OKTÁLIS RENDSZER: TÖRTÉNELEM, SZÁMOZÁSI RENDSZER, ÁTVÁLTÁSOK - MATEMATIKA - 2026

Az oktális rendszer egy nyolc alap (8) pozíciós számozási rendszer; vagyis nyolc számjegyből áll, amelyek a következők: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 és 7. Ezért az oktális számok minden számjegye 0 és 7 közötti értékű lehet. bináris számokból alakulnak ki.

Ennek oka az, hogy alapja pontosan kettő (2) teljesítménye. Vagyis az oktális rendszerhez tartozó számok akkor alakulnak ki, amikor három egymást követő számjegyre oszlanak, jobbról balra rendezve, így megkapják a tizedes értéküket.

Történelem

A nyolcadik rendszer az ősi időkben származik, amikor az emberek kezükkel számoltak állatokat nyolc-nyolcig.

Például ahhoz, hogy meg lehessen számolni egy istállóban a tehenek számát, a jobb kezével kezdték el számolni, a hüvelykujját a kisujjjal összekapcsolva; Ezután a második állat megszámlálásához a hüvelykujját összekapcsoltam a mutatóujjával, és így tovább, mindkét kéz többi ujjával, amíg a 8. fejezet be nem fejeződik.

Lehetséges, hogy az ókorban a oktális számozási rendszert a tizedes előtt használták, hogy meg lehessen számolni az interdigitális tereket; vagyis számítson meg minden ujját, kivéve a hüvelykujját.

Később létrehozták az oktális számozási rendszert, amely a bináris rendszerből származik, mivel sok számjegyre van szüksége, hogy csak egy számot képviseljen; ettől kezdve oktális és hatszögletű rendszereket hoztak létre, amelyek nem igényelnek annyi számjegyet, és könnyen konvertálhatók bináris rendszerré.

Oktális számozási rendszer

Az oktálrendszer nyolc számjegyből áll, amelyek 0-tól 7-ig terjednek. Ezek értéke azonos, mint a decimális rendszer esetében, de relatív értékük az általuk elfoglalt helytől függően változik. Az egyes pozíciók értékét a 8. bázis ereje adja meg.

A számjegyek helyzete egy oktális számban a következő súlyokkal rendelkezik:

8 ⁴, 8 ³, 8 ², 8 ¹, 8 ⁰, oktális pont, 8 ^-1, 8 ^-2, 8 ^-3, 8 ^-4, 8 ^-5.

A legnagyobb oktális szám 7; így ebben a rendszerben a számláláskor egy szám helyzete 0-ról 7-re növekszik. Ha elérte a 7-et, akkor a következő számlálásra 0-ra állítják vissza; ily módon megnő a következő számjegy pozíciója. Például a szekvenciák számlálására az oktális rendszerben ez lesz:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Van egy alapvető tétel, amelyet alkalmaznak a nyolcadik rendszerre, és a következőképpen fejezik ki:

Ebben a kifejezésben a di azt a számjegyet szorozza meg, amely a 8. alap teljesítményével szorzódik, amely jelzi az egyes számjegyek helyértékét, ugyanolyan módon, mint a tizedesrendszerbe rendezve.

Például az 543.2-es szám van. Az oktális rendszerbe juttatása az alábbiak szerint oszlik meg:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Így 543,2 _q = 354,25 _{d van}. A q alindex azt jelzi, hogy ez egy oktális szám, amelyet a 8 szám is képviselhet; és d alindex a tizedes számra utal, amelyet a 10 szám is képviselhet.

Átalakítás oktális és decimális rendszerből

Ha egy számot a nyolcadik rendszerből ekvivalensre szeretne konvertálni a tizedesrendszerben, egyszerűen szorozzon meg minden oktális számot helyértékével, kezdve a jobb oldalról.

1. példa

732 ₈ = (7 _* 8 ²) + (3 _* 8 ¹) + (2 _* 8 ⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

2. példa

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹) + (6 _* 8 ⁰) + (9 _* 8 ^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,1225 ₁₀

Átalakítás decimálisról oktális rendszerre

A tizedes egész számot oktális számmá alakíthatjuk az ismétlődő osztás módszerrel, ahol a tizedes egész számot elosztjuk 8-ig, amíg a hányados egyenlő 0-val, és az egyes osztások fennmaradó részei oktális számot képviselnek.

A maradványokat az utolsótól az elsőig rendezik; vagyis az első maradék az oktális szám legkevésbé számottevő számjegye. Ilyen módon a legjelentősebb számjegy lesz az utolsó maradék.

Példa

Tizedes szám Oktál 266 ₁₀

- Osszuk el a 266 tizedes számot 8 = 266/8 = 33 + 2-es maradékkal.

- Ezután ossza meg a 33 értéket 8 = 33/8 = 4 + 1 maradékkal.

- Osszuk el a 4-t 8-mal = 4/8 = 0 + a 4 maradékot.

Mivel az utolsó osztásnál 1-nél kisebb hányadost kapunk, az azt jelenti, hogy az eredmény megtalálható; A fennmaradó részeket csak fordítottan kell megrendelnie, hogy a tizedes 266 oktális száma 412 legyen, amint az a következő képen látható:

Átalakítás oktális rendszerről bináris rendszerre

Az oktálisról binárisra konvertáláshoz az oktális számot ekvivalens bináris számjegyre konvertálják, amely három számjegyből áll. Van egy táblázat, amely bemutatja a lehetséges nyolc számjegy konvertálását:

Ezekből az átváltásokból bármelyik szám megváltoztatható az oktálrendszerről binárisra, például az 572 ₈ szám konvertálásához ennek megfelelőit keressük a táblázatban. Így:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Ezért az 572 ₈ egyenértékű a bináris rendszerben az 10111110 értékkel.

Átalakítás binárisról oktálra

A bináris egészek oktális egészekké konvertálása a korábbi folyamat fordítottja.

Vagyis a bináris szám bitjeit három bitből álló csoportba osztják, jobbról balra kezdve. Ezután a binárisról oktálisra történő átalakítást a fenti táblázat segítségével végezzük.

Bizonyos esetekben a bináris szám nem tartalmaz 3 bitből álló csoportot; ennek befejezéséhez egy vagy két nullát adunk az első csoport bal oldalán.

Például, ha az 11010110 bináris számot oktálisra szeretné változtatni, tegye a következőket:

- 3 bitből álló csoportok jönnek létre a jobb oldalról (az utolsó bit):

11010110

- Mivel az első csoport hiányos, a kezdő nulla hozzáadásra kerül:

011010110

- Az átváltás a táblázatból történik:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Így a 011010110 bináris szám megegyezik a 326 _8- tal.

Átalakítás oktálisról hexadecimálisra és fordítva

Ha egy oktális számot hexadecimálisra vagy hexadecimálisról oktálisra szeretne váltani, a számot először binárisra kell konvertálni, majd a kívánt rendszerre.

Ehhez van egy táblázat, ahol minden hexadecimális számot ábrázolnak annak egyenértékével a bináris rendszerben, négy számjegyből állva.

Bizonyos esetekben a bináris szám nem tartalmaz 4 bitből álló csoportot; ennek befejezéséhez egy vagy két nullát adunk az első csoport bal oldalán

Példa

Konvertálja a 1646 oktális számot hexadecimális számra:

- Konvertálja a számot oktálisról binárisra

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Tehát 1646 ₈ = 1110100110.

- A binárisról hexadecimálisra konvertáláshoz először 4 bitből álló csoportba rendezik őket, jobbról balra kezdve:

11 1010 0110

- Az első csoport nullákkal egészül ki, hogy 4 bittel rendelkezzen:

0011 1010 0110

- Binárisról hexadecimálisra konvertáljuk. Az egyenértékűségeket a táblázat helyettesíti:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Így az 1646 oktális szám megegyezik a 3A6-tal a hexadecimális rendszerben.

Irodalom

1. Bressan, AE (1995). Bevezetés a számozási rendszerekbe. A társaság argentin egyeteme.
2. Harris, JN (1957). Bevezetés a bináris és oktális számozási rendszerekbe: Lexington, Massachusetts Fegyveres Szolgáltatások Technikai Információs Ügynöksége.
3. Kumar, AA (2016). A digitális áramkörök alapjai. Learning Pvt.
4. Peris, XC (2009). Egységes operatív rendszerek.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Digitális rendszerek: alapelvek és alkalmazások. Pearson oktatás.