FERDE VONALAK: JELLEMZŐK, EGYENLETEK ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

A ferde vonalak ferdeek, akár egy sík felülethez, akár más vonalhoz, amely egy adott címet mutat. Példaként vegye figyelembe a síkban húzott három vonalat, amelyek a következő ábrán láthatók.

Azért ismerjük a relatív helyzetüket, mert összehasonlítjuk őket egy referenciavonallal, amely általában a vízszintet jelölő x tengely.

1. ábra: Függőleges, vízszintes és ferde vonalak ugyanabban a síkban. Forrás: F. Zapata.

Ilyen módon a vízszintes referenciaként történő kiválasztásakor a bal oldali vonal függőleges, a középen lévő vízszintes és a jobb oldalon ferde, mivel a mindennapi referenciavonalakhoz képest ferde.

Most az ugyanazon a síkon lévő vonalak, mint például a papír vagy a képernyő felülete, különböző pozíciókat foglalnak el egymással szemben, attól függően, hogy metszik-e egymást. Az első esetben szekcionált vonalak, míg a második esetben párhuzamosak.

Másrészt a metszővonalak lehetnek ferde vonalak vagy merőleges vonalak. Mindkét esetben a vonalak lejtése különbözik, de a ferde vonalak α és β szöget képeznek egymástól, 90 ° -tól eltérően, míg a merőleges vonalak által meghatározott szögek mindig 90 ° -ot tesznek ki.

A következő ábra összefoglalja ezeket a meghatározásokat:

2. ábra: A vonalak közötti viszonylagos helyzet: párhuzamos, ferde és merőleges egymástól alkotott szögben különbözik egymástól. Forrás: F. Zapata.

egyenletek

Ahhoz, hogy megismerjük a vonalak relatív helyzetét a síkban, meg kell ismerni a szöget közöttük. Vegye figyelembe, hogy a sorok:

Párhuzamos: ha ugyanolyan lejtőn (azonos irányban) vannak, és soha nem kereszteznek egymást, akkor pontjaik egyenlő távolságra vannak.

Véletlen események: amikor minden pontja egybeesik, és ezért megegyezik a lejtőjükkel, de a pontok közötti távolság nulla.

Szárítók: ha a lejtőjük eltérő, akkor pontok közötti távolság változik, és az metszéspont egyetlen pont.

Tehát az egyik módja annak, hogy megtudjuk, ha a síkban két vonal metsző vagy párhuzamos - a lejtőn keresztüli. A vonalak párhuzamosságának és merőlegességének kritériumai a következők:

Ha a síkban levő két vonal lejtése ismeretében a fenti kritériumok egyike sem teljesül, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a vonalak ferde. A vonal két pontjának ismeretében a meredekséget azonnal kiszámítják, amint azt a következő szakaszban láthatjuk.

Megtudhatja, hogy két vonal szimmetrikus vagy párhuzamos-e, ha megkeresse metszéspontjukat, megoldava az általuk létrehozott egyenletrendszert: ha van megoldás, akkor szekantus, ha nincs megoldás, akkor párhuzamos, de ha a megoldások végtelenek, a vonalak egybeesnek.

Ez a kritérium azonban nem tájékoztat minket e vonalak közötti szögről, még akkor sem, ha metszik egymást.

A vonalak közötti szög megismeréséhez két u és v vektorra van szükségünk, amelyek mindegyikükhöz tartoznak. Így a vektorok skaláris szorzata révén meg lehet ismerni az általuk alkotott szöget:

u • v = uvcos α

A vonal egyenlete a síkban

A derékszög síkjában egy vonal többféle módon ábrázolható, például:

- Lejtőszakadás forma: ha m a vonal meredeksége, és b a vonal és a függőleges tengely metszéspontja, akkor a vonal egyenlete y = mx + b.

- A vonal általános egyenlete: Ax + By + C = 0, ahol m = A / B a lejtő.

A derékszögű síkban a függőleges és a vízszintes vonalak a vonal egyenletének különleges esetei.

- Függőleges vonalak: x = a

- Vízszintes vonalak: y = k

3. ábra. Balra az x = 4 függőleges vonal és az y = 6 vízszintes vonal. Jobbra egy ferde vonal példája. Forrás: F. Zapata.

A 3. ábra példáiban a függőleges piros vonal x = 4 egyenlettel rendelkezik, míg az x tengelyre (kék) párhuzamos vonal y = 6 egyenlettel rendelkezik. A jobb oldalon lévő vonal esetében látjuk, hogy ferde és az egyenlet megtalálásához az ábrán kiemelt pontokat használjuk: (0,2) és (4,0) így:

Ennek a vonalnak a függőleges tengelyével történő vágása y = 2, amint az a grafikonból is látható. Ezen információkkal:

Könnyű meghatározni a dőlési szöget az x tengelyhez viszonyítva. Úgy érzem, hogy:

Ezért az x tengely és a vonal közötti pozitív szög: 180º - 26,6º = 153,4º

Példák ferde vonalakra

4. ábra. Példák ferde vonalakra. Forrás: Ian Patterson vívók. Pisa ferde torony. Pixabay.

Az ferde vonalak sok helyen megjelennek, érdemes odafigyelni, hogy megtalálják azokat az építészetben, a sportban, az elektromos vezetékekben, a csövekben és még sok más helyen. A természetben a ferde vonalak szintén jelen vannak, amint azt alább látjuk:

Fénysugarak

A napfény egyenes vonalban halad, de a Föld kerek alakja befolyásolja a napfénynek a felület elérését.

Az alábbi képen világosan láthatjuk, hogy a napsugarak merőlegesen sztrájkolnak a trópusi régiókban, ehelyett ferdén érik a felszínt mérsékelt térségekben és a pólusoknál.

Ez az oka annak, hogy a nap sugarai nagyobb távolságra haladnak a légkörben, és a hő egy nagyobb felületen is terjed (lásd az ábrát). Ennek eredményeként a pólusok melletti területek hidegebbek.

5. ábra. A nap sugarai ferdén esnek a mérsékelt térségekben és a sarkokban, ehelyett többé-kevésbé merőlegesek a trópusokon. Forrás: Wikimedia Commons.

Vonalak, amelyek nem egy síkban vannak

Ha két vonal nem ugyanabban a síkban van, akkor is ferdeek vagy deformálódhatnak, mivel ezek is ismertek. Ebben az esetben a vezérvektoruk nem párhuzamos, de mivel nem tartoznak ugyanabba a síkba, ezek a vonalak nem keresztezik egymást.

Például a 6. ábra jobb oldali vonalai egyértelműen különböző síkokban vannak. Ha felülről néz rájuk, láthatja, hogy keresztezik egymást, de nincs közös pontjuk. Jobb oldalon a kerékpár kerekeit látjuk, amelyek küllője elől nézve látszik keresztezni.

6. ábra. Különböző síkokhoz tartozó ferde vonalak. Forrás: bal oldali F. Zapata, jobbra Pixabay.

Irodalom

1. Geometria. Egy vonal rendezője vektor. Helyreállítva: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Kalkulus analitikus geometriával. 8.. Kiadás. McGraw Hill.
3. A matematika játék. Vonalak és szögek. Helyreállítva: juntadeandalucia.es.
4. Keresztező egyenesek. Helyreállítva: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Analitikai geometria az R3-ban. Helyreállítva: dspace.espol.edu.ec.