MIK AZ EGYIDEJŰ EGYENLETEK? (GYAKORLATOK MEGOLDVA) - MATEMATIKA - 2026

Az egyidejű egyenletek azok az egyenletek, amelyeket egyszerre kell teljesíteni. Ezért ahhoz, hogy egyidejű egyenletek legyenek, egynél több egyenlettel kell rendelkeznie.

Ha két vagy több különböző egyenlettel rendelkezik, amelyeknek azonos megoldással (vagy azonos megoldásokkal) kell rendelkezniük, azt mondják, hogy van egy egyenletrendszere, vagy azt is mondják, hogy vannak egyidejű egyenletek.

Ha egyidejű egyenletek vannak, akkor előfordulhat, hogy nincsenek közös megoldásuk, vagy véges mennyiségűek, vagy végtelenek.

Egyidejű egyenletek

Két különféle Eq1 és Eq2 egyenlet figyelembevételével e két egyenlet rendszerét szimultán egyenleteknek nevezzük.

Az egyidejű egyenletek kielégítik, hogy ha S az Eq1 megoldása, akkor az S szintén az Eq2 megoldása és fordítva

jellemzők

Az egyidejű egyenletek rendszerére vonatkozóan 2 egyenlet, 3 egyenlet vagy N egyenlet lehet.

Az egyidejű egyenletek megoldására a leggyakrabban használt módszerek a következők: helyettesítés, kiegyenlítés és redukció. Van egy másik módszer, az úgynevezett Cramer-szabály, amely nagyon hasznos a két egyidejű egyenletnél több rendszernél.

Az egyidejű egyenletekre példa a rendszer

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Látható, hogy x = 0, y = 2 az Eq1 megoldása, de nem az Eq2 megoldása.

Az egyetlen általános megoldás, amely mindkét egyenletnek x = 1, y = 1. Vagyis x = 1, y = 1 az egyidejű egyenletek rendszerének megoldása.

Megoldott gyakorlatok

Ezután a fenti 3 módszerrel oldjuk meg a fentebb bemutatott egyidejű egyenletek rendszerét.

Első gyakorlat

Oldja meg az Eq1 egyenletrendszert: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 helyettesítési módszerrel.

Megoldás

A helyettesítési módszer az egyik egyenletben ismeretlen ismeretek megoldását, majd a másik egyenletben való helyettesítését jelenti. Ebben az esetben az "y" -re az Eq1-ből választhatunk, és y = 2-x-t kapjuk.

Az «y» ezen értékét az Eq2-ben helyettesítve kapjuk, hogy 2x- (2-x) = 1. Ezért megkapjuk, hogy 3x-2 = 1, azaz x = 1.

Ezután, mivel az x értéke ismert, helyettesítjük "y" -vel, és így kapjuk, hogy y = 2-1 = 1.

Ezért az Eq1 és Eq2 egyenletrendszerek egyetlen megoldása x = 1, y = 1.

Második gyakorlat

Oldja meg az Eq1 egyenletrendszert: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 a megfelelő módszerrel.

Megoldás

Az illesztési módszer abból áll, hogy mindkét egyenletben megválaszoljuk ugyanazt az ismeretlent, majd összekapcsoljuk a kapott egyenleteket.

Mindkét egyenletnél az "x" -re megoldva kapjuk, hogy x = 2-y, és x = (1 + y) / 2. Most ez a két egyenlet kiegyenlítődik, és így kapjuk azt a 2-y = (1 + y) / 2, amelyből következik, hogy 4-2y = 1 + y.

Ha az ismeretlen „y” -ot azonos oldalra csoportosítják, akkor y = 1 lesz. Most, hogy az "y" ismert, folytatjuk az "x" érték meghatározását. Az y = 1 helyettesítésével kapjuk, hogy x = 2-1 = 1.

Ezért az Eq1 és Eq2 egyenletek közös megoldása x = 1, y = 1.

Harmadik gyakorlat

Oldja meg az Eq1 egyenletrendszert: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 a redukciós módszerrel.

Megoldás

A redukciós módszer a megadott egyenletek szorzásával a megfelelő együtthatókkal történik, így ezen egyenletek összeadásakor az egyik változó törlődik.

Ebben a példában nincs szükség az egyenletek szorozására semmilyen együtthatóval, csak össze kell adni azokat. Az Eq1 plusz Eq2 hozzáadásával kapjuk azt a 3x = 3 értéket, amelyből azt kapjuk, hogy x = 1.

Az x = 1-nek az Eq1-ben való kiértékelésekor azt kapjuk, hogy 1 + y = 2, amelyből következik, hogy y = 1.

Ezért x = 1, y = 1 az egyetlen megoldás az Eq1 és Eq2 egyidejű egyenletekre.

Negyedik gyakorlat

Oldja meg az Eq1: 2x-3y = 8 és Eq2: 4x-3y = 12 egyidejű egyenletek rendszerét.

Megoldás

Ebben a feladatban nincs szükség speciális módszerre, ezért az az olvasó számára a legkényelmesebb módszer alkalmazható.

Ebben az esetben a redukciós módszert kell használni. Ha megszorozzuk az Eq1-et -2-kel, akkor az Eq3 egyenletet kapjuk: -4x + 6y = -16. Most, hozzáadva Eq3 és Eq2, kapjuk, hogy 3y = -4, tehát y = -4 / 3.

Ha az y = -4 / 3 értékét az Eq1-ben értékeltük, akkor azt kapjuk, hogy 2x-3 (-4/3) = 8, ahonnan 2x + 4 = 8, tehát x = 2.

Összegezve: az Eq1 és Eq2 egyidejű egyenletek rendszerének egyetlen megoldása x = 2, y = -4 / 3.

Megfigyelés

Az ebben a cikkben ismertetett módszerek alkalmazhatók olyan rendszerekben, amelyeknél több egyidejű egyenlet van.

Minél több egyenlet és több ismeretlen van, annál bonyolultabb a rendszer megoldásának folyamata.

Az egyenletrendszerek megoldásának bármely módszere ugyanazokat a megoldásokat fogja eredményezni, azaz a megoldások nem függenek az alkalmazott módszertől.

Irodalom

1. Fuentes, A. (2016). ALAPMÁNY. Bevezetés a kalkulusba. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratikus egyenletek: Hogyan lehet megoldani a kvadratikus egyenletet? Marilù Garo.
3. Haeussler, EF és Paul, RS (2003). Matematika a menedzsment és a közgazdaságtan számára. Pearson oktatás.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., és Estrada, R. (2005). Matematika 1. szeptember. Küszöb.
5. Preciado, CT (2005). 3. matematika tanfolyam Szerkesztői Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Easy! Olyan egyszerű. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra és trigonometria. Pearson oktatás.