TELJESÍTMÉNY SOROZAT: PÉLDÁK ÉS GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2025

Az energiasorozat a kifejezések összegzéséből áll, az x változó, vagy általánosságban az xc hatalmának formájában, ahol c állandó valós szám. Az összegző jelölésben a hatalom sorozatát a következőképpen fejezzük ki:

Ahol az _{o o}, a ₁, a ₂ … együtthatók valós számok, és a sorozat n = 0-n kezdődik.

1. ábra: Az energiasorozat meghatározása. Forrás: F. Zapata.

Ez a sorozat a állandó állandó c értékre koncentrálódik, de választhat úgy is, hogy c egyenlő 0-val, ebben az esetben a teljesítmény sorozatot a következőkre egyszerűsítik:

A sorozat a _vagy (xc) ^0, illetve a _vagy x ⁰ értékkel kezdődik. De tudjuk, hogy:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Ezért a _o (xc) ⁰ = a _vagy x ⁰ = a _o (független kifejezés)

A jó sor az energiasorozatnál az, hogy a funkciók velük fejezhetők ki, és ennek számos előnye van, főleg, ha összetett funkcióval szeretne dolgozni.

Ebben az esetben a függvény közvetlen használata helyett használja az energiaszéria kiterjesztését, amely könnyebben származtatható, integrálható vagy numerikusan kezelhető.

Természetesen mindent a sorozat konvergenciája függ. Egy sorozat konvergál, ha egy bizonyos nagy számú kifejezést hozzáadunk, rögzített értéket adva. És ha még kifejezéseket adunk hozzá, akkor továbbra is megkapjuk ezt az értéket.

Funkciók Power sorozatként

Például egy teljesítménysorban kifejezett függvényre f (x) = e ^x.

Ez a funkció az alábbiak szerint adható meg hatalom-sorozattal:

és ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3-at!) + (x ⁴ /4-et!) + (X ⁵ /5!) +…

Ahol! = n. (N-1). (N-2). (n-3)… és 0-ra van szükség! = 1.

Számológép segítségével ellenőrizni fogjuk, hogy a sorozat valóban egybees-e a kifejezetten megadott funkcióval. Kezdjük például azzal, hogy x = 0.

Tudjuk, hogy e ⁰ = 1. Lássuk, mit csinál a sorozat:

és ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3-at!) + (0 ⁴ /4-et!) + (0 ⁵ /5!) +… = 1

Most próbáljuk meg x = 1-et. Egy számológép visszatér, hogy e ¹ = 2,71828, majd hasonlítsuk össze a sorozattal:

és ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3-at!) + (1 ⁴ /4-et!) + (1 ⁵ /5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Csak 5 kifejezéssel már van pontos egyezés az e ≈ 2,71-ben. A sorozatunknak alig van még egy lépése, de mivel több kifejezést adunk hozzá, a sorozat minden bizonnyal egyezik az e pontos értékével. A megjelenítés akkor pontos, ha n → ∞.

Ha az előző elemzést n = 2 értékkel megismételjük, nagyon hasonló eredményeket kapunk.

Ilyen módon biztosak vagyunk abban, hogy az f (x) = e ^x exponenciális függvényt a következő hatalom-sorozat képviseli:

2. ábra. Ebben az animációban láthatjuk, hogy az energiasorozat közelebb kerül az exponenciális függvényhez, mivel több kifejezést veszünk. Forrás: Wikimedia Commons.

A hatalom geometriai sorozata

Az f (x) = e ^x függvény nem az egyetlen olyan funkció, amely támogatja az energiasorozat reprezentációját. Például az f (x) = 1/1 - x függvény hasonlóan néz ki, mint a jól ismert konvergens geometriai sorozat:

Elegendő a = 1 és r = x elvégzése, hogy egy ehhez a funkcióhoz megfelelő sorozatot kapjunk, amelynek c = 0 központja van:

Ismert azonban, hogy ez a sorozat │r│ <1 esetén konvergens, ezért a reprezentáció csak az (-1,1) intervallumban érvényes, bár a függvény x-re vonatkozik, kivéve x = 1.

Ha ezt a funkciót egy másik tartományban kívánja meghatározni, akkor egyszerűen csak egy megfelelő értékre összpontosít, és kész.

Hogyan lehet megtalálni a függvény hatalom sorozatát?

Bármelyik függvény kifejleszthető egy ac-sorozatú sorozatban, feltéve, hogy x = c-nél minden rend deriváltja. Az eljárás a következő, Taylor-tételnek nevezett tételt használja:

Legyen f (x) függvény az n rendű származékokkal, amelyeket f ⁽ⁿ⁾ -nek jelölünk, és amely az I intervallumon belül a hatalom sorozat kiterjesztését engedi meg. Taylor sorozatfejlesztése:

Tehát:

Ahol R _n, amely az n-edik ciklus a sorozat, az úgynevezett maradék:

Ha c = 0, akkor a sorozatot Maclaurin sorozatnak nevezik.

Ez az itt megadott sorozat megegyezik az elején megadott sorozattal, csak most van módunk kifejezetten megtalálni az egyes kifejezések együtthatóit:

Gondoskodnunk kell ugyanakkor arról, hogy a sorozat konvergáljon a ábrázolni kívánt funkcióval. Előfordul, hogy nem minden Taylor sorozat feltétlenül konvergál az f (x) értékre, amelyet szem előtt tartottak az _n- nél _mért együtthatók kiszámításakor.

Ennek oka az, hogy a függvény deriváltjai, x = c-nél kiértékelve, egybeesnek egy másik származékának ugyanazon értékével, x = c-nél is. Ebben az esetben az együtthatók megegyeznek, de a fejlemény nem egyértelmű, mivel nem biztos, hogy melyik funkciónak felel meg.

Szerencsére meg lehet tudni:

Konvergenciakritérium

A kétértelműség elkerülése érdekében, ha R _n → 0, mint n → ∞ az I intervallum összes xére, a sorozat f (x) értékre konvergál.

Gyakorlat

- A feladat megoldva 1

Keresse meg az f (x) = 1/2 - x függvény geometriai teljesítmény sorozatát, amelynek központja c = 0.

Megoldás

Az adott függvényt úgy kell kifejezni, hogy a lehető legjobban egybeesjen az 1 / 1- x-rel, amelynek sorozata ismert. Így írjuk át a számlálót és a nevezőt az eredeti kifejezés megváltoztatása nélkül:

1/2 - x = (1/2) /

Mivel a ½ állandó, akkor az összegzésből származik, és az új x / 2 változóval írják:

Vegye figyelembe, hogy x = 2 nem tartozik a függvény tartományához, és a Geometrikus Teljesítmény sorozat szakaszban megadott konvergenciakritérium szerint a kiterjesztés │x / 2│ <1 vagy azzal egyenértékûen -2 <x <2 értékre érvényes.

- A feladat megoldva 2

Keresse meg az f (x) = sin x függvény Maclaurin sorozatának kibővítésének első öt kifejezését.

Megoldás

1. lépés

Először a származékok:

- A 0 sorrend származéka: ugyanaz a függvény f (x) = sin x

-Első származék: (sin x) ´ = cos x

-Második derivált: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Harmadik származék: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

- Negyedik származék: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

2. lépés

Ezután az egyes származékokat x = c értékkel értékelik, ahogy a Maclaurin-tágulást is, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

3. lépés

Az a _n együtthatókat _{elkészítjük};

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3! a ₄ = 0/4! = 0

4. lépés

Végül a sorozatot a következők szerint állítják össze:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0.x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Szüksége van-e az olvasónak több kifejezésre? Hány esetben a sorozat közelebb áll a funkcióhoz.

Vegye figyelembe, hogy van egy minta az együtthatókban, a következő nullán kívüli kifejezés egy _5, és az összes páratlan indexű is 0-tól különbözik, felváltva a jeleket, így:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Feladatként hagyják ellenőrizni, hogy konvergál - a hányados kritérium felhasználható a sorok konvergenciájára.

Irodalom

1. CK-12 Alapítvány. Power sorozat: a funkciók és a műveletek ábrázolása. Helyreállítva: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integral Calculus. Litoral Nemzeti Egyetem.
3. Larson, R. 2010. Egy változó kiszámítása. 9.. Kiadás. McGraw Hill.
4. Matematika szabad szövegek. Teljesítmény sorozat. Helyreállítva: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Teljesítmény sorozat. Helyreállítva: es.wikipedia.org.