AZ ALGEBRA ZÁR TULAJDONSÁGA: BIZONYÍTÁS, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

Az algebra zárolási tulajdonsága olyan jelenség, amely egy készlet két elemét összekapcsolja egy művelettel, ahol a szükséges feltétel az, hogy miután a 2 elemet az említett művelet alatt feldolgozták, az eredmény a kezdeti készlethez tartozik.

Például, ha a páros számokat halmazként, és egy összeget műveletként vesszük, akkor ennek a halmaznak az összegéhez való rögzítését kapjuk. Ennek oka az, hogy a 2 páros szám összege mindig egy másik páros számot fog eredményezni, így teljesítve a zárolási feltételt.

Forrás: unsplash.com

jellemzők

Számos tulajdonság határozza meg az algebrai tereket vagy testeket, például szerkezeteket vagy gyűrűket. A zár tulajdonsága ugyanakkor az egyik legismertebb az alap algebrában.

Ezeknek a tulajdonságoknak nem minden alkalmazása épül numerikus elemekre vagy jelenségekre. Számos mindennapi példa tisztán algebrai-elméleti megközelítésből dolgozható ki.

Példa lehet egy ország állampolgára, aki bármilyen jogi kapcsolatot vállal, például többek között kereskedelmi társaság vagy házasság. Miután ezt a műveletet vagy irányítást elvégezték, az ország állampolgárai maradnak. Ily módon a polgárok állampolgárságával és két állampolgársággal kapcsolatos menedzsmenttel kapcsolatos műveletek zárolást jelentenek.

Numerikus algebra

A számokat illetően számos szempontot vizsgáltunk a matematika és az algebrai különféle áramlatokban. Ezekből a tanulmányokból nagyszámú axióma és tétel létezett, amelyek a kortárs kutatás és munka elméleti alapjául szolgálnak.

Ha numerikus halmazokkal dolgozunk, létrehozhatunk egy másik érvényes meghatározást a zár tulajdonságára. Az A halmazról azt mondják, hogy egy másik B halmaz zárolása, ha A a legkisebb halmaz, amely tartalmazza az összes halmazt és műveletet, amelyeket B tartalmaz.

Demonstráció

A reteszelést az R valós szám halmazában szereplő elemekre és műveletekre alkalmazzák.

Legyen A és B két szám, amelyek az R halmazhoz tartoznak, ezen elemek bezáródását minden R műveletben meghatározzuk.

Összeg

- Összeg: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Ez az algebrai módon mondható el, hogy az összes A és B esetében, amelyek a valós számokhoz tartoznak, az A és B összege egyenlő C-vel, amely szintén tartozik a valódihoz.

Könnyű ellenőrizni, hogy ez az állítás igaz-e; elegendő bármilyen valós szám között elvégezni az összeget, és ellenőrizni, hogy az eredmény a valós számokhoz is tartozik-e.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ° R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ° R

Megfigyelték, hogy a reteszelési feltétel teljesül a valós számok és az összeg vonatkozásában. Ilyen módon lehet következtetni: A valós számok összege egy algebrai zár.

Szorzás

- Szorzás: ∀ A ˄ B ∈ R → A B = C = R

Az összes A és B vonatkozásban, amelyek a valósághoz tartoznak, azt látjuk, hogy A szorzata B-vel egyenlő C-vel, amely szintén a valósághoz tartozik.

Az előző példa ugyanazon elemekkel történő ellenőrzéskor a következő eredmények figyelhetők meg.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ° R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Ez elegendő bizonyíték arra, hogy következtethessünk a következőkre: A valós számok szorzata algebrai zár.

Ez a meghatározás kiterjeszthető a valós számok összes műveletére, bár bizonyos kivételeket találunk.

Forrás: pixabay.com

Különleges esetek R

Osztály

Az első különleges eset a megosztás, ahol a következő kivétel látható:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Az összes R-hez tartozó A és B esetében, hogy A között B nem tartozik a valósághoz, csak akkor, ha B nulla.

Ez az eset arra korlátozódik, hogy nem lehet osztani nullával. Mivel a nulla a valós számokhoz tartozik, ebből következik, hogy: az osztás nem a reals zárja.

reszelés

Vannak potencírozási műveletek, pontosabban a radikalizálódás műveletei, ahol kivételeket mutatnak az egyenletes mutató radikális hatalmaira:

Az összes A esetében, amely a reálhoz tartozik, A n. Gyöke a reálhoz tartozik, ha és csak akkor, ha A azon pozitív reálhoz tartozik, amelyhez egy olyan halmaz kapcsolódik, amelynek egyetlen elem nulla.

Ilyen módon meg kell jelölni, hogy a páros gyökerek csak a pozitív valókra vonatkoznak, és arra a következtetésre jutottunk, hogy a potencírozás nem zárja be az R értéket.

Logaritmus

Homológ módon megfigyelhető a logaritmikus függvényre, amely nulla vagy annál kisebb értékre nincs meghatározva. Annak ellenőrzéséhez, hogy a logaritmus R-re vonatkozik-e, az alábbiak szerint járjon el:

Az összes A esetében, amely a reálhoz tartozik, A logaritmusa a reálhoz tartozik, csak akkor, ha A tartozik a pozitív valósághoz.

Az R-hez tartozó negatív és nulla értékek kizárásával kijelenthető, hogy:

A logaritmus nem a valós számok zárolása.

Példák

Ellenőrizze a zárat a természetes számok összeadásához és kivonásához:

Összeg N-ben

Az első dolog az, hogy ellenőrizzük a retesz állapotát az adott halmaz különböző elemei szempontjából, ahol, ha észreveszik, hogy valamely elem összetörik a feltétellel, a reteszelés létezése automatikusan megtagadható.

Ez a tulajdonság igaz az A és B összes lehetséges értékére, amint az a következő műveletekből látható:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ° N

1000 + 10000 = 11000 ° N

Nincsenek olyan természetes értékek, amelyek megtörik a zár állapotát, tehát a következtetés következtetése:

Az összeg N-re vonatkozik.

Kivonás N-ben

Olyan természetes elemeket keresnek, amelyek képesek megbontani az állapotot; Az A - B az őslakosokhoz tartozik.

Működtetésével könnyű megtalálni a természetes elemek párját, amelyek nem felelnek meg a reteszelő feltételeknek. Például:

7 - 10 = -3 ∉ a N

Ily módon arra a következtetésre juthatunk, hogy:

A kivonás nem zárja be a természetes számok halmazát.

Javasolt gyakorlatok

1 - Mutassa be, hogy a zárolási tulajdonság teljesül-e a Q racionális számok halmazán, az összeadás, kivonás, szorzás és osztás műveleteknél.

2 - Magyarázza el, ha a valós szám halmaza a teljes szám halmazát zárolja-e.

3 - Határozza meg, hogy melyik numerikus halmaz lehet a valós számok zárolása.

4-Bizonyítsuk be a képzeletbeli számok halmazának a tulajdonságát az összeadás, kivonás, szorzás és osztás szempontjából.

Irodalom

1. A tiszta matematika panoráma: a Bourbakist választása. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Algebrai számelmélet. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Mexikói Nemzeti Autonóm Egyetem, 1975.
3. Lineáris algebra és alkalmazásai. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Algebrai struktúrák V: testelmélet. Hector A. Merklen. Amerikai Államok Szervezete, Főtitkárság, 1979.
5. Bevezetés a kommutív algebrába. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.