LÉTEZŐ ÉS EGYEDISÉG TÉTEL: BIZONYÍTÉK, PÉLDÁK ÉS GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A létezés és az egyediség tétel megállapítja a szükséges és elegendő feltételeket egy elsőrendű differenciálegyenlethez, egy adott kezdeti feltétellel, hogy megoldás legyen, és hogy ez a megoldás legyen az egyetlen.

A tétel azonban nem ad semmilyen technikát vagy utalást arra, hogyan lehet ilyen megoldást találni. A létezés és az egyediség tétel tétele kiterjesztésre kerül a kezdeti feltételekkel rendelkező magasabb rendű differenciálegyenletekre is, amelyet Cauchy-problémaként ismerünk.

1. ábra. A kiindulási állapot és a megoldás differenciálegyenlete látható. A létezés és az egyediség tétel garantálja, hogy ez az egyetlen lehetséges megoldás.

A létezés és az egyediség tétel hivatalos kijelentése a következő:

„Az y '(x) = f (x, y) differenciálegyenletnél, amelynek y (a) = b kezdeti feltétellel rendelkezik, legalább egy megoldás létezik az XY sík téglalap alakú régiójában, amely tartalmazza az (a, b) pontot, ha f (x, y) folyamatos ebben a régióban. És ha az f részszármazéka y-hoz viszonyítva: g = ∂f / ∂y folytonos abban a téglalap alakú régióban, akkor a megoldás egyedi az a, b pont szomszédságában, amely a fy folytonosságának régiójában található g. "

Ennek a tételnek a hasznossága elsősorban annak megismerésében rejlik, hogy az XY sík mely területein létezik egy megoldás, valamint annak megismerésében, hogy a talált megoldás az egyetlen lehetséges, vagy vannak más.

Vegye figyelembe, hogy abban az esetben, ha az egyediség feltétele nem teljesül, a tétel nem tudja megjósolni, hogy a Cauchy-probléma összesen hány megoldást kínál: lehet, hogy egy, kettő vagy több.

A létezés és az egyediség tétel bizonyítása

2. ábra: Charles Émile Picard (1856-1941) a létezés és az egyediség tétel egyik első bizonyítékával jóváírásra kerül. Forrás: Wikimedia Commons.

Ehhez a tételhez két lehetséges bizonyíték ismert: az egyik Charles Émile Picard (1856-1941) bizonyítéka, a másik pedig Giuseppe Peano (1858-1932) miatt, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) munkáin alapul..

Figyelemre méltó, hogy a tétel bizonyításában részt vettek a tizenkilencedik század legszebb matematikai elméi, tehát feltételezhető, hogy egyikük sem egyszerű.

A tétel hivatalos bizonyításához meg kell először létrehozni egy fejlettebb matematikai fogalom sorozatát, mint például a Lipschitz-típusú függvények, Banach-terek, Carathéodory létezési tétel és még sok más, amelyek kívül esnek a cikk hatókörén.

A fizikában kezelt differenciálegyenletek nagy része folyamatos funkciókkal foglalkozik az érdeklődésre számot tartó régiókban, ezért arra korlátozódnánk, hogy megmutatjuk, hogy a tétel hogyan alkalmazható az egyszerű egyenletekben.

Példák

- 1. példa

Vegyük a következő differenciálegyenletet egy kezdeti feltétellel:

y '(x) = - y; ha y (1) = 3

Van megoldás erre a problémára? Ez az egyetlen lehetséges megoldás?

válaszok

Mindenekelőtt a differenciálegyenlet megoldásának meglétét értékelik, és az megfelel-e a kiindulási feltételnek.

Ebben a példában f (x, y) = - és a létezés feltétele annak ismerete, hogy f (x, y) folytonos-e az XY sík olyan régiójában, amely x = 1, y = 3 koordináta pontját tartalmazza.

De f (x, y) = - y az affin függvény, amely folyamatos a valós számok területén és létezik a valós számok teljes tartományában.

Ezért arra a következtetésre jutottak, hogy az f (x, y) folytonos R ², így a tétel garantálja a létezését legalább egy megoldást.

Ennek ismeretében ki kell értékelni, hogy a megoldás egyedi-e, vagy éppen ellenkezőleg, egynél több. Ehhez ki kell számítani f részleges deriváltját az y változóval kapcsolatban:

Ezután g (x, y) = -1, amely egy konstans függvényt, amely szintén meghatározható minden R ² és szintén folytonos van. Ebből következik, hogy a létezés és az egyediség tétel garantálja, hogy ennek a kezdeti érték problémának egyedi megoldása van, bár nem mondja el nekünk, mi az.

- 2. példa

Vegyük figyelembe a következő első rendű rendes differenciálegyenletet a kezdeti feltételekkel:

y '(x) = 2√y; és (0) = 0.

Van megoldás y (x) erre a problémára? Ha igen, akkor határozza meg, létezik-e egy vagy több.

Válasz

Az f (x, y) = 2√y függvényt vesszük figyelembe. Az f függvényt csak y≥0-ra definiáljuk, mivel tudjuk, hogy a negatív számnak nincs valódi gyökérje. Továbbá az f (x, y) folytonos a felső felében síkja R ², beleértve az X tengely, így a létezése és egyedisége tétel garanciákat legalább egy megoldás az említett régióban.

Most az x = 0, y = 0 kezdeti feltétel a megoldási régió szélén van. Ezután vesszük az f (x, y) részleges deriváltját y-hoz viszonyítva:

∂f / ∂y = 1 / √y

Ebben az esetben a függvény nincs meghatározva y = 0-ra, pontosan ott, ahol a kezdeti feltétel van.

Mit mond nekünk a tétel? Azt mondja nekünk, hogy bár tudjuk, hogy az X tengely felső síkjában legalább egy megoldás található, beleértve az X tengelyt, mivel az egyediség feltétele nem teljesül, nem garantálható, hogy egyedi megoldás lesz.

Ez azt jelenti, hogy lehet egy vagy több megoldás az f (x, y) folytonosság tartományában. És mint mindig, a tétel nem mondja el nekünk, hogy mi lehetnek.

Megoldott gyakorlatok

- 1. Feladat

Oldja meg a Cauchy problémát az 1. példában:

y '(x) = - y; ha y (1) = 3.

Keresse meg az y (x) függvényt, amely kielégíti a differenciálegyenletet és a kezdeti feltételt.

Megoldás

Az 1. példában megállapítottuk, hogy ennek a problémának megoldása van, és szintén egyedi. A megoldás megtalálásához elsőként meg kell jegyezni, hogy ez az elválasztható változók első fokú differenciálegyenlete, amelyet a következőképpen írnak:

Osztás a két tag között és mindkét tag között a változó megkülönböztetésére

A határozatlan integritást mindkét tagnál alkalmazzák:

A határozatlan integrálok megoldása:

ahol C egy integrációs állandó, amelyet a kezdeti feltétel határoz meg:

A C érték helyettesítése és átrendezése továbbra is megmarad:

A logaritmusok következő tulajdonságának alkalmazása:

A fenti kifejezés így átírható:

Az e bázisú exponenciális függvényt mindkét tagban a következőképpen kapjuk:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Amely azzal egyenértékű:

y = 3e e ^-x

Ez az y '= -y egyenlet egyedi megoldása, ha y (1) = 3. Ennek a megoldásnak az grafikonja az 1. ábrán látható.

- 2. gyakorlat

Keressen két megoldást a 2. példában felvetett problémára:

y '(x) = 2√ (y); és (0) = 0.

Megoldás

Ez szintén elválasztható változók egyenlete, amely differenciál formában írva így néz ki:

dy / √ (y) = 2 dx

A határozatlan integrál megtartása mindkét tagban továbbra is fennáll:

2 √ (y) = 2 x + C

Mivel tudjuk, hogy y≥0 a megoldás régiójában:

y = (x + C) ²

Mivel azonban az x = 0, y = 0 kezdeti feltételnek teljesülnie kell, akkor a C állandó nulla, és a következő megoldás fennmarad:

y (x) = x ².

De ez a megoldás nem egyedi, az y (x) = 0 függvény szintén megoldást nyújt a felvetett problémára. A 2. példában erre a problémára alkalmazott létező és egyediség-tétel már előre jelezte, hogy lehet egynél több megoldás.

Irodalom

1. Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), a szokásos differenciálegyenletek elmélete, New York: McGraw-Hill.
2. Matematika enciklopédia. Cauchy-Lipschitz tétel. Helyreállítva: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, A módszer közelítésének egymást követő aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 1844. 116. kötet, 1. o. 454-457. Helyreállítva: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Picard egymást követő közelítési módszere. Helyreállítva: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Picard-Lindelöf tétel. Helyreállítva: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Elemi differenciálegyenletek alkalmazásokkal Prentice Hall.