SIMPSON SZABÁLYA: KÉPLET, BIZONYÍTÁS, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A Simpson-szabály egy módszer a körülbelül határozott integrálok kiszámítására. Ennek az az alapja, hogy az integrációs intervallumot páros számra osztjuk egyenlő távolságra az alsó intervallumokba.

Két egymást követő részintervallum szélsőséges értékei három pontot definiálnak, amelyekhez egy parabola tartozik, amelynek egyenlete egy második fokú polinom.

1. ábra. A Simpson módszerében az integrációs intervallum fel van osztva páros számú, azonos szélességű intervallumra. A függvényt parabola közelíti meg minden 2 részintervallumban, és az integrált a parabolak alatti terület összegével közelíti meg. Forrás: upv.es.

Ezután a függvény görbe alatti területet a két egymást követő intervallumban megközelítjük az interpolációs polinom területével. Összeadva az összes egymást követő részintervallum parabolája alatti terület hozzájárulását, megkapjuk az integrál hozzávetőleges értékét.

Másrészt, mivel a parabola integrálját algebrai pontossággal lehet kiszámítani, akkor a határozott integrál hozzávetőleges értékére analitikai képletet lehet megtalálni. Simpson formulaként ismert.

Az így kapott közelítő eredmény hibája csökken, mivel az n alosztás száma nagyobb (ahol n páros szám).

Az alábbiakban egy kifejezést adunk, amely lehetővé teszi az I. integrálhoz való közelítés hibájának felső határának becslését, amikor a teljes intervallum n szabályos részintervalluma megoszlik.

Képlet

Az integrációs intervallum n részintervallumokra van felosztva, ahol n egyenlő egész szám. Az egyes felosztás szélessége:

h = (b - a) / n

Ilyen módon a partíciót az intervallumon keresztül hajtjuk végre:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Ahol X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

A képlet, amely lehetővé teszi a folyamatos, és lehetőleg sima funkció meghatározott időközönkénti I integráljának közelítését, a következő:

Demonstráció

A Simpson-képlet előállításához az egyes alintervallokban az f (X) függvényt egy második fokú polinommal közelítik meg p (X) (parabola), amely áthalad a három ponton:; és.

Ezután kiszámítják a p (x) polinom integrálját, amelyben megközelíti az f (X) függvény integrálját ebben az intervallumban.

2. ábra: A Simpson képletét ábrázoló grafikon. Forrás: F. Zapata.

Az interpolációs polinom együtthatói

A (X) parabola egyenlet általános formája: p (X) = AX ² + BX + C. Mivel a parabola áthalad a piros ponttal jelölt Q pontokon (lásd az ábrát), akkor az A, B, C együtthatók a következő egyenletrendszer alapján határozhatók meg:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Látható, hogy a C együtthatót meghatározzuk. Az A együttható meghatározásához hozzáadjuk az első és a harmadik egyenletet, és így kapjuk meg:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Ezután C értékét helyettesítjük, és A töröljük, így:

A = / (2 óra ²)

A B együttható meghatározásához az elsőből levonják a harmadik egyenletet, és B megoldódik, így:

B = = 2 óra.

Összegezve: a Qi, Qi + 1 és Qi + 2 pontokon áthaladó p (X) második fokú polinom koefficiensei vannak:

A = / (2 óra ²)

B = = 2 óra

C = f (Xi + 1)

A hozzávetőleges integrál kiszámítása

Az integrál hozzávetőleges kiszámítása

Mint már említettem, a {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} partíciót a teljes integrációs intervallumon h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n lépéssel hajtjuk végre, ahol n páros szám.

Közelítési hiba

Vegye figyelembe, hogy a hiba csökken az intervallumban lévő alosztások negyedik teljesítményével. Például, ha n alosztásból 2n-be lép, akkor a hiba 1/16-es tényezővel csökken.

A Simpson közelítésével kapott hiba felső határát ugyanabból a képletből lehet megszerezni, a negyedik származék helyett a negyedik származék maximális abszolút értékét helyettesítve az intervallumban.

Működő példák

- 1. példa

Vegye figyelembe az f (X) = 1 / (1 + X ²) függvényt.

Keresse meg az f (X) függvény határozott integrálját az intervallumon, Simpson módszerével, két alosztásos (n = 2).

Megoldás

Az n = 2 értéket vesszük. Az integráció korlátai a = -1 és b = -2, tehát a partíció így néz ki:

X0 = -1; X1 = 0 és X2 = +1.

Ezért a Simpson képlete a következőképpen alakul:

3. ábra. A numerikus integráció példája a Simpson szabályával a szoftver használatával. Forrás: F. Zapata.

Irodalom

1. Casteleiro, JM 2002. Átfogó számítás (illusztrált kiadás). Madrid: ESIC szerkesztőség.
2. UPV. Simpson módszerével. Valencia Politechnikai Egyetem. Helyreállítva: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus kilencedik kiadás. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Simpson szabálya. Helyreállítva: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrange polinomiális interpoláció. Helyreállítva: es.wikipedia.com