Ahhoz, hogy megtudja, mi a két egymást követő szám négyzeteinek összege, megtalálható egy képlet, mellyel elegendő az érintett számok pótlása az eredmény eléréséhez.
Ez a képlet általános módon megtalálható, vagyis bármilyen egymást követő számpárhoz használható.
A "egymást követő számok" kifejezéssel hallgatólagosan azt állítja, hogy mindkét szám egész szám. És a "négyzetek" alatt azt jelenti, hogy az egyes számokat négyzetre osztja.
Például, ha az 1. és 2. számot vesszük figyelembe, akkor négyzetük 1² = 1 és 2² = 4, tehát a négyzetek összege 1 + 4 = 5.
Másrészt, ha az 5. és a 6. számot vesszük, akkor négyzetük 5² = 25 és 6² = 36, amellyel a négyzetek összege 25 + 36 = 61.
Mekkora a két egymást követő szám négyzeteinek összege?
A cél most az, hogy általánosítsuk az előző példákban elvégzett intézkedéseket. Ehhez meg kell találni egy általános módot egy egész szám és az egymást követő egész szám írására.
Két egymást követő egész számra, például 1-re és 2-re nézve láthatja, hogy a 2-t 1 + 1-ként lehet írni. Ugyanakkor, ha a 23. és a 24. számot megfigyeljük, akkor arra a következtetésre juthatunk, hogy a 24 lehet 23 + 1 értékű.
A negatív egész számok esetében ez a viselkedés is igazolható. Valójában, ha figyelembe vesszük -35 és -36, akkor látható, hogy -35 = -36 + 1.
Ezért, ha bármelyik "n" egész számot választjuk, akkor az "n" -re vonatkozó egész szám "n + 1". Így már létrejött a kapcsolat két egymást követő egész szám között.
Mi a négyzetek összege?
Ha két egymást követő "n" és "n + 1" egész számot kapunk, akkor négyzetük "n²" és "(n + 1) ²". A figyelemre méltó termékek tulajdonságai alapján ez az utolsó kifejezés a következőképpen írható:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.
Végül a két egymást követő szám négyzeteinek összegét a következő kifejezés adja:
n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.
Ha az előző képlet részletesebb, akkor kiderül, hogy elegendő a "n" legkisebb egész számának ismerete, hogy megtudjuk, mi a négyzetek összege, vagyis csak a két egész közül a legkisebb használatához elegendő.
A kapott képlet másik szempontja: a kiválasztott számokat megszorozzuk, majd a kapott eredményt megszorozzuk 2-vel, és végül hozzáadjuk az 1-et.
Másrészt, a jobb oldalon lévő első kiegészítés páros szám, és az 1 hozzáadása páratlanul eredményez. Ez azt mondja, hogy a két egymást követő szám négyzeteinek összeadása mindig páratlan szám lesz.
Azt is meg kell jegyezni, hogy mivel két szám négyzettel egészül ki, akkor ez az eredmény mindig pozitív lesz.
Példák
1.- Vegyük figyelembe az 1 és 2 egész számot. A legkisebb egész szám 1. Az előző képlet alkalmazásával arra a következtetésre juthatunk, hogy a négyzetek összege: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Ez megegyezik az elején elvégzett számlálásokkal.
2.- Ha az 5. és a 6. egész számot vesszük, akkor a négyzetek összege 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, ami egybeesik az elején kapott eredménnyel.
3.- Ha az -10 és -9 egész számot választjuk, akkor négyzetük összege: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.- Legyen az egész számok ebben a lehetőségben -1 és 0, akkor négyzetük összegét 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1 értékkel adjuk meg.
Irodalom
- Bouzas, PG (2004). Középiskolai algebra: Együttműködés a matematikában. Narcea Editions.
- Cabello, RN (2007). Erők és gyökerek. Közzé tegye könyveit.
- Cabrera, VM (1997). Számítás 4000. Szerkesztői Progreso.
- Guevara, MH (második). Az egész számok halmaza. EUNED.
- Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson oktatás.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearson oktatás.
- Thomson. (2006). A GED átadása: Matematika. InterLingua Publishing.