- A vektorok koplanáris állapotának feltételei
- Vegyes termék három vektor között
- Alkalmazások
- Másoldali, egyidejű és nem kollineáris erők
- Megoldott gyakorlatok
- -1. Feladat
- Megoldás
- - 2. gyakorlat
- Megoldás
- Irodalom
A síkbeli vektorok vagy a síkbeli vektorok azok, amelyek ugyanabban a síkban vannak. Ha csak két vektor létezik, akkor ezek mindig síkban vannak, mivel léteznek végtelen síkok, mindig választhatunk egyet, amely tartalmazza azokat.
Ha három vagy több vektorunk van, előfordulhat, hogy néhányuk nem egy síkban van, mint a többiek, ezért nem tekinthetők többszintesnek. Az alábbi ábra az A, B, C és D vastag betűvel jelölt koplanáris vektorok sorozatát mutatja:
1. ábra. Négy koplanáris vektor. Forrás: saját készítésű.
A vektorok a tudományos és műszaki szempontból releváns fizikai mennyiségek viselkedésével és tulajdonságaival kapcsolatosak; például sebesség, gyorsulás és erő.
Az erő eltérő hatást fejt ki egy tárgyra, amikor az alkalmazásának módja változik, például az intenzitás, az irány és az irány változtatásával. A paramétereknek csak egy megváltoztatásával az eredmények jelentősen eltérnek.
Számos alkalmazásban, mind statikában, mind dinamikában, a testre ható erők ugyanabban a síkban vannak, ezért koplanárisnak tekintik őket.
A vektorok koplanáris állapotának feltételei
Ahhoz, hogy három vektor többszintes legyen, ugyanazon a síkon kell feküdniük, és ez akkor fordul elő, ha megfelelnek a következő feltételek bármelyikének:
-Vektorok párhuzamosak, ezért alkotóeleteik arányosak és lineárisan függnek.
-A vegyes termék nincs érvényben.
-Ha három vektor van, és bármelyikük megírható a másik kettő lineáris kombinációjaként, ezek a vektorok síkban vannak. Például egy vektor, amely két másik összegéből származik, a három mind ugyanabban a síkban van.
Alternatív megoldásként a hasonlósági feltételt a következők szerint lehet beállítani:
Vegyes termék három vektor között
A vektorok kevert termékét három u, v és w vektorral határozzuk meg , így skalár keletkezik, amely a következő művelet végrehajtásából származik:
u · (v x w) = u · (v x w)
Először a zárójelben szereplő keresztterméket hajtjuk végre: v x w , amelynek eredménye normál (merőleges) vektor a síkra, amelyben v és w egyaránt fekszik .
Ha u ugyanabban a síkban van, mint v és w , akkor természetesen az u és az említett normál vektor közötti skaláris szorzatnak (pontterméknek) 0-nak kell lennie. Ilyen módon megbizonyosodunk arról, hogy a három vektor koplanáris (ugyanazon a síkon fekszenek).
Ha a kevert termék nem nulla, annak eredménye megegyezik a párhuzamos cső térfogatával, amelynek szomszédos oldalai az u , v és w vektorok.
Alkalmazások
Másoldali, egyidejű és nem kollineáris erők
Az egyidejű erőket ugyanazon a ponton kell alkalmazni. Ha ezek szintén sík alakúak, akkor azok helyettesíthetők egyetlen, az úgynevezett eredő erőnek, és ugyanaz a hatása, mint az eredeti erőknek.
Ha egy test három koplanáris, egyidejű és nem párhuzamos (nem párhuzamos) erőnek köszönhetően, az úgynevezett A , B és C, egyensúlyban van , Lamy-tétel azt jelzi, hogy ezen erők (magnitúdók) közötti kapcsolat a következő:
A / sin α = B / sin β = C / sin γ
Az α, β és γ az alkalmazott erőkkel ellentétes szögekből állnak, amint az a következő ábrán látható:
2. ábra. A három, A, B és C együttesen működő erő egy tárgyra hat. Forrás: Kiwakwok az angol Wikipedia-ban
Megoldott gyakorlatok
-1. Feladat
Keresse meg k értékét úgy, hogy a következő vektorok síkban legyenek:
u = <-3, k, 2>
v = <4, 1, 0>
w = <-1, 2, -1>
Megoldás
Mivel megvannak a vektorok komponensei, a vegyes termék kritériumát alkalmazzuk, tehát:
u (v x w) = 0
Először oldja meg a v x w lehetőséget. A vektorokat i, j és k egységvektorban fejezzük ki, amelyek megkülönböztetik a térben három merőleges irányt (szélesség, magasság és mélység):
v = 4 i + j + 0 k
w = -1 i + 2 j -1 k
v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k
Most az u és a vektor közötti, az előző művelet eredményeként kapott skaláris szorzatot vesszük figyelembe, és a műveletet 0-ra állítjuk:
u (v x w) = (-3 i + k j + 2 k) · (-2 i + 4 j + 9 k) = 6 + 4k +18 = 0
24 + 4k = 0
A kívánt érték: k = - 6
Tehát az u vektor:
u = <-3, -6, 2>
- 2. gyakorlat
Az ábra egy olyan objektumot mutat, amelynek súlya W = 600 N, és az egyensúlyban lóg, a 3. ábrán látható szögben elhelyezett kábeleknek köszönhetően. Lehet-e Lamy-tétel alkalmazni ebben a helyzetben? Mindenesetre keresse meg a T 1, T 2 és T 3 magnitúdókat, amelyek lehetővé teszik az egyensúly kialakulását.
3. ábra: A súly egyensúlyban függ a három ábrázolt feszültség hatására. Forrás: saját készítésű.
Megoldás
Lamy-tétel ebben a helyzetben akkor alkalmazható, ha figyelembe vesszük azt a csomópontot, amelyen a három feszültséget alkalmazzák, mivel ezek koplanáris erők rendszerét alkotják. Először elkészítjük a függő súly szabad testét a T 3 nagyságának meghatározása céljából :
4. ábra: A szabad test vázlata a függő súlyhoz. Forrás: saját készítésű.
Az egyensúlyi állapotból az következik, hogy:
Az erők közötti szöget a következő ábra vörös jelöli, könnyen ellenőrizhető, hogy azok összege 360º. Most már alkalmazható Lamy-tétel, mivel az erők egyike és a közöttük levő három szög ismert:
5. ábra - Piros szögek a Lamy-tétel alkalmazásához. Forrás: saját készítésű.
T 1 / sin 127º = W / sin 106º
Ezért: T 1 = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N
Ismét Lamy tételét alkalmazzuk a T 2 megoldására:
T 2 / sin 127 = T 1 / sin 127º
T 2 = T 1 = 498,5 N
Irodalom
- Figueroa, D. Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Kinematika. 31-68.
- Fizikai. 8. modul: Vektorok. Helyreállítva: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mechanika a mérnökök számára. Statikus 6. kiadás. Continental Publishing Company, 28-66.
- McLean, W. Schaum sorozat. Mechanika mérnökök számára: statika és dinamika. 3. kiadás. McGraw Hill. 1-15.
- Wikipedia. Vektor. Helyreállítva: es.wikipedia.org.