága teljesül. Forrás: Wikimedia Commons.

- Polinómokra ezek a műveletek is vonatkoznak.

-A kivonás, osztás és exponencia műveletek esetén az asszociatív tulajdonság nem érvényes valós számokra vagy polinomokra.

-Mátrixok esetén az asszociatív tulajdonság teljesül az összeadás és szorzás érdekében, bár az utóbbi esetben a kommutativitás nem teljesül. Ez azt jelenti, hogy az A, B és C mátrixra való tekintettel igaz:

(A x B) x C = A x (B x C)

De… A x B ≠ B x A

A vektorok asszociatív tulajdonsága

A vektorok a halmaztól vagy a komplex számtól eltérő halmazt alkotnak. A vektorkészletre meghatározott műveletek kissé eltérnek: vannak összeadás, kivonás és háromféle termék.

A vektorok összege teljesíti az asszociatív tulajdonságot, csakúgy, mint a számok, polinomok és mátrixok. Ami a skaláris termékeket, a vektorok által létrehozott skaláris és a kereszteket, amelyeket a vektorok között készítenek, az utóbbi nem teljesíti, de a skaláris szorzat, amely a vektorok közötti másik művelet, teljesíti, figyelembe véve a következőket:

-A skalár és egy vektor szorzata vektort eredményez.

- És ha két vektor skalaráris szorzásával számolunk, akkor skalár lesz.

Ezért, figyelembe véve a v, u és w vektorokat , valamint ezen felül egy λ skalárt, a következőt lehet írni:

- A vektorok összege: v + (u + w) = (v + u) + w

-Skáláris termék: λ (v • u) = (λ v) • u

Ez utóbbi azért lehetséges, mert v • u egy skalár, és λ v egy vektor.

Azonban:

v × (u × w) ≠ (v × u) × w

A polinomok faktorizálása kifejezések csoportosítása révén

Ez az alkalmazás nagyon érdekes, mert mint már korábban elhangzott, az asszociatív tulajdonság segít bizonyos problémák megoldásában. A monomialisok összege asszociatív, és ez használható faktorizálásra, ha egyértelmű közös tényező nem jelenik meg első pillantásra.

Tegyük fel például, hogy a következő tényezőt kéri: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Ennek a polinomnak nincs közös tényezője, de nézzük meg, mi történik, ha így csoportosulunk:

Az első zárójelben a axe ² közös tényezője van:

A második esetben a közös tényező 3:

Feladatok

- 1. Feladat

Az iskolaépület 4 emelettel rendelkezik, mindegyikben 12 osztályterem található, 30 íróasztallal. Hány íróasztal van az iskolában?

Megoldás

Ezt a problémát a szorzás asszociatív tulajdonságának alkalmazásával oldjuk meg, lássuk:

Asztalok száma összesen = 4 emelet x 12 tanterem / padló x 30 íróasztal = (4 x 12) x 30 íróasztal = 48 x 30 = 1440 íróasztal.

Vagy ha inkább: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 íróasztal

- 2. gyakorlat

Tekintettel a polinomokra:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (X) = -8x ² + 3x -7

Az addíció asszociatív tulajdonságát alkalmazva keresse meg az A (x) + B (x) + C (x) értéket.

Megoldás

Az első kettőt csoportosíthatja, és a harmadik hozzáadhatja az eredményhez:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Azonnal hozzáadjuk a C (x) polinomot:

+ = X ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Az olvasó ellenőrizheti, hogy az eredmény megegyezik-e, ha az A (x) + opcióval oldják meg.

Irodalom

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. A matematika szórakoztató, komutációs, asszociációs és elosztó törvények. Helyreállítva: mathisfun.com.
3. Matematikai raktár. A társulási vagyon meghatározása. Helyreállítva: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Az összeadás és szorzás asszociatív és komutációs tulajdonságai (példákkal). Helyreállítva: sciencing.com.
5. Wikipedia. Társulási tulajdonság. Helyreállítva: en.wikipedia.org.