A MILETUS MESÉ TÉTEL: ELSŐ, MÁSODIK ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

A Miletus Thales első és második tétele háromszögek meghatározásán alapszik, hasonlóakból (első tétel) vagy körökből (második tétel). Különböző területeken nagyon hasznosak voltak. Például az első tétel nagyon hasznos volt nagy struktúrák mérésére, amikor nem voltak kifinomult mérőműszerek.

Thales of Miletus görög matematikus volt, aki nagyban hozzájárult a geometria fejlesztéséhez, amelyek közül kiemelkedik ez a két tétel (egyes szövegekben Thales néven is írják) és azok hasznos alkalmazásai. Ezeket az eredményeket a történelem során felhasználták és lehetővé tették a geometriai problémák sokféle megoldását.

Miletus Thales

Thales első tétele

Thales első tétele nagyon hasznos eszköz, amely többek között lehetővé teszi egy korábban ismert háromszög hasonló háromszög felépítését. Innentől a tétel különféle verziói származnak, amelyek több kontextusban is alkalmazhatók.

Mielőtt kijelented, emlékeztessünk néhány képet a háromszögek hasonlóságáról. Alapvetõen két háromszög hasonló, ha szögeik kongrugensek (ugyanazzal a mérettel rendelkeznek). Ennek eredménye az a tény, hogy ha két háromszög hasonló, akkor a megfelelő (vagy homológ) oldaluk arányos.

Thales első tétele azt állítja, hogy ha egy vonalat az adott háromszög egyik oldalával párhuzamosan húzunk, akkor a kapott új háromszög hasonló lesz a kezdő háromszöghöz.

A kialakított szögek között kapcsolatot is kapunk, amint az a következő ábrán látható.

Alkalmazás

Számos alkalmazás közül kiemelkedik az egyik különös érdeklődés, és kapcsolódik a nagyszerkezetek mérésének egyik módjához az ókorban, amelyben Thales élt és amelyben nem álltak rendelkezésre modern mérőkészülékek. most léteznek.

Azt mondják, hogy így sikerült Thales-nek megmérnie Egyiptom legmagasabb piramisát, a Cheopst. Ennek érdekében Thales feltételezte, hogy a nap sugarai visszatükröződése párhuzamos vonalban érinti a talajt. Ezen feltevés alapján függőlegesen a földbe szegezte a botot vagy a nádot.

Ezután a két kapott háromszög hasonlóságát használja, az egyiket a piramis árnyékának hossza (amely könnyen kiszámítható) és a piramis magassága (ismeretlen) alkotja, a másik pedig az árnyék hossza képezi. és a rúd magassága (amely szintén könnyen kiszámítható).

A hosszok közötti arányosság felhasználásával meg lehet határozni és megismerhető a piramis magassága.

Bár ez a mérési módszer jelentős közelítési hibát eredményezhet a magasság pontossága szempontjából, és a napsugarak párhuzamosságától függ (ami viszont egy pontos időtől függ), el kell ismerni, hogy ez egy nagyon ötletes ötlet és hogy jó mérési alternatívát adott az időre.

Példák

Keresse meg x értékét mindegyik esetben:

Thales második tétele

Thales második tétele határozza meg egy derékszögű háromszöget, amelyet körbe írnak az azonos pontok minden pontján.

A kerületre beírt háromszög olyan háromszög, amelynek csúcsai a kerületen vannak, így maradva benne.

Pontosabban, Thales második tétele a következőt mondja: adott egy O kerület kerületére és az AC átmérőre, a kerület minden B pontja (A és C kivételével) egy derékszögű ABC derékszögű háromszöget határoz meg

Indokolásként vegye figyelembe, hogy mind az OA, mind az OB, mind az OC megfelel a kerület sugárjának; ezért méréseik azonosak. Ebből következik, hogy az OAB és az OCB háromszögek egyenlő szárúak, ahol

Ismert, hogy egy háromszög szögeinek összege 180º. Az ABC háromszög használatával:

2b + 2a = 180º.

Ezzel egyenértékűen van, hogy b + a = 90º és b + a =

Vegye figyelembe, hogy Thales második tételének megadott derékszögű háromszög pontosan az, amelynek hipoténusza megegyezik a kerület átmérőjével. Ezért azt a félkör határozza meg, amely a háromszög pontjait tartalmazza; ebben az esetben a felső félkör.

Megfigyeljük azt is, hogy a Thales második tételének eredményeként kapott derékszögű háromszögben a hipotenusz OA és OC (sugara) két egyenlő részre oszlik. Ez viszont ez az érték megegyezik az OB szegmenssel (egyúttal a sugárral), amely megegyezik az ABC háromszög mediánjával B-vel.

Más szavakkal, az ABC derékszögű háromszög mediánjának hosszát, amely megfelel a B csúcsnak, a hypotenuse fele határozza meg teljesen. Emlékezzünk arra, hogy a háromszög mediánja a szegmens a csúcsok egyikétől az ellenkező oldal középpontjáig; ebben az esetben a BO szegmens.

Meghatározott kerület

Egy másik módja Thales második tételének a derékszögű háromszögre körülhatárolt kerületén keresztüli áttekintésére.

Általában a sokszöget körülhatárolt kerület abból a kerületből áll, amely minden csúcsán áthalad, amikor csak lehetséges rajzolni.

Thales második tételének felhasználásával, egy derékszögű háromszöget adva, mindig felépíthetünk egy körülölelt kerületet, amelynek sugara megegyezik a hipotenusz felének és egy kerületének (a kerület középpontjának), megegyezik a hipotenusz középpontjával.

Alkalmazás

Thales második tételének, és talán a legszélesebb körben alkalmazott tételének nagyon fontos alkalmazása az, hogy egy adott kör érintõ vonalait keressük egy rajta kívül lévõ P ponton (ismert).

Vegye figyelembe, hogy adott kör (az alábbi ábrán kékkel rajzolt) és a külső P pont mellett két vonal érintője van a P-n áthaladó körnek. Legyen T és T 'érintési pontok, r kör sugara, és Vagy a központ.

Ismeretes, hogy a szegmens, amely egy kör közepétől egy azonos érzékenységi pontjáig megy, merőleges erre az érintő vonalra. Tehát az OTP szög megfelelő.

Amit Thales első tételében és annak különféle verzióiban korábban láttuk, láthatjuk, hogy lehetséges az OTP háromszög egy másik körben (vörös) felírni.

Hasonlóképpen nyerjük, hogy az OT'P háromszög ugyanabban az előző kerületben írható be.

Thales második tételével azt is megkapjuk, hogy ennek az új kerületnek az átmérője pontosan az OTP háromszög hipotenusza (amely megegyezik az OT'P háromszög hipotenuszával), és a középpont ennek a hipotenusznak a középpontja.

Az új kerület középpontjának kiszámításához elegendő a kezdeti kerület (amit már ismertünk) középpontja - mondjuk M - és a P pont (amelyet szintén tudunk) középpontjának kiszámítása. Akkor a sugár az M pont és a P pont közötti távolság.

A vörös kör sugárjával és középpontjával megtalálhatjuk annak derékszögű egyenletét, amelyet emlékezetünkben (xh) ² + (yk) ² = c ^{2 ad}, ahol c a sugár és a pont (h, k) a kerület középpontja.

Most, hogy ismeri mindkét kör egyenleteit, keresztezhetjük őket az általuk létrehozott egyenletrendszer megoldásával, és így megkaphatjuk a T és T 'érintési pontokat. Végül, ahhoz, hogy megismerjük a kívánt érintő vonalakat, elegendő megtalálni a T és P, valamint a T 'és P közötti egyenesek egyenletét.

Példa

Vegye figyelembe az AC átmérő, az O középpont és az 1 cm sugár kerületét. Legyen B olyan pont a kerületen, hogy AB = AC. Mennyire magas az AB?

Megoldás

Thales második tétel szerint azt találjuk, hogy az ABC háromszög jobbra van állítva, és a hipotenusz megfelel az átmérőnek, amely ebben az esetben 2 cm (sugara 1 cm). Aztán a Pitagóra tétel szerint:

Irodalom

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometria és trigonometria. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A. és Hirsch, L. (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
3. Gutiérrez Á. NAK NEK. (2004). A matematika módszertana és alkalmazásai az ESO Oktatási Minisztériumában.
4. IGER. (2014). Matematika második félév Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematika 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometria és analitikus geometria. Pearson oktatás.
7. Pérez, MA (2009). A matematika története: kihívások és hódítások a karakterükön keresztül. Szerkesztői látomás Libros.
8. Viloria, N., és Leal, J. (2005). Sík analitikus geometria. Szerkesztő Venezolana CA