A Bolzano tétel azt állítja, hogy ha egy függvény folytonos egy zárt intervallum minden pontján, és meggyőződve arról, hogy az "a" és "b" képeken (a függvény alatt) ellentétes jelek vannak, akkor legalább egy pont lesz " c "a nyitott (a, b) intervallumban, oly módon, hogy a" c "-ben értékelt függvény 0-nak felel meg.
Ezt a tételt a filozófus, teológus és matematikus, Bernard Bolzano 1850-ben elmondta. Ez a jelen Cseh Köztársaságban született tudós volt a történelem egyik első matematikusa, aki hivatalos bizonyítékot nyújtott a folytonos funkciók tulajdonságaira.
Magyarázat
Bolzano tétele köztes értékek tételként is ismert, amely segít meghatározni egy valódi változó bizonyos valós függvényeinek konkrét értékeit, különösen nullákat.
Egy adott függvényben az f (x) folytatódik, vagyis az f (a) és f (b) egy görbével vannak összekötve, ahol f (a) az x tengely alatt van (negatív), és f (b) a az x tengely fölött (ez pozitív), vagy fordítva, az x tengelyen egy levágási pont lesz, amely egy "c" közbenső értéket képvisel, amely az "a" és "b" között van, és az f (c) értékét értéke 0 lesz.
A Bolzano-tétel grafikus elemzésekor láthatjuk, hogy minden olyan folytonos f függvénynél, amely intervallumban van definiálva, ahol f (a) * f (b) kisebb, mint 0, ennek a függvénynek legalább egy „c” gyökere lesz. (a, b) intervallum.
Ez a tétel nem határozza meg a pontok számát abban a nyitott intervallumban, csak azt állítja, hogy legalább 1 pont van.
Demonstráció
Bolzano tételének bizonyításához az általános jelleg elvesztése nélkül feltételezzük, hogy f (a) <0 és f (b)> 0; így az "a" és "b" között sok érték lehet, amelyekre f (x) = 0, de csak egyet kell megmutatni.
Azért kezdjük el, hogy f-et kiértékeljük a középpontban (a + b) / 2. Ha f ((a + b) / 2) = 0, akkor a bizonyítás itt véget ér; egyébként f ((a + b) / 2) pozitív vagy negatív.
Az intervallum egyik felét úgy választják meg, hogy a szélsőségesen értékelt függvény jelei eltérőek. Ez az új intervallum lesz.
Most, ha f értéke a középpontjában nem nulla, akkor ugyanazt a műveletet hajtjuk végre, mint korábban; vagyis ezen intervallum felét úgy választják meg, hogy teljesítse a jelek feltételét. Legyen ez az új intervallum.
Ha folytatja ezt a folyamatot, akkor két {an} és {bn} szekvenciája lesz:
{an} növekszik, és {bn} csökken:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Ha kiszámítja az egyes intervallumok hosszát, akkor a következőket kell tennie:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Ezért az a határ, amikor n közeledik a (bn-an) végtelenségéhez, 0-nak felel meg.
Ha azt használjuk, hogy a {an} növekszik és korlátos, és {bn} csökken és korlátos, akkor van olyan "c" érték, hogy:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤….≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Az an határa "c" és a {bn} határa szintén "c". Ezért, ha δ> 0, akkor mindig van egy "n", tehát az intervallum az intervallumban van (c-δ, c + δ).
Most meg kell mutatni, hogy f (c) = 0.
Ha f (c)> 0, akkor, mivel f folyamatos, létezik egy ε> 0 olyan, hogy f pozitív legyen a teljes intervallumon (c - ε, c + ε). Mint fentebb említettük, van olyan "n" érték, amelyben az f megváltoztatja a bejelentkezést, és ráadásul a (c - ε, c + ε) belül van, ami ellentmondás.
Ha f (c) <0, akkor mivel f folyamatos, akkor létezik olyan ε> 0, amelyben f negatív az egész intervallumban (c - ε, c + ε); de létezik olyan "n" érték, amelynél az f megváltoztatja a bejelentkezést. Kiderül, hogy benne van (c - ε, c + ε) belül, ami szintén ellentmondás.
Ezért f (c) = 0, és ezt szeretnénk bebizonyítani.
Mire való?
Grafikus értelmezése alapján Bolzano tételét arra használják, hogy egy folyamatos függvényben gyökereket vagy nullákat keressenek felezés (közelítés) révén, amely egy növekményes keresési módszer, amely mindig osztja az intervallumokat 2-del.
Ezután egy intervallumot vesznek, vagy ahol a jelváltozás megtörténik, és a folyamatot addig ismételjük, amíg az intervallum nem egyre kisebb, hogy elérjük a kívánt értéket; vagyis arra az értékre, amelyet a függvény 0-ra tesz.
Összefoglalva: Bolzano-tétel alkalmazásához és a gyökerek megtalálásához, a függvény nullájának korlátozásához vagy az egyenlet megoldásának megadásához a következő lépéseket kell végrehajtani:
- Ellenőrizzük, hogy f folytonos függvény az intervallumon.
- Ha az intervallumot nem adják meg, akkor meg kell találni, ahol a funkció folyamatos.
- Ellenőrizzük, hogy az intervallum szélsősége ellentétes jeleket ad-e, ha f-ben értékelik.
- Ha nem állnak rendelkezésre ellentétes jelek, akkor az intervallumot a középpont segítségével két alsó intervallumra kell osztani.
- Értékelje meg a középső funkciót és ellenőrizze, hogy a Bolzano-hipotézis teljesül-e, ahol f (a) * f (b) <0.
- A talált érték jelétől (pozitív vagy negatív) függően a folyamatot új részintervallummal megismételjük, amíg a fent említett hipotézis teljesül.
Megoldott gyakorlatok
1. Feladat
Határozzuk meg, hogy az f (x) = x 2 - 2 függvénynek van-e legalább egy valós megoldása az intervallumban.
Megoldás
Az f (x) = x 2 - 2 függvényt kapjuk. Mivel polinom, ez azt jelenti, hogy bármilyen intervallumban folytonos.
Felkérjük annak meghatározását, hogy van-e valódi megoldása az intervallumban, ezért most csak az intervallum szélsőségeit kell kicserélni arra, hogy megismerjék ezek jeleit, és tudják, teljesítik-e az eltérés feltételét:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (negatív)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (pozitív)
Ezért f (1) ≠ f (2) jel.
Ez biztosítja, hogy legyen legalább egy olyan "c" pont, amely az intervallumhoz tartozik, amelyben f (c) = 0.
Ebben az esetben a "c" értéke könnyen kiszámítható a következők szerint:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Így az √2 ≈ 1,4 az intervallumhoz tartozik, és teljesíti, hogy f (√2) = 0.
2. gyakorlat
Mutassuk meg, hogy az x 5 + x + 1 = 0 egyenletnek legalább egy valós megoldása van.
Megoldás
Először vegye figyelembe, hogy f (x) = x 5 + x + 1 egy polinom függvény, ami azt jelenti, hogy folyamatos minden valós számon.
Ebben az esetben nincs megadva intervallum, ezért az értékeket intuitív módon, lehetőleg 0-hoz közeli kell választani, hogy értékeljük a funkciót és megtaláljuk az előjel változásait:
Ha az intervallumot használja, akkor:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Mivel nincs jelváltozás, a folyamatot egy másik intervallummal megismételjük.
Ha az intervallumot használja, akkor:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
Ebben az intervallumban megváltozik a jel: f (-1) ≠ f (0) jele, ami azt jelenti, hogy az f (x) = x 5 + x + 1 függvénynek legalább egy valós «c» gyöke van. intervallumban úgy, hogy f (c) = 0. Más szavakkal igaz, hogy az x 5 + x + 1 = 0 valós megoldással rendelkezik az intervallumban.
Irodalom
- Bronshtein I, SK (1988). Matematikai kézikönyv mérnökök és hallgatók számára.. Szerkesztői MIR.
- George, A. (1994). Matematika és elme. Oxford University Press.
- V. Ilín, PE (1991). Matematikai elemzés. Három kötetben..
- Gómez Jesús, FG (2003). Középfokú oktatók. II. Kötet ŐRÜLT.
- Mateos, ML (2013). Az elemzés alapvető tulajdonságai R. Editores-ben, december 20.
- Piskunov, N. (1980). Diferenciális és integrált kalkulus..
- Sydsaeter K, HP (2005). Matematika a gazdasági elemzéshez. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (második). Folyamatos szimmetria: Euclidtől Kleinig. American Mathematical Soc.