AZ EGYENLŐSÉG TULAJDONSÁGAI - MATEMATIKA - 2026

Az egyenlőség tulajdonságai két matematikai objektum közötti kapcsolatra utalnak, legyenek számok vagy változók. Ezt a "=" szimbólum jelöli, amely mindig e két objektum között megy. Ezt a kifejezést annak megállapítására használják, hogy két matematikai objektum képviseli ugyanazt az objektumot; más szóval, hogy két objektum ugyanaz.

Vannak esetek, amikor triviaális az egyenlőség alkalmazása. Például egyértelmű, hogy 2 = 2. A változókat illetően azonban már nem triviális, és specifikus felhasználásokkal rendelkezik. Például, ha van y = x, és másrészt x = 7, akkor arra következtethetünk, hogy y = 7 is.

A fenti példa az egyenlőség egyik tulajdonságán alapul, amint azt hamarosan látni fogja. Ezek a tulajdonságok nélkülözhetetlenek az egyenletek (a változókat érintő egyenlőségek) megoldásához, amelyek a matematika nagyon fontos részét képezik.

Melyek az egyenlőség tulajdonságai?

Fényvisszaverő tulajdonság

A reflexív tulajdonság, egyenlőség esetén, azt állítja, hogy minden szám egyenlő önmagával, és b = b-ként fejezhető ki bármilyen b valós szám esetén.

Az egyenlőség konkrét esetben ez a tulajdonság nyilvánvalónak tűnik, de a számok közötti más típusú kapcsolatokban nem. Más szavakkal: nem minden valós szám-kapcsolat felel meg ennek a tulajdonságnak. Például, a „kevesebb mint” (<) kapcsolat ilyen esete; egyetlen szám sem kevesebb, mint maga.

Szimmetrikus tulajdonság

Az egyenlőség szimmetrikus tulajdonsága azt mondja, hogy ha a = b, akkor b = a. Nem számít, milyen sorrendben használják a változókat, az egyenlőségi viszony megőrzi.

Ezen tulajdonság bizonyos hasonlósága a kommutációs tulajdonsággal megfigyelhető addíció esetén. Például, ennek a tulajdonságnak köszönhetően egyenértékű y = 4 vagy 4 = y írással.

Átmeneti tulajdonság

Az egyenlőség tranzitív tulajdonsága azt állítja, hogy ha a = b és b = c, akkor a = c. Például 2 + 7 = 9 és 9 = 6 + 3; tehát a tranzitív tulajdonság alapján azt kapjuk, hogy 2 + 7 = 6 + 3.

Egy egyszerű alkalmazás a következő: Tegyük fel, hogy Julian 14 éves, és Mario ugyanolyan korú, mint Rosa. Ha Rosa azonos korú, mint Julián, hány éves van Mario?

E forgatókönyv mögött a tranzitív tulajdonság kétszer kerül felhasználásra. Matematikailag a következőképpen értelmezzük: legyen az "a" Mario kora, "b" Rosa és "c" Julian kora. Ismert, hogy b = c és c = 14.

A tranzitív tulajdonság szerint b = 14; vagyis Rosa 14 éves. Mivel a = b és b = 14, a tranzitív tulajdonság újbóli felhasználásával a = 14; vagyis Mario életkora szintén 14 éves.

Egységes ingatlan

Az egységes tulajdonság az, hogy ha az egyenlőség mindkét oldalát hozzáadjuk vagy megszorozzuk azonos összeggel, akkor az egyenlőség megmarad. Például, ha 2 = 2, akkor 2 + 3 = 2 + 3, ami egyértelmű, mivel 5 = 5. Ez a tulajdonság a leghasznosabb, ha megpróbálja megoldani az egyenletet.

Tegyük fel például, hogy felkérjük Önt, hogy oldja meg az x-2 = 1 egyenletet. Kényelmes emlékezni arra, hogy az egyenlet megoldása az érintett változó (vagy változók) explicit meghatározását jelenti egy adott szám vagy egy korábban meghatározott változó alapján.

Visszatérve az x-2 = 1 egyenlethez, azt kell tennie, hogy kifejezetten meg kell találnia, hogy mekkora az x értéke. Ehhez törölni kell a változót.

Tévesen azt tanították, hogy ebben az esetben, mivel a 2-es szám negatív, pozitív jellel átruház az egyenlőség másik oldalára. De nem helyes ezt mondani.

Alapvetően az, amit csinál, az egységes tulajdonság alkalmazása, amint azt alább látjuk. Az ötlet az, hogy törölje az "x" -et; vagyis hagyja békén az egyenlet egyik oldalán. Megállapodás szerint általában a bal oldalon marad.

Ebből a célból a „kiküszöbölés” száma -2. Ennek módja a 2 hozzáadása, mivel -2 + 2 = 0 és x + 0 = 0. Annak érdekében, hogy ezt az egyenlőség megváltoztatása nélkül megtehessük, ugyanazt a műveletet kell alkalmazni a másik oldalra is.

Ez lehetővé teszi az egységes tulajdonság megvalósítását: mivel x-2 = 1, ha a 2-es számot hozzáadjuk az egyenlőség mindkét oldalához, akkor az egységes tulajdonság azt mondja, hogy nem változik. Akkor megvan az x-2 + 2 = 1 + 2, ami megegyezik azzal, hogy x = 3. Ezzel az egyenlet megoldódik.

Hasonlóképpen, ha meg akarja oldani az (1/5) y-1 = 9 egyenletet, akkor folytathatja az egységes tulajdonság használatát az alábbiak szerint:

Általánosabban: a következő állítások tehetők:

- Ha ab = cb, akkor a = c.

- Ha xb = y, akkor x = y + b.

- Ha (1 / a) z = b, akkor z = a ×

- Ha (1 / c) a = (1 / c) b, akkor a = b.

Lemondási tulajdonság

A törlés tulajdonság az egységes tulajdonság különleges esete, különös tekintettel a kivonás és az osztás esetére (amelyek alapvetően megfelelnek az összeadásnak és szorzásnak is). Ez a tulajdonság ezt az esetet külön kezeli.

Például, ha 7 + 2 = 9, akkor 7 = 9-2. Vagy ha 2y = 6, akkor y = 3 (két oldalra osztva mindkét oldalon).

Az előző esethez hasonlóan a következő állítások állíthatók be a törlési tulajdonságon keresztül:

- Ha a + b = c + b, akkor a = c.

- Ha x + b = y, akkor x = yb.

- Ha az = b, akkor z = b / a.

- Ha ca = cb, akkor a = b.

Helyettesítő tulajdonság

Ha tudjuk egy matematikai objektum értékét, akkor a helyettesítési tulajdonság azt állítja, hogy ez az érték bármilyen egyenletben vagy kifejezésben helyettesíthető. Például, ha b = 5 és a = bx, akkor a "b" érték helyettesítésével a második egyenlőségben kapjuk, hogy a = 5x.

Egy másik példa a következő: ha "m" osztja "n" -et és "n" osztja az "m" -et, akkor rendelkeznie kell azzal, hogy m = n.

Valójában azt mondani, hogy "m" osztja az "n" -t (vagy ezzel egyenértékűen, hogy az "m" az "n" osztója) azt jelenti, hogy az m ÷ n osztás pontos; vagyis az "m" elosztása "n" -vel egész számot eredményez, nem decimális. Ezt úgy lehet kifejezni, hogy létezik olyan "k" egész szám, amelyben m = k × n.

Mivel az "n" osztja az "m" -et is, létezik olyan "p" egész szám, amelyben n = p × m. A helyettesítő tulajdonság miatt n = p × k × n van, és ehhez kétféle lehetőség van: n = 0, ebben az esetben 0 = 0 azonosítóval rendelkezünk; op × k = 1, tehát n = n azonosság.

Tegyük fel, hogy "n" nulla. Ezután feltétlenül p × k = 1; tehát p = 1 és k = 1. A helyettesítő tulajdonság újbóli felhasználásával, ha k = 1-et helyettesítjük m = k × n egyenlőségben (vagy ezzel egyenértékűen, p = 1 n = p × m-ben), akkor végül megkapjuk azt az m = n értéket, amelyet bebizonyítani akartunk.

Teljesítménytulajdon egyenlőségben

Csakúgy, mint korábban láttuk, hogy ha egy olyan műveletet, mint például az összeadást, szorzást, kivonást vagy osztást mindkét egyenlőség szempontjából elvégzünk, megmarad, ugyanúgy alkalmazhatók más olyan műveletek is, amelyek nem változtatják meg az egyenlőséget.

A lényeg az, hogy ezt mindig az egyenlőség mindkét oldalán végrehajtsuk, és előre ellenőrizzük, hogy a művelet végrehajtható-e. Ilyen a felhatalmazás; vagyis ha az egyenlet mindkét oldalát ugyanazon hatalomra emelik, akkor még mindig van egyenlőségünk.

Például, mivel 3 = 3, tehát 3 ² = 3 ² (9 = 9). Általában adva egy "n" egész számot, ha x = y, akkor x ⁿ = y ⁿ.

Gyökértulajdon egyenlőségben

Ez a felhatalmazás különleges esete, és akkor alkalmazzák, amikor a teljesítmény nem egész szám racionális szám, például ½, amely a négyzetgyököt képviseli. Ez a tulajdonság azt állítja, hogy ha ugyanazt a gyököt alkalmazzák az egyenlőség mindkét oldalán (amikor csak lehetséges), akkor az egyenlőség megmarad.

Az előző esettel ellentétben itt kell vigyáznia az alkalmazandó gyökér paritásával, mivel közismert tény, hogy a negatív szám páros gyökere nincs pontosan meghatározva.

Abban az esetben, ha a radikális egyenletes, nincs probléma. Például, ha x ³ = -8, akkor is, ha ez egyenlőség, akkor nem lehet négyzetgyökét alkalmazni például mindkét oldalra. Ha azonban alkalmazható egy kockagyökér (ami még kényelmesebb, ha kifejezetten meg akarjuk tudni x értékét), így kapjuk azt, hogy x = -2.

Irodalom

1. Aylwin, CU (2011). Logika, készletek és számok. Mérida - Venezuela: Publikációs Tanács, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., és Estrada, R. (2005). Matematika 1. szeptember. Küszöb.
3. Lira, ML (1994). Simon és matematika: matematikai szöveg a második évfolyamra: tanuló könyve. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). 3. matematika tanfolyam Szerkesztői Progreso.
5. Segovia, BR (2012). Matematikai tevékenységek és játékok Miguel és Lucíával. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C. és Preciado, M. (1985). 2. matematika kurzus. Szerkesztői Progreso.