- Demonstráció
- Hogyan oldják meg?
- Bomlás egyszerű frakciókká
- Történelem
- Feladatok
- 1. Feladat
- 2. gyakorlat
- Irodalom
Az összeg teleszkópos egy ágműveleti numerikus sorozat. Az elemek összegzésével foglalkozik azon kifejezések kezdeti értékétől n értékig, amelyek érve a következő minták valamelyikének felel meg:
(F x - F x + 1); (F x + 1 - F x)
Ugyanígy:
Forrás: Pixabay.com
Elemek összegzését képviselik, amelyek kidolgozásakor ellentétes feltételek törlésre kerülnek. A teleszkópos összegzések következő egyenlőségének meghatározása:
Neve a klasszikus távcső megjelenésével való kapcsolatból származik, amely összecsukható és kibontható, különös tekintettel a méretére. Ugyanígy a végtelen természetű teleszkópos összegzések összegezhetők az egyszerűsített kifejezésben:
F 1 - F n + 1
Demonstráció
A kifejezések összegzésének kidolgozásakor a tényezők kiküszöbölése nyilvánvaló. Ahol az egyes esetekben ellentétes elemek jelennek meg a következő iterációban.
Az első esetet (F x - F x + 1) példaként vesszük, mivel a folyamat homológ módon működik (F x + 1 –F x) számára.
Az első 3 érték {1, 2, 3} kidolgozásával megfigyelhető az egyszerűsítés tendenciája
X 1 (F 1 - F 1 + 1) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1) = F 3 - F 4
Ahol a leírt elemek összegének kifejezésekor:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
Megfigyelhető, hogy az F 2 és F 3 kifejezéseket ellentéteikkel együtt írják le, ami egyszerűsítésük elkerülhetetlenné teszi. Ugyanígy, megfigyeltük, hogy a feltételek F 1 és F 4 tartjuk.
Ha az összeget x = 1-től x = 3-ig állították, ez azt jelenti, hogy az F 4 elem megfelel az F n + 1 általános kifejezésnek .
Így bizonyítja az egyenlőséget:
Hogyan oldják meg?
A teleszkópos összefoglalás célja a munka megkönnyítése, így nincs szükség végtelen számú kifejezésre, vagy egyszerűsíteni kell néhány túl hosszú addíciós láncot.
Megoldásához csak az F 1 és F n + 1 kifejezéseket kell értékelni. Ezek az egyszerű helyettesítések képezik az összegzés végső eredményét.
A kifejezések összességét nem fejezzük ki, mivel csak az eredmény bemutatásához szükséges, de a szokásos számítási folyamathoz nem szükséges.
Fontos dolog az, hogy észrevegye a számsorok konvergenciáját. Időnként az összegző érvet nem teleszkóposan fejezik ki. Ezekben az esetekben nagyon gyakori az alternatív faktoring módszerek alkalmazása.
A teleszkópos kiegészítésekre jellemző karakterizációs módszer az egyszerű frakciók. Ez akkor fordul elő, amikor az eredeti frakció több frakció összegeire bomlik, ahol a teleszkópos minta (F x - F x + 1) vagy (F x + 1 - F x) megfigyelhető.
Bomlás egyszerű frakciókká
A numerikus sorok konvergenciájának igazolására nagyon gyakori a racionális kifejezések egyszerű frakció módszerrel történő átalakítása. A cél az, hogy a telket modellezzük egy teleszkópos összegzés formájára.
Például a következő egyenlőség azt jelenti, hogy egyszerű frakciókra bomlik:
A számsor fejlesztésekor és a megfelelő tulajdonságok alkalmazásánál a kifejezés a következőképpen alakul:
Ahol a teleszkópos alak értékelt (F x - F x + 1).
Az eljárás meglehetősen intuitív, és a számláló értékének megkereséséből áll, amelyek anélkül, hogy megsértenénk az egyenlőséget, lehetővé teszik a nevezőben található termékek elválasztását. Az ezen értékek meghatározásánál felmerülő egyenleteket az egyenlőség mindkét oldalának összehasonlítása alapján emeljük fel.
Ezt az eljárást lépésről lépésre megfigyelik a 2. gyakorlat kidolgozásában.
Történelem
Nagyon bizonytalan, hogy meg tudjuk határozni azt a történelmi pillanatot, amelyben a teleszkópos összefoglalásokat bemutatták. Végrehajtása azonban a XVII. Században kezdődik, a numerikus sorozat Leibniz és Huygens által végzett tanulmányaiban.
Mindkét matematikus, a háromszög számok összegzésének feltárásával, észreveszi az egymást követő elemek sorozatának konvergenciájának trendeit. De még érdekesebb ezen kifejezések modellezésének kezdete, olyan elemekben, amelyek nem feltétlenül követik egymást.
Valójában a korábban használt kifejezés egyszerű törtekre utalt:
Huygens vezette be, és azonnal felhívta Leibniz figyelmét. Ki tudta idővel megfigyelni a 2. értékhez való konvergenciát, anélkül hogy tudta volna, végrehajtotta a teleszkópos összegzési formátumot.
Feladatok
1. Feladat
Határozza meg, hogy a következő összeg miként konvergál:
Az összeg kézi kidolgozásakor a következő minta figyelhető meg:
(2 3 - 2 4) + (2 4 - 2 5) + (2 5 - 2 6)…. (2 10 - 2 11)
Ahol a 2 4- től 10- ig terjedő tényezők pozitív és negatív részeket mutatnak, azok törlése nyilvánvalóvá válik. Akkor az egyetlen olyan tényező, amelyet nem egyszerűsítenek, az első „2 3 ” és az utolsó „2 11 ”.
Ilyen módon a teleszkópos összegzési kritérium végrehajtásakor a következőket kapjuk:
2. gyakorlat
Átalakítsuk az érvet teleszkópos típusú összegzésbe, és határozzuk meg a sorok konvergenciáját:
Amint azt a nyilatkozatban jeleztük, az első lépés, hogy egyszerű frakciókba bontjuk, az érvelés megismételése és teleszkópos módon történő kifejezése céljából.
Meg kell találnia 2 olyan frakciót, amelyek nevezői "n" és "n + 1", ahol az alábbiakban alkalmazott módszernek meg kell kapnia a számláló olyan értékeit, amelyek kielégítik az egyenlőséget.
Folytatjuk az A és B értékeinek meghatározását. Először adjuk hozzá a frakciókat.
Ezután a nevezőket egyszerűsítik és lineáris egyenletet hoznak létre.
A következő lépésben a jobb oldali kifejezést működtetjük, amíg a bal oldali „3” -hoz hasonló mintát nem kapunk.
A használni kívánt egyenletek meghatározásához összehasonlítani kell az egyenlőség mindkét oldalának eredményeit. Más szavakkal, az n változó értékét nem figyeljük meg a bal oldalon, így az A + B-nek nullának kell lennie.
A + B = 0; A = -B
Másrészt az A állandó értéknek meg kell egyeznie a 3 állandó értékkel.
A = 3
Így.
A = 3 és B = -3
Miután az egyszerű frakciók számláló értéke már meghatározva van, az összegzést megismételjük.
Ahol a teleszkópos összegzés általános formáját már elérték. A teleszkópos sorozat fejlesztésre került.
Ahol nagyon nagy számmal elosztva az eredmény közelebb és közelebb kerül nullához, megfigyelve a sorozat konvergenciáját a 3-as értékkel.
Az ilyen típusú sorozatokat más módon nem lehet megoldani, a végtelen számú iteráció miatt, amely meghatározza a problémát. Ez a módszer azonban, sok más módszerrel együtt, a numerikus sorok tanulmányozásának ágát is meghatározza, amelynek célja a konvergenciaértékek meghatározása vagy az említett sorozat divergenciájának meghatározása.
Irodalom
- Végtelen kis számolási órák. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
- Integrált számítás: Szekvenciák és funkciósorozatok. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, október 21. 2014-ben.
- A kalkulus és a valós elemzés kurzusa. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Tudományos és Üzleti Média, június 5. 2006.
- Végtelen sorozat. Tomlinson erőd. A Clarendon Press, 1930.
- A végtelen folyamatok elméletének elemei. Lloyd Leroy Smail. A McGraw-Hill Book Company, bejegyzett, 1923.