CHEBYSHOV TÉTEL: MI EZ, ALKALMAZÁSOK ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

A Chebyshev tétel (Chebyshev vagy egyenlőtlenség) a valószínűség elmélet egyik legfontosabb klasszikus eredménye. Ez lehetővé teszi az X véletlen változóban leírt esemény valószínűségének becslését, ha olyan kötést biztosít nekünk, amely nem a véletlen változó eloszlásától, hanem az X varianciájától függ.

A tétel elnevezése az orosz matematikus, Pafnuty Chebyshov (más néven Chebychev vagy Tchebycheff), aki annak ellenére, hogy nem az első állította a tételt, 1867-ben volt az első, aki bizonyítékot adott.

Ezt az egyenlőtlenséget, vagy azokat, amelyeket jellemzőik miatt Chebyshov egyenlőtlenségnek hívnak, elsősorban a valószínűségek közelítésére használják a magasság kiszámításával.

Miből áll?

A valószínűségi elmélet tanulmányozása során előfordul, hogy ha ismert egy X véletlen változó eloszlási függvénye, akkor várható értéke - vagy matematikai elvárása E (X) - és Var (X) variációja kiszámolható, amennyiben ilyen összegek léteznek. Az ellenkezője azonban nem feltétlenül igaz.

Vagyis, az E (X) és a Var (X) ismeretében nem feltétlenül lehet megszerezni X eloszlási függvényét, ezért olyan mennyiségeket, mint például P (-X-> k) k> 0-ra nagyon nehéz megszerezni. De Chebyshov egyenlőtlenségének köszönhetően meg lehet becsülni a véletlen változó valószínűségét.

Csebyshov tétel azt mondja nekünk, hogy ha van egy véletlen X változó az S mintaterületen p p valószínűségi függvénnyel, és ha k> 0, akkor:

Alkalmazások és példák

Csebyshov tétel sok alkalmazás közül az alábbiakat említhetjük:

A valószínűségek korlátozása

Ez a leggyakoribb alkalmazás, és P (-XE (X) -≥k) felső határának megadására használják, ahol k> 0, csak az X véletlen változó varianciájával és elvárásával, a valószínűségi függvény ismerete nélkül..

1. példa

Tegyük fel, hogy egy vállalatban egy héten gyártott termékek száma véletlenszerű változó, átlagosan 50.

Ha egy gyártási hét szórása ismert, hogy 25, akkor mit mondhatunk annak a valószínűségéről, hogy ezen a héten a termelés több mint 10-rel különbözik az átlagtól?

Megoldás

Chebyshov egyenlőtlenségét alkalmazva:

Ebből megállapíthatjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy a gyártási héten a cikkek száma 10-nél nagyobb mértékben meghaladja az átlagot, legfeljebb 1/4.

A határérték-tételek bizonyítása

Csebyshov egyenlőtlensége fontos szerepet játszik a legfontosabb határ tételek bizonyításában. Példaként a következőket találjuk:

Nagyszámú gyenge törvény

Ez a törvény kimondja, hogy adott X1, X2,…, Xn,… sorozat független véletlen változókon ugyanazzal az átlagos eloszlású E (Xi) = μ és Var (X) = σ ² varianciával, valamint az ismert átlagminta:

Akkor k> 0 esetén:

Vagy egyenértékű módon:

Demonstráció

Először észrevegyük a következőket:

Mivel X1, X2,…, Xn függetlenek, ebből következik:

Ezért lehetséges a következő megállapítása:

Ezután, Chebyshov tétel felhasználásával:

Végül, a tétel abból a tényből származik, hogy a jobb oldali határ nulla, amikor n közeledik a végtelenhez.

Meg kell jegyezni, hogy ezt a tesztet csak arra az esetre végezték el, amelyben fennáll az Xi variancia; vagyis nem tér el egymástól. Megfigyeljük tehát, hogy a tétel mindig igaz, ha E (Xi) létezik.

Chebyshov korlátozza a tételt

Ha X1, X2,…, Xn,… egy olyan független véletlen változók sorozata, amelyben létezik bizonyos C <végtelenség, úgy, hogy Var (Xn) ≤ C minden természetes n esetén, akkor minden k> 0 esetén:

Demonstráció

Mivel a variancia sorrendje egyenletesen korlátozott, akkor a Var (Sn) ≤ C / n, minden természetes n esetén. De tudjuk, hogy:

Ha a n a végtelenség felé hajlamos, a következő eredmények érhetők el:

Mivel a valószínűség nem haladhatja meg az 1-t, a kívánt eredményt kapjuk. Ennek a tételnek a következményeként megemlíthetjük Bernoulli esetét.

Ha egy kísérletet n-szer egymástól függetlenül megismételnek két lehetséges kimenetelgel (kudarc és siker), ahol p az egyes kísérletekben a siker valószínűsége és X a véletlenszerű változó, amely a kapott sikerek számát képviseli, akkor minden k> 0 neked kell:

Minta nagysága

A variancia szempontjából Chebyshov egyenlőtlensége lehetővé teszi, hogy olyan n mintát találjunk, amely elegendő annak garantálására, hogy -Sn-μ -> = k előfordulásának valószínűsége a kívánt legyen, ami lehetővé teszi számunkra a közelítést. az átlaghoz.

Pontosabban, hagyja, hogy X1, X2,… Xn legyen az n méretű független véletlen változók mintája, és tegyük fel, hogy E (Xi) = μ és szórása σ ². Aztán, Chebyshov egyenlőtlensége miatt:

Példa

Tegyük fel, hogy X1, X2,… Xn olyan független véletlen változók mintája, amelyek Bernoulli-eloszlással rendelkeznek, úgy, hogy p = 0,5 valószínűséggel veszik az 1. értéket.

Milyen méretűnek kell lennie a mintában annak garantálására, hogy az a valószínűség, hogy az Sn számtani átlaga és annak várható értéke (ha meghaladja több mint 0,1) közötti különbség kisebb vagy egyenlő, mint 0,01?

Megoldás

Van, hogy E (X) = μ = p = 0,5, és hogy Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Csebyshov egyenlőtlensége alapján bármely k> 0 esetén:

Most, ha k = 0,1 és δ = 0,01, akkor:

Ilyen módon arra a következtetésre juthatunk, hogy legalább 2500 mintaméretet kell biztosítani annak garantálására, hogy az -Sn - 0,5 -> = 0,1 esemény valószínűsége kisebb, mint 0,01.

Chebyshov típusú egyenlőtlenségek

Számos egyenlőtlenség kapcsolódik Chebyshov egyenlőtlenségéhez. Az egyik legismertebb a Markov-egyenlőtlenség:

Ebben a kifejezésben X egy nem negatív véletlen változó k, r> 0-val.

A Markov-egyenlőtlenség különböző formákat ölthet. Legyen például Y egy nem negatív véletlen változó (tehát P (Y> = 0) = 1), és tegyük fel, hogy E (Y) = μ létezik. Tegyük fel továbbá, hogy az (E (Y)) ^r = μ _r létezik valamilyen egész szám, r> 1. Így:

Egy másik egyenlőtlenség a Gauss-féle, amely azt mondja nekünk, hogy adott egy unimodális X véletlen változót, amelynek üzemmódja nulla, akkor k> 0 esetén,

Irodalom

1. Kai Lai Chung. Elemi valószínűségi elmélet sztochasztikus folyamatokkal. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen: Diszkrét matematika és alkalmazásai. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Valószínűség és statisztikai alkalmazások. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 A diszkrét matematika megoldott problémái. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Elméleti és valószínűségi problémák. McGraw-Hill.