A Green ' tétel egy olyan számítási módszer, amelyet a vonalintegrációk kettős integrálok vagy a felület összekapcsolására használnak. Az érintett funkciókat vektormezőkként kell megjelölni, és meg kell határozni a C útvonalon.
Például egy vonal-integrális kifejezést nagyon nehéz lehet megoldani; azonban a Green tétel alkalmazásával a kettős integrálok meglehetősen alapvetővé válnak. Mindig fontos tiszteletben tartani a pálya pozitív irányát, ez az óramutató járásával ellenkező irányba mutat.
A Green-tétel Stokes-tétel speciális esete, ahol a vektorfüggvény projekcióját xy-síkban hajtják végre.
Meghatározás
Green-tétel kifejezése a következő:
Az első kifejezés az „F” és az „r” vektorfüggvény közötti skaláris szorzat szorzatának „C” útvonalon definiált vonalintegrációját mutatja.
C: Ez a meghatározott útvonal, amelyen a vektorfüggvény kivetül, mindaddig, amíg az adott síkra meg van határozva.
F: Vektorfüggvény, ahol minden alkotóelemét egy függvény határozza meg (f, g).
r: Ez az R régióval érintõ vektor, amelyen az integrál definiálva van. Ebben az esetben ennek a vektornak a differenciájával működünk.
A második kifejezésben azt látjuk, hogy kifejlesztett Green tétel, ahol a g és f parciális deriváltjainak különbségének R régiójában definiált kettős integrál megfigyelhető x és y vonatkozásában. Területi különbséggel, amely nem más, mint a kétdimenziós differenciálmű szorzata (dx.dy).
Ez a tétel tökéletesen alkalmazható a tér és a felület integráljaira.
Demonstráció
Green tétel tételének egyszerű bizonyítására ez a feladat két részre oszlik. Először azt feltételezzük, hogy az F vektorfunkció csak az i verzióban rendelkezik meghatározással . Míg a j verziónak megfelelő "g" függvény nullával egyenlő.
Szerző
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Először a C út mentén dolgozzuk ki a vonalintegráltot, amelynek az útját két részre osztottuk, amelyek először a-b-ből, majd b-ből a-ba mennek.
A számítás alapvető tételének meghatározását egy határozott integrálra alkalmazzuk.
A kifejezést egyetlen integrálássá alakítják át, a negatívot közös tényezővé teszik, és a tényezők sorrendjét megfordítják.
Ha ezt a kifejezést részletesen megfigyeljük, nyilvánvalóvá válik, hogy az primitív függvénykritériumok alkalmazásakor az f-ből származó kifejezés integráljának jelenléte vagyunk az y vonatkozásában. Paraméterekben értékelték
Most elegendő feltételezni, hogy az F vektorfunkciót csak g (x, y) j értékére definiáljuk. Ha az előzőhöz hasonló módon működik, az alábbiakat kapjuk:
A befejezéshez a 2 bizonyítékot vesszük és összekapcsoljuk abban az esetben, ha a vektorfüggvény mindkét versore értékét veszi fel. Ily módon megmutatjuk, hogy a vonalintegráció, miután meghatározásra került és egydimenziós pályának tekinthető, teljes mértékben kifejleszthető a síkhoz és a térhez.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Ily módon meggyőződik Green tétele.
Alkalmazások
Green-tétel alkalmazása széles körben alkalmazható a fizika és a matematika területén. Ezek kiterjednek minden olyan alkalmazásra vagy felhasználásra, amelyet a vonalintegrációnak meg lehet adni.
Az F erő által a C úton elvégzett mechanikai munkát egy vonalintegrációval lehet kifejleszteni, amelyet egy terület kettős integrálisává fejeznek ki Green tétele szerint.
A külső erőknek kitett sok test tehetetlenségi pillanatai a különböző alkalmazási pontokon reagálnak a vonalintegrációkra, amelyeket Green-tétel segítségével lehet kifejleszteni.
Ennek több funkciója van a használt anyagok ellenállóképességének vizsgálatában. Ahol a külső értékek számszerűsíthetők és figyelembe vehetők a különféle elemek kidolgozása előtt.
Általánosságban a Green tétel megkönnyíti azoknak a területeknek a megértését és meghatározását, ahol a vektorfunkciókat egy út mentén lévő régiókhoz viszonyítva határozzák meg.
Történelem
1828-ban publikálta az elektromosság és a mágnesesség elméleteinek matematikai elemzése című munkában, amelyet George Green brit matematikus írt. Ebben megvizsgálják a kalkulus fizikában való alkalmazásának meglehetősen döntő szakaszát, például a potenciális függvények fogalmát, Green funkcióit és az öncímű tétel alkalmazását.
George Green 40 éves korában formalizálta hallgató karrierjét, ez idáig teljesen önálló matematikus volt. A Cambridge-i Egyetemen folytatott tanulmányait követően folytatta kutatását, hozzájárulva az akusztikához, az optikához és a hidrodinamikához, amelyek ma is érvényesek.
Kapcsolat más tételekkel
Green tétele különleges eset, és két további nagyon fontos tételből merül fel a kalkulus területén. Ezek a Kelvin-Stokes tétel és a divergencia vagy Gauss Ostrogradski tétel.
A két tétel bármelyikétől kezdve megérkezhet Green tételéhez. Bizonyos meghatározásokra és javaslatokra van szükség az ilyen bizonyítékok kidolgozásához.
Feladatok
- A következő gyakorlat bemutatja, hogyan lehet egy vonal-integrált kettős integrálsá alakítani az R régióhoz képest.
Az eredeti kifejezés a következő:
Honnan veszik a megfelelő af és g függvényeket
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Nem lehet egyetlen módon meghatározni az integráció határait, amikor Green tételt alkalmazunk. De vannak olyan módok, ahol az integrálok meghatározása után egyszerűbbek lehetnek. Tehát figyelmet érdemel az integrációs korlátok optimalizálása.
Ahol az integrálok megoldásakor megkapjuk:
Ez az érték köbméterben felel meg a vektorfüggvény alatti régiónak és a C által meghatározott háromszög tartománynak.
A vonal-integrál esetében a Green-módszer végrehajtása nélkül szükség lett volna a régió minden szakaszának függvényeinek paraméterezésére. Vagyis hajtson végre 3 paraméteres integrált a felbontáshoz. Ez elegendő bizonyíték arra a hatékonyságra, amelyet Robert Green hozott tételével a számításhoz.
Irodalom
- Bevezetés a folyamatos mechanikába. W Lai Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, július 23. 2009
- Többváltozós kalkulus. James Stewart. Cengage Learning, március 22 2011
- Green-tétel és a hozzá kapcsolódó ötletek informális története. James Joseph Cross. A Melbourne-i Egyetem Matematikai Tanszéke, 1975
- Hővezetés a Zöldek funkciókkal. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor és Francis, július 16 2010
- Green-tétel alkalmazása a lineáris integrálok extrémálására. Védelmi Műszaki Információs Központ, 1961