A Riemann-összeg az a név, amelyet egy meghatározott integrál közelítő számításához kapunk, véges számú kifejezéssel elválasztva egy diszkrét összegzéssel. Általános alkalmazás a függvény területének közelítése egy grafikonon.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) német matematikus volt az, aki először felajánlotta a függvény integráljának szigorú meghatározását egy adott időközönként. Egy 1854-ben publikált cikkben tette közzé.

1. ábra. A Riemann-összeget az f függvényen és az intervallum partícióján határozzuk meg. Forrás: Fanny Zapata.

A Riemann-összeget az y = f (x) függvény határozza meg, ahol x a zárt intervallumhoz tartozik. Ezen az intervallumon n elemből P partíciót készítünk:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Ez azt jelenti, hogy az intervallum a következőképpen oszlik meg:

x _k-1 ≤ t _k ≤ x _k

Az 1. ábra grafikusan mutatja az f függvény Riemann-összegét négy alintervallum, a szürke téglalapok partícióján lévő intervallumban.

Az összeg a téglalapok teljes területét jelöli, és ennek az összegének eredménye számszerűen megközelíti az f görbe alatti területet, az x = x _{0 és} x = x ₄ abszcissza között.

Természetesen a görbe alatti területhez való közelítés nagyban javul, mivel a partíciók n száma nagyobb. Ilyen módon az összeg konvergál a görbe alatti területre, amikor a partíciók n száma végtelenre hajlik.

Képletek és tulajdonságok

Az partíción lévő f (x) függvény Riemann-összege:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Az időközönként meghatározva:

S (P, f) = ∑ _{k = 1} ⁿ f (t _k) (x _k - x _k-1)

Ahol t _k egy érték az intervallumban. A Riemann-összegben általában Δx = (b - a) / n szélességű szabályos intervallumokat alkalmaznak, ahol a és b az abszcissza minimális és maximális értéke, míg n az alosztás száma.

Ebben az esetben a Riemann-jogösszeg:

Sd (f, n) = * Δx

2. ábra: Riemann jobb összeg. Forrás: Wikimedia Commons. 09glasgow09.

Míg a Riemann bal oldali összegét a következőképpen fejezik ki:

Ha (f, n) = * Δx

3. ábra. Bal oldali Riemann-összeg. Forrás: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Végül a Riemann központi összege:

Sc (f, n) = * Δx

4. ábra. Köztes Riemann-összeg. Forrás: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Attól függően, hogy hol helyezkedik el a t _k pont az intervallumban, a Riemann-összeg túlbecsülheti vagy alábecsülheti az y = f (x) függvény görbe alatti terület pontos értékét. Más szavakkal, a téglalapok akár kinyúlhatnak a görbéből, akár kissé alatta lehetnek.

A görbe alatti terület

A Riemann-összeg fő tulajdonsága, amelyből következik annak fontossága, hogy ha az alosztások száma végtelenre hajlik, akkor az összeg konvergál a függvény határozott integráljához:

Megoldott gyakorlatok

- 1. Feladat

Számítsa ki a függvény határozott integráljának értékét a = -2 és b = +2 között:

f (x) = x ²

Használjon egy Riemann-összeget. Ehhez először keresse meg az intervallum n szokásos partíciójának összegét, majd vegye ki a matematikai korlátot arra az esetre, ha a partíciók száma végtelenre hajlik.

Megoldás

Ezek a következő lépések:

-Elsőként a partíciós intervallum a következő:

Δx = (b - a) / n.

-Akkor az f (x) függvénynek megfelelő jobb oldali Riemann-összeg így néz ki:

-És akkor óvatosan helyettesíti az összegzésben:

- A következő lépés az összeadások elválasztása és az állandó mennyiségek figyelembevétele az egyes összegek közös tényezőjeként. Figyelembe kell venni, hogy az index i, tehát az n-nél szereplő számok és kifejezések állandónak tekinthetők:

- Mindegyik összeget ki kell értékelni, mivel mindegyiknek megvan a megfelelő kifejezése. Például az első összegből n adható meg:

-Végül a kiszámítandó integrál:

Az olvasó ellenőrizheti, hogy ez a pontos eredmény-e, amelyet a határozatlan integrál megoldásával és az integráció határainak Barrow-szabályzat általi értékelésével lehet elérni.

- 2. gyakorlat

Körülbelül meghatározza a függvény alatti területet:

f (x) = (1 / √ (2π)) e ^{(-x 2 /2)}

Írja be az x = -1 és x = + 1 értéket egy központi partíciós Riemann összeg felhasználásával 10 partícióval. Hasonlítsa össze a pontos eredménnyel, és becsülje meg a százalékos különbséget.

Megoldás

A két egymást követő különálló érték közötti lépés vagy növekedés:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Tehát a P partíció, amelyen a téglalapok vannak definiálva, így néz ki:

P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0}

Mivel azonban a központi összeget kívánjuk, az f (x) függvényt az alsó intervallumok középpontjain, azaz a halmazban értékelik:

T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.

A (központi) Riemann-összeg így néz ki:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Mivel az f függvény szimmetrikus, az összeget csak 5 kifejezésre lehet redukálni, és az eredményt megszorozzuk kettővel:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0,2 * {0,397 + 0,381 + 0,352 + 0,312 + 0,266} = 0,683

Az ebben a példában megadott funkció nem más, mint a közismert Gauss-csengő (normalizált, nullával megegyező átlaggal és standard eltéréssel). A görbe alatti terület e funkció intervallumában ismert, hogy 0,6827.

5. ábra: A Riemann összegével közelített Gauss-harang alatti terület. Forrás: F. Zapata.

Ez azt jelenti, hogy a csak 10 kifejezéssel ellátott megközelítő megoldás megegyezik a pontos megoldással, három tizedesjegyig. A százalékos hiba a hozzávetőleges és a pontos integrál között 0,07%.

Irodalom

1. Casteleiro, JM, és Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrált kalkulus (illusztrált kiadás). Madrid: ESIC szerkesztőség.
2. Unican. Az integrál fogalmának története Helyreállítva: repositorio.unican.es
3. UIS. Riemann összegeket. Helyreállítva: matematicas.uis.edu.co
4. Wikipedia. Riemann összeg. Helyreállítva: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Riemann-integráció. Helyreállítva: es.wikipedia.com