Az integrálok típusai, amelyeket a kalkulusban találunk, a határozatlan és a határozott integrálok. Bár a határozott integráloknak sokkal több alkalmazása van, mint a határozatlan integráloknak, először meg kell tanulni, hogyan lehet megoldani a határozatlan integrálokat.
A határozott integrálok egyik legvonzóbb alkalmazása a forradalom szilárd anyagának térfogatának kiszámítása. Mindkét típusú integrálnak azonos a linearitási tulajdonságai, és az integrációs technikák sem függnek az integrál típusától.
A forradalom szilárd része
De annak ellenére, hogy nagyon hasonlóak, van egy fő különbség; az integrál első típusában az eredmény egy függvény (amely nem specifikus), míg a második típusban az eredmény egy szám.
Az integrálok alaptípusai
Az integrálok világa nagyon széles, de azon belül megkülönböztethetjük az integrálok két alaptípusát, amelyek nagyszerűen alkalmazhatók a mindennapi életben.
1- Határtalan integrálok
Ha F '(x) = f (x) az x összes f tartományában, akkor azt mondjuk, hogy F (x) az f (x) antiderivatívája, primitívje vagy integrálja.
Másrészt, nézzük meg, hogy (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), ami azt sugallja, hogy a függvény integrálja nem egyedi, mivel különbözõ értékeket adva a C állandónak különbözõ értékeket kapunk antiderivatives.
Ezért F (x) + C-t f (x) határozatlan integrálának, C-t pedig az integráció állandójának nevezzük, és a következőképpen írjuk
Határtalan integrál
Mint láthatjuk, az f (x) függvény határozatlan integrálja a függvények családját.
Például, ha meg akarja határozni az f (x) = 3x² függvény határozatlan integrálját, akkor először meg kell találnia az f (x) antiderivatíváját.
Könnyű belátni, hogy F (x) = x³ antiderivatív, mivel F '(x) = 3x². Ezért arra lehet következtetni, hogy
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2 - Határozott integrálok
Legyen y = f (x) valós, folyamatos függvény zárt intervallumban, és F (x) legyen f (x) antiderivatívája. Az f (x) határozott integrálát az a és b határok között F (b) -F (a) számnak nevezzük, és az alábbiak szerint jelöljük:
A kalkulus alaptétele
A fenti képlet jobban ismert "Calculus alaptétele". Itt az "a" -et alsó határnak, a "b" -et felső határnak nevezik. Mint láthatja, a függvény határozott integrálja egy szám.
Ebben az esetben, ha az f (x) = 3x² határozott integrált kiszámítja az intervallumban, akkor számot kap.
Ennek a számnak a meghatározásához az F (x) = x³-t választjuk f (x) = 3x² származékának. Ezután kiszámoljuk az F (3) -F (0) értéket, amely 27-0 = 27 eredményt ad. Összegezve, az f (x) határozott integrálja az intervallumban 27.
Megjegyzendő, hogy ha G (x) = x³ + 3-at választunk, akkor G (x) az f (x) anti-származéka, amely eltér az F (x) -től, de ez nem befolyásolja az eredményt, mivel G (3) -G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. Ezért az integrációs állandó nem jelenik meg a határozott integrálokban.
Az ilyen típusú integrálok egyik leghasznosabb alkalmazása az, hogy lehetővé teszi a sík alak (a forradalom szilárd anyagának) területének (térfogatának) kiszámítását, a megfelelő funkciók és az integrációs határok (és a forgástengely) meghatározását.
A határozott integrálokon belül különféle kiterjesztéseket találhatunk, például vonalintegrációkat, felületi integrálokat, nem megfelelő integrálokat, többszörös integrálokat, amelyek mindegyike nagyon hasznos alkalmazásokat kínál a tudományban és a mérnöki munkában.
Irodalom
- Casteleiro, JM (2012). Könnyen integrálható? Saját tanulmányi kézikönyv. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, és Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrált kalkulus (illusztrált kiadás). Madrid: ESIC szerkesztőség.
- Fleming, W. és Varberg, DE (1989). Precalculus matematika. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W. és Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: problémamegoldó megközelítés (2, illusztrált kiadás). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Integrált kalkulus. Atlantic kiadók és disztribútorok.
- Purcell, EJ, Varberg, D. és Rigdon, SE (2007). Calculus (kilencedik kiadás). Prentice Hall.