MEGHATÁROZOTT ELMÉLET: JELLEMZŐK, ELEMEK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2025

A halmazelmélet a matematikai logika egyik ága, amely a halmazoknak nevezett entitások közötti kapcsolatok vizsgálatáért felel. A halmazokat az jellemzi, hogy azonos természetű tárgyak gyűjteményei. Az említett objektumok a halmaz elemei és lehetnek: számok, betűk, geometriai számok, objektumokat ábrázoló szavak, maguk a tárgyak és mások.

Georg Cantor, a 19. század vége felé javasolta az elméletet. Míg a 20. században más figyelemreméltó matematikusok tették hivatalossá: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel.

1. ábra: Az A, B halmazok és azok kereszteződésének A⋂ B venn diagramja (Saját kidolgozás).

A Venn-diagramok a készlet grafikus ábrázolására szolgálnak, és egy zárt síkból áll, amelyen belül a készlet elemei vannak.

Például az 1. ábrán két A és B halmaz látható, amelyeknek közös elemei vannak, az A és B közös elemei. Ezek egy új halmazt alkotnak, az úgynevezett A és B metszéspont halmazát, amelyet a következő formában írunk: szimbolikus, az alábbiak szerint:

A ∩ B

jellemzők

A halmaz primitív fogalom, mivel geometria szerint a pont, vonal vagy sík fogalma. Nincs jobb módszer a fogalom kifejezésére, mint példák mutatása:

E sorozat, amelyet a Spanyolország zászlaja színei alkotnak. A készlet kifejezésének ilyen módját megértés hívja. Ugyanaz az E halmaz, amelyet kiterjesztés ír:

E = {piros, sárga}

Ebben az esetben a piros és a sárga az E halmaz elemei. Meg kell jegyezni, hogy az elemek zárójelekkel vannak felsorolva, és nem ismétlődnek meg. A spanyol zászló esetében három színes csík van (piros, sárga, piros), amelyek közül kettő megismétlődik, de az elemek nem kerülnek megismételésre, ha az egész kifejezésre kerül.

Tegyük fel, hogy az első három magánhangzó betűből áll:

V = {a, e, i}

A V (P) jelölt teljesítménykészlet az összes olyan készlet halmaza, amelyet V elemekkel lehet kialakítani:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

A készletek típusai

Végkészlet

Ez egy halmaz, amelyben az elemek számíthatók. A véges halmazokra példa a spanyol ábécé betűi, a spanyol magánhangzók, a Naprendszer bolygói. A véges halmazban levő elemek számát annak kardinalitásának nevezzük.

Végtelen készlet

A végtelen halmazt úgy kell érteni, hogy az elemek száma nem számolható, mivel bármennyire is lehet az elemek száma, mindig lehetséges több elem megtalálása.

Példa egy végtelen halmazra az N természetes szám halmaza, amely kiterjedt formában a következőképpen fejeződik ki:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Egyértelműen végtelen halmaz, mivel függetlenül attól, hogy mekkora lehet egy természetes szám, a következő legnagyobb mindig megtalálható, egy végtelen folyamatban. Nyilvánvaló, hogy egy végtelen halál kardinalitása ∞.

Üres készlet

Ez a halmaz nem tartalmaz elemet. Az üres V halmazt Ø vagy pár billentyűvel jelöljük, elemek nélkül:

V = {} = Ø.

Az üres halmaz egyedi, ezért helytelennek kell lennie az "üres halmaz" kimondásával, a helyes formában pedig az "üres halmaz" mondattal.

Az üres halmaz tulajdonságai között van, hogy ez bármely halmaz részhalmaza:

Ø ⊂ A

Ezenkívül, ha egy halmaz az üres halmaz egy részhalmaza, akkor szükségszerűen az említett halmaz vákuum lesz:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Egyedi készlet

Az egységkészlet bármely olyan készlet, amely egyetlen elemet tartalmaz. Például a Föld természetes műholdainak halmaza egy egységes halmaz, amelynek egyetlen eleme a Hold. A 2-nél kisebb és nullánál nagyobb egész számú B halmaz csak 1 elemmel rendelkezik, tehát egységkészlet.

Bináris készlet

Egy halmaz bináris, ha csak két elemmel rendelkezik. Például az X halmazt, úgy, hogy x az x ^ 2 = 2 valós számú megoldása. Ezt kiterjesztéssel állítva így írjuk:

X = {-√2, + √2}

Univerzális készlet

Az univerzális készlet olyan készlet, amely azonos típusú vagy jellegű egyéb készleteket tartalmaz. Például a természetes számok univerzális halmaza a valós számok halmaza. A valós számok azonban a egész számok és a racionális számok univerzális halmaza is.

Központi elemek

- A halmazok közötti kapcsolatok

Az összeállításokban különféle típusú kapcsolatok létesíthetők közöttük és azok elemei között. Ha két A és B halmaz pontosan azonos elemekkel rendelkezik, akkor létrejön egy egyenlőség-kapcsolat, amelyet a következőképpen jelölnek:

A = B

Ha az A halmaz összes eleme a B halmazhoz tartozik, de B nem minden eleme tartozik az A-hez, akkor ezek között a halmazok között van egy beillesztési kapcsolat, amelyet így jelölnek:

A ⊂ B, de B ⊄ A

A fenti kifejezés a következő: A A B részhalmaza, B azonban nem A részhalmaza.

Annak jelzésére, hogy egyes elemek vagy elemek egy halmazhoz tartoznak, a ∈ tagsági szimbólumot használják, például annak mondására, hogy x elem vagy elemek az A halmazhoz tartoznak, szimbolikusan írva:

x ∈ A

Ha egy elem nem tartozik az A halmazhoz, ezt a kapcsolatot így írják:

és ∉ A

A tagsági kapcsolat fennáll egy készlet és a készlet elemei között, kivéve a teljesítménykészletet, az energiakészlet az összes lehetséges készlet gyűjteménye vagy halmaza, amely az említett készlet elemével kialakítható.

Tegyük fel, hogy V = {a, e, i}, a hatalomkészlete P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}, ebben az esetben a V halmaz P (V) halmaz elemévé válik, és írható:

V ∈ P (V)

- A beillesztés tulajdonságai

Az inklúzió első tulajdonsága azt igazolja, hogy minden halmaz önmagában van, vagyis más szavakkal, hogy önmagának egy részhalmaza:

A ⊂ A

A beillesztés másik tulajdonsága a tranzitivitás: ha A B részhalmaza, és B viszont C részhalmaza, akkor A A C részhalmaza. Szimbolikus formában a tranzitivitási relációt a következőképpen kell írni:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Az alábbiakban látható az inklúzió tranzitivitására vonatkozó Venn-diagram:

2. ábra (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Műveletek a készletek között

Útkereszteződés

Az metszés egy két halmaz közötti művelet, amely új halmazt eredményez, amely ugyanazon univerzális halmazhoz tartozik, mint az első kettő. Ebben az értelemben ez egy zárt művelet.

Szimbolikusan az metszés művelete így van megfogalmazva:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Példa a következőre: az „elemek” szó betűinek A halmaza és az „ismételt” szó betűinek B halmaza, az A és B metszéspontja így íródik:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Az A, B és A⋂B univerzális halmaza a spanyol ábécé betűinek halmaza.

Unió

A két halmaz egyesülése a halmaz, amelyet a két halmaz közös elemei és a két halmaz nem közös elemei alkotnak. A halmazok közötti uniós működést szimbolikusan fejezik ki így:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Különbség

Az A halmaz különbségének mínusz B halmazát AB jelöli. Az AB egy új halmaz, amelyet az összes elem tartalmaz, amely az A betűben található, és nem tartozik a B-be. Szimbolikusan ez így van írva:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

3. ábra A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Szimmetrikus különbség

A szimmetrikus különbség két halmaz közötti művelet, ahol a kapott halmaz olyan elemekből áll, amelyek nem jellemzőek a két halmazra. A szimmetrikus különbséget szimbolikusan ábrázoljuk:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Példák

1. példa

A Venn-diagram a halmazok grafikus ábrázolására szolgál. Például a szókészlet betűinek C halmaza a következőképpen ábrázolva:

2. példa

Az alábbiakban Venn diagramok mutatják, hogy a "set" szóban szereplő magánhangzók halmaza a "set" szó betűkészletének részhalmaza.

3. példa

A spanyol ábécé betűinek Ñ halmaza véges, ezt a kiterjesztés halmaza így írja:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, és kardinális értéke 27.

4. példa

A magánhangzók V halma spanyolul a set halmaz részhalmaza:

V ⊂ Ñ tehát véges halmaz.

A V véges halmazt kiterjedt formában így írják: V = {a, e, i, o, u}, és kardinális értéke 5.

5. példa

Mivel az A = {2, 4, 6, 8} és B = {1, 2, 4, 7, 9} halmazokat határozza meg, AB és BA.

A - B azok az A elemek, amelyek nincsenek B-ben:

A - B = {6, 8}

B - A azok a B elemek, amelyek nincsenek A-ban:

B - A = {1, 7, 9}

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Írjon szimbolikus formában és kibővítse a 10-nél kevesebb páros természetes szám P halmazát.

Megoldás: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

2. gyakorlat

Tegyük fel, hogy az A halmazt, amelyet a természetes számok képeznek, amelyek tényezői 210, és a B halmazt, amelyet a természetes számok alkotnak, mint kevesebb, mint 9, határozzuk meg kiterjesztéssel mindkét halmazt, és határozzuk meg, hogy milyen kapcsolat van a két halmaz között.

Megoldás: Az A halmaz elemeinek meghatározásához a 210 természetes szám tényezőit kell megkeresnünk:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Ezután az A halmaz íródik:

A = {2, 3, 5, 7}

Most azt a B halmazt vesszük figyelembe, amely a 9-nél kisebb prímszám. 1 nem prím, mert nem felel meg a prime meghatározásának: "egy szám akkor prím, ha csak akkor, ha pontosan két osztója van, 1 és maga a szám". A 2 egyenlő és ugyanakkor elsődleges, mert megfelel egy prime meghatározásának, a többi 9-nél kisebb prímszám pedig 3, 5 és 7. Tehát a B halmaz értéke:

B = {2, 3, 5, 7}

Ezért a két halmaz egyenlő: A = B

3. gyakorlat

Határozza meg azt a halmazt, amelynek x elemei különböznek x-től.

Megoldás: C = {x / x ≠ x}

Mivel minden elem, szám vagy objektum egyenlő önmagával, a C halmaz csak az üres halmaz lehet:

C = Ø

4. gyakorlat

Legyen N természetes számok halmaza és Z legyen egész számok halmaza. Határozzuk meg N ⋂ Z és N ∪ Z értékét.

Megoldás:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z, mert N ⊂ Z.

Irodalom

1. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratikus egyenletek: Hogyan lehet megoldani a kvadratikus egyenletet? Marilù Garo.
2. Haeussler, EF és Paul, RS (2003). Matematika a menedzsment és a közgazdaságtan számára. Pearson oktatás.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 szeptember. Küszöb.
4. Preciado, CT (2005). 3. matematika tanfolyam Szerkesztői Progreso.
5. Matematika 10 (2018). Msgstr "Példák a véges készletekre". Helyreállítva: matematicas10.net
6. Wikipedia. Halmazelmélet. Helyreállítva: es.wikipedia.com