MOIVRE TÉTELE: BIZONYÍTOTT ÉS MEGOLDOTT GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A Moivre tétel algebrai alapvető folyamatokat alkalmazott, mint például a hatalmak és a komplex számú gyökér kinyerése. A tételt a neves francia matematikus, Abraham de Moivre (1730) állította, aki komplex számokat társított a trigonometriaval.

Abraham Moivre a szinusz és a koszinusz kifejezésein keresztül hozta létre ezt az összefüggést. Ez a matematikus egyfajta képletet hozott létre, amelyen keresztül z komplex számot növelhet az n teljesítményre, amely pozitív egész szám, amely legalább 1 vagy egyenlő.

Mi a Moivre tétele?

Moivre tétele a következőket állítja:

Ha komplex számunk van a z = r _Ɵ poláris formában, ahol r a z komplex szám modulja, és the szöget hívunk bármelyik komplex szám amplitúdójának vagy argumentumának, ha 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, akkor számítsuk ki n– a hatalomnak nem kell önmagában n-szer szorozni; vagyis nem szükséges elkészíteni a következő terméket:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*… *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *… *} r _Ɵ n-szer.

Éppen ellenkezőleg, a tétel azt mondja, hogy amikor z értéket írunk trigonometrikus formájában, az n-edik erő kiszámításához az alábbiak szerint járunk el:

Ha z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), akkor z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Például, ha n = 2, akkor z ² = r ². Ha n = 3, akkor z ³ = z ² _* z. Szintén:

z ³ = r ² _* r = r ³.

Ily módon meg lehet kapni a szinusz és kosinus trigonometrikus arányát egy szög többszöröseként, mindaddig, amíg a szög trigonometrikus arányai ismertek.

Ugyanígy lehet pontosabb és kevésbé zavaró kifejezéseket találni a z komplex szám n-edik gyökerére, hogy z ⁿ = 1.

A Moivre-tétel bizonyításához a matematikai indukció elvét kell alkalmazni: ha az "a" egész szám "P" tulajdonsággal rendelkezik, és ha olyan egész számoknál "n" nagyobb, mint "a", amelyek "P" tulajdonsággal rendelkeznek Teljesül, hogy az n + 1 tulajdonságnak "P" is van, akkor az "a" -nál nagyobb vagy egyenlő egész számok "P" tulajdonsággal rendelkeznek.

Demonstráció

Így a tétel bizonyítása a következő lépésekkel történik:

Induktív alap

Először n = 1-re ellenőrzik.

Mivel z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹, a tétel n = 1-re vonatkozik.

Induktív hipotézis

Feltételezzük, hogy a képlet igaz valamely pozitív egész számra, azaz n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Igazolás

Bebizonyosodott, hogy n = k + 1 esetében igaz.

Mivel z ^{k + 1} = z ^k _* z, akkor z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Ezután a kifejezéseket megszorozzuk:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Egy pillanatra az r ^{k + 1} tényezőt nem veszik figyelembe, és az i általános tényezőt vesszük:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Mivel i ² = -1, ezt a kifejezésben helyettesítjük és így kapjuk:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Most a valós és a képzeletbeli részek vannak rendezve:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

A kifejezés egyszerűsítése érdekében a koszinuszra és a szinuszra a szögek összegének trigonometrikus azonosságát alkalmazzuk, amelyek a következők:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Ebben az esetben a változók Ɵ és kƟ szögek. A trigonometrikus identitások alkalmazásával:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

Ilyen módon a kifejezés:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Így kimutatható, hogy az eredmény igaz n = k + 1-re. A matematikai indukció elve alapján azt a következtetést lehet levonni, hogy az eredmény minden pozitív egész számra igaz; vagyis n ≥ 1.

Negatív egész szám

Moivre tételét akkor is alkalmazzák, ha n ≤ 0. Vegyük figyelembe az «n» negatív egész számot; akkor az "n" írható mint "-m", vagyis n = -m, ahol "m" pozitív egész szám. Így:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Az «m» kitevő pozitív módon történő megszerzéséhez a kifejezést fordítva írják:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Most azt használják, hogy ha z = a + b * i egy komplex szám, akkor 1 ÷ z = ab * i. Így:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Ezt a cos (x) = cos (-x) és -sen (x) = sin (-x) felhasználásával:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Így elmondható, hogy a tétel az "n" összes egész értékére vonatkozik.

Megoldott gyakorlatok

A pozitív teljesítmény kiszámítása

Az egyik olyan művelet, amelynek poláris alakjában komplex számok vannak, ezek kettõs szorzása; Ebben az esetben a modulokat megszorozzuk és az argumentumokat hozzáadjuk.

Ha két összetett z _{1 és} z ₂ szám van, és ki akarja számítani (z ₁ * z ₂) ², akkor az alábbiak szerint járjon el:

z ₁ z ₂ = *

A disztribúciós tulajdonság érvényes:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂).

Csoportosítva vannak, az "i" kifejezést figyelembe véve a kifejezések közös tényezőjében:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Mivel i ² = -1, ez helyettesíthető a következő kifejezésben:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

A valós fogalmakat a valódi és a képzeletbeli a képzelettel csoportosítják:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Végül a trigonometriai tulajdonságok érvényesek:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂.

Következtetésképpen:

(z ₁ * z ₂) ² = (r ₁ r ₂) ²

= r ₁ ² r ₂ ².

1. Feladat

Írja be a komplex számot poláris formában, ha z = - 2 -2i. Ezután Moivre-tétel alapján számítsa ki z ^4-et.

Megoldás

A z = -2 -2i komplex számot téglalap alakban fejezzük ki, z = a + bi, ahol:

a = -2.

b = -2.

Tudva, hogy a poláris forma z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), meg kell határoznunk az "r" modulus és az "Ɵ" argumentum értékét. Mivel r = √ (a² + b²), a megadott értékek helyébe lép:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Ezután az «Ɵ» érték meghatározására ennek téglalap alakú alakját alkalmazzuk, amelyet a következő képlet ad meg:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Mivel a tan (Ɵ) = 1 és <<értéke van, akkor az alábbiak vannak:

Ɵ = arktán (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5/4.

Mivel az «r» és «Ɵ« értékét már elérték, a z = -2 -2i komplex szám poláris formában fejezhető ki az alábbi értékek helyettesítésével:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Most Moivre tételét használjuk a z ⁴ kiszámításához:

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5) + i _* sin (5)).

2. gyakorlat

Keresse meg a komplex számok szorzatát poláris alakban kifejezve:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o)

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o).

Ezután számítsa ki (z1 * z2) ².

Megoldás

Először az adott szám szorzata képződik:

z ₁ z ₂ = *

Ezután a modulokat megszorozzuk egymással, és hozzáadjuk az argumentumokat:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

A kifejezés egyszerűsített:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o).

Végül Moivre tétele érvényes:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o)) ² = 784 (cos 300 ^° + (i _* sin 300 ^o)).

A negatív teljesítmény kiszámítása

Két z _{1 és} z ₂ komplex szám poláris formában történő elosztásához a modulust osztjuk és az argumentumokat kivonjuk. Így hányadosa z ₁ ÷ z _2, és a következőképpen fejezzük ki:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Az előzőhöz hasonlóan, ha ki akarjuk számítani a (z1 ÷ z2) ³-t, akkor először az osztást hajtjuk végre, majd a Moivre-tételt használjuk.

3. gyakorlat

Kockák:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)), z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)), számítsa ki (z1 ÷ z2) ³.

Megoldás

A fent leírt lépéseket követve megállapítható, hogy:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Irodalom

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
2. Croucher, M. (második). A moivre-féle igazolványtétel tételéből. Wolfram demonstrációs projekt.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematika enciklopédia.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra és trigonometria.
5. Pérez, CD (2010). Pearson oktatás.
6. Stanley, G. (második). Lineáris algebra. Graw-Hill.
7. M. (1997). Precalculation. Pearson oktatás.