EUCLID-TÉTEL: BIZONYÍTÁS, ALKALMAZÁS ÉS GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2025

Az Euklidész-tétel megmutatja egy háromszög tulajdonságait egy vonal rajzolásához, amely azt két új háromszögre osztja, amelyek hasonlóak, és viszont hasonlóak az eredeti háromszöghez; akkor fennáll az arányosság viszonya.

Euklidész az ókor egyik legnagyobb matematikusa és geometrikusa volt, aki számos bizonyítékot végzett a fontos tételekkel kapcsolatban. Az egyik legfontosabb az, amely a nevét viseli, amelynek széles körű alkalmazása volt érvényben.

Ez az eset áll fenn, mert ezen tétel révén egyszerűen megmagyarázza a jobb oldali háromszög geometriai összefüggéseit, ahol a háromszög lábai összekapcsolódnak a hipotenuszon való vetületükkel.

Képletek és demonstráció

Euclid tétel azt sugallja, hogy minden derékszögű háromszögben, amikor egy vonal húzódik - ami azt a magasságot jelöli, amely megfelel a derékszög csúcsának a hipotenuszhoz viszonyítva -, két jobb háromszög alakul ki az eredetiből.

Ezek a háromszögek hasonlóak lesznek egymáshoz, és hasonlóak lesznek az eredeti háromszöghöz is, ami azt jelenti, hogy hasonló oldalaik arányosak egymással:

A három háromszög szögei megegyeznek; vagyis amikor 180 ° -kal elforgatják csúcsuk körül, az egyik szög egybeesik a másikkal. Ez azt jelenti, hogy mind azonosak lesznek.

Ily módon a három háromszög közötti hasonlóságot szögek egyenlősége igazolhatja. A háromszögek hasonlósága alapján Euklidész két tétel alapján határozza meg ezek arányát:

- Magasság tétel.

- A lábak tétele.

Ez a tétel széles körben alkalmazható. Az ókorban magasságok vagy távolságok kiszámítására használták, ami nagy előrelépést jelentett a trigonometria terén.

Jelenleg számos olyan területen alkalmazzák, amelyek matematikán alapulnak, mint például a mérnöki munka, a fizika, a kémia és a csillagászat, számos más területen.

Magasság tétel

Ebben a tételben megállapítást nyer, hogy bármelyik derékszögű háromszögben a derékszögből a hipoténuszhoz képest húzott magasság a geometriai arányos átlag (a magasság négyzete) a lábak kiemelkedése között, amelyet a hipotenuszon meghatároz.

Vagyis a magasság négyzete megegyezik a kilépő lábak szorzásával, amelyek a hipoténust képezik:

h _c ² = m _* n

Demonstráció

Ha a C csúcson egyenes ABC háromszöget adunk, akkor a magasság ábrázolásával két hasonló háromszög jön létre, az ADC és a BCD; ezért a megfelelő oldaluk arányos:

Olyan módon, hogy a CD szegmensnek megfelelő h _c magasság megegyezzen az AB = c hipotenuussal, így van:

Ez viszont megfelel:

A hipotenusz (h _c) megoldására, az egyenlőség két tagjának szorzásához:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Így a hipotenusz értékét a következő adja meg:

Lábtétel

Ebben a tételben megállapítást nyer, hogy minden derékszögű háromszögben az egyes lábak mértéke a hipotenusz mérete (teljes) és a rajta lévő vetületek közötti geometriai arányos átlag (az egyes lábak négyzete) lesz:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstráció

Adva egy ABC háromszöget, amely közvetlenül a C csúcson van, úgy, hogy hipotenusza c, ha magasságot (h) ábrázolunk, meghatározzuk az a és b lábak kivetüléseit, amelyek az m és n szegmensek, és amelyek fekszenek a hypotenuse.

Így az ABC derékszögű háromszögre húzott magasság két hasonló háromszöget hoz létre, az ADC-t és a BCD-t, így a megfelelő oldalak arányosak:

DB = n, amely a láb CB vetülete a hipotenuszra.

AD = m, amely a láb AC vetülete a hipotenuszon.

Ezután a c hipotenuzust a kinyúló lábak összege határozza meg:

c = m + n

Az ADC és a BCD háromszögek hasonlósága miatt:

A fentiek megegyeznek a következőkkel:

Megoldva az „a” lábot az egyenlőség két tagjának szorzásához:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Így az "a" láb értékét a következő adja meg:

Hasonlóképpen, az ACB és ADC háromszögek hasonlósága miatt:

A fentiek megegyeznek:

Megoldva a „b” lábot az egyenlőség két tagjának szorzásához, az alábbiak lehetnek:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Így a "b" láb értékét a következő adja meg:

Az Euklidész-tételek viszonya

A tételek a magasságra és a lábakra vonatkoznak egymással, mert mindkettő mérését a jobb oldali háromszög hipotenusza tekintetében kell elvégezni.

Az Euklidész-tételek összefüggésével a magasság értéke is megtalálható; ez lehetséges az m és n értékének a lábtételből történő megoldásával, és ezeket a magassági tételben helyettesítik. Ilyen módon teljesül, hogy a magasság megegyezik a lábak szorzásával, elosztva a hipotenuussal:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

A magassági tételben m és n helyettesítjük:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ²) ÷ c

Megoldott gyakorlatok

1. példa

Adva az ABC háromszöget, közvetlenül az A-nél, határozza meg az AC és AD mértékét, ha AB = 30 cm és BD = 18 cm

Megoldás

Ebben az esetben megmérjük az egyik kivetített láb (BD) és az eredeti háromszög egyikének (AB) egyik lábát. Ilyen módon a lábtétel alkalmazható a láb BC értékének meghatározására.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

A láb CD értéke megtalálható, tudva, hogy BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50-18 = 32 cm

Most meghatározható a láb AC értéke, újra alkalmazva a láb tételét:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

A magasság (AD) értékének meghatározására a magassági tételt alkalmazzuk, mivel a vetített lábak CD és BD értékei ismertek:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

2. példa

Határozzuk meg az MNL háromszög magasságát (h), jobbra mutatva N-ben, a szegmensek mérése ismeretében:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Megoldás

Megvan az egyik láb mérete a hipotenuszon (PM), és az eredeti háromszög lábainak is. Ilyen módon a lábtétel alkalmazható a másik kivetített láb (LN) értékének meghatározására:

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Mivel a lábak és a hipotenusz értéke már ismert, a magasság és a lábak tételének összefüggésével a magasság értéke meghatározható:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ²) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Irodalom

1. Braun, E. (2011). Káosz, fraktálok és furcsa dolgok. Gazdasági Kulturális Alap.
2. Cabrera, VM (1974). Modern matematika, 3. kötet.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). Harmadik év matematika. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (ezerkilencszázkilencvenöt). Spanyol enciklopédia: Makropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, RP (1886). Euklidész geometria elemei.
6. Guardeño, AJ (2000). A matematika öröksége: Euclidtől Newtonig, a zsenik könyveikön keresztül. Sevilla Egyetem.