- A számtani alaptétel bizonyítása
- Az elsődleges faktorizálás egyedisége
- Alkalmazások
- Első számok a természetben
- Kiváló számok és online vásárlás
- Megoldott gyakorlatok
- - 1. Feladat
- Megoldás
- - 2. gyakorlat
- Megoldás
- Irodalom
A számtani alaptétel azt állítja, hogy bármely 1-nél nagyobb természetes szám eloszlható prímszám szorzataként - néhány is megismételhető - és ez a forma egyedülálló ennek a számnak, bár a tényezők sorrendje eltérő lehet.
Ne feledje, hogy a p prímszám csak akkor ismeri el önmagát és pozitív osztóként 1. A következő számok prímszámok: 2, 3, 5, 7, 11, 13 és így tovább, mivel vannak végtelenségek. Az 1-es szám nem tekinthető prímnek, mivel csak egy osztója van.
1. ábra: Euklidész (balra) az Elements című könyvében (BC 350) igazolta az aritmetika alapvető tételét, és az első teljes bizonyíték Carl F. Gaussnak (1777-1855) (jobbra) köszönhető. Forrás: Wikimedia Commons.
Másrészt azokat a számokat, amelyek nem felelnek meg a fentieknek, összetett számoknak nevezzük, például 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… Vegyük például a 10-et, és azonnal láthatjuk, hogy ez bontható 2 és 5:
10 = 2 × 5
Mind a 2, mind az 5 valójában primerek. A tétel azt állítja, hogy ez bármilyen n számra lehetséges:
Ahol p 1, p 2, p 3 … p r prímszámok és k 1, k 2, k 3,… k r természetes számok. Tehát az elsődleges számok építőelemekként szolgálnak, amelyekből a szorzás révén a természetes számok épülnek fel.
A számtani alaptétel bizonyítása
Először azt mutatjuk be, hogy minden számot lebonthatunk elsődleges tényezőkké. Legyen egy n> 1 természetes szám, prím vagy összetett.
Például, ha n = 2, akkor kifejezhető: 2 = 1 × 2, amely elsődleges. Ugyanezen módon járjon el a következő számokkal:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Ilyen módon folytatjuk az összes természetes szám bontását, amíg el nem éri az n -1 számot. Lássuk, meg tudjuk-e csinálni a következő számmal: n.
Ha n prím, akkor bonthatjuk azt úgy, hogy n = 1 × n, de tegyük fel, hogy n kompozit és d osztójával, logikailag kisebb, mint n:
1 <d <n.
Ha n / d = p 1, ha p 1 prímszám, akkor n-t úgy kell írni:
n = p 1.D
Ha d prím, akkor nem kell többet tennie, de ha nem, akkor van olyan n 2 szám, amely d osztója és kevesebb, mint ez: n 2 <d, tehát d az n 2 szorzataként írható egy másikkal p 2 prímszám:
d = p 2 n 2
Ha az eredeti n szám helyettesítése az alábbiakat fogja adni:
n = p 1, p 2, n 2
Tegyük fel, hogy n 2 sem prímszám, és úgy írjuk fel, mint egy p 3 prímszám szorzata, n 3 osztójával, oly módon, hogy n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3.n 3 → n = p 1 p 2 p 3. n 3
Ezt az eljárást véges számú alkalommal megismételjük, amíg meg nem kapjuk:
n = p 1.p 2.p 3… p r
Ez azt jelenti, hogy minden egész számot fel lehet bontani 2-től n-ig, prímszámok szorzataként.
Az elsődleges faktorizálás egyedisége
Most ellenőrizzük, hogy a tényezők sorrendjétől eltekintve - ez a bomlás egyedi. Tegyük fel, hogy n kétféleképpen írható:
n = p 1, olvadáspontja 2, olvadáspontja: 3… p r = q 1. q 2.Q 3…..q s (R ≤ s)
Természetesen q 1, q 2, q 3… szintén prímszámok. Mivel p 1 osztódik (q 1. q 2.q 3 …..q s), akkor p 1 megegyezik a „q” bármelyikével, nem számít, melyik, tehát elmondhatjuk, hogy p 1 = q 1. Azt ossza n p 1 és kapjuk:
p 2.p 3… p r = . q 2.q 3 …..q s
Addig ismételjük az eljárást, amíg mindent p r-vel meg nem osztunk, majd megkapjuk:
1 = q r + 1 … q s
De q r + 1 … q s = 1, ha r <s, csak akkor érhető el, ha r = s. Annak elismerésével, hogy r = s, az is elismert, hogy a "p" és a "q" azonosak. Ezért a bomlás egyedi.
Alkalmazások
Mint már korábban elmondtuk, az elsődleges számok, ha úgy tetszik, a számok atomjait, azok alapvető alkotóelemeit képviselik. Tehát az aritmetika alapvető tételének számos alkalmazása van, a legnyilvánvalóbb: nagy számokkal könnyebben tudunk dolgozni, ha kisebb számok szorzataként fejezzük ki őket.
Ugyanezen módon megtalálhatjuk a legnagyobb közös többszörösét (LCM) és a legnagyobb közös osztót (GCF), ezt az eljárást, amely elősegíti a frakciók könnyebb hozzárendelését, a nagy számok gyökereinek megtalálását, vagy a gyökökkel való működést, a racionalizálást és a megoldást. nagyon változatos alkalmazási problémák.
Ezenkívül a prímszám rendkívül rejtélyes. A mintát még nem ismeri fel bennük, és nem lehet tudni, hogy mi lesz a következő. A legnagyobb eddig a számítógépek találták meg, és 24 862 048 számjegyű, bár az új prímszámok minden alkalommal ritkábban jelennek meg.
Első számok a természetben
Az Egyesült Államok északkeleti részén élő cikók, cicádidók vagy cikadák 13 vagy 17 éves ciklusokban jelennek meg. Mindkettő prímszám.
Ilyen módon a cikadák elkerülhetők, hogy egybeesjenek a ragadozókkal vagy a többi születési periódusban részt vevő versenytársakkal, és a kabókák különböző fajtái sem versenyeznek egymással, mivel nem esnek egybe ugyanazon évben.
2. ábra: Az Egyesült Államok keleti részén a Magicicada kabóca 13–17 évenként jelenik meg. Forrás: Pxfuel.
Kiváló számok és online vásárlás
Az elsődleges számokat a kriptográfiában használják, hogy titokban tartják a hitelkártya-adatokat, amikor az interneten vásárolnak. Ily módon az az adat, amelyet a vevő eljut a boltba anélkül, hogy eltévedne vagy gátlástalan emberek kezébe kerülne.
Hogyan? A kártyán szereplő adatok N számban vannak kódolva, amely az elsődleges szám szorzataként fejezhető ki. Ezek az elsődleges számok az a kulcs, amelyet az adatok felfednek, de a nyilvánosság számára ismeretlenek, csak azokon a web-oldalakon lehet dekódolni, amelyekre irányították.
Egy szám tényezőkre bontása könnyű feladat, ha a számok kicsik (lásd a megoldott feladatokat), de ebben az esetben kulcsként 100 számjegyű primatszámokat használunk, amelyek szorzásukkor sokkal nagyobb számot adnak, amelyek részletes bontása hatalmas feladatot jelent..
Megoldott gyakorlatok
- 1. Feladat
Töltse le az 1029-et alapvető tényezőkké.
Megoldás
1029 osztható 3-val. Ez azért ismert, mert a számjegyeinek összeadásakor az összeg 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12-es szorzó. Mivel a tényezők sorrendje nem változtatja meg a terméket, ott kezdhetjük:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
Másrészt 343 = 7 3, akkor:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
És mivel mind a 3, mind a 7 prímszám, ez az 1029 bomlása.
- 2. gyakorlat
Tényezze be a trinomiális x 2 + 42x + 432 értéket.
Megoldás
A trinomial átíródik (x + a) formában. (x + b), és meg kell találnunk az a és b értékeit, hogy:
a + b = 42; ab = 432
A 432 számot alaptényezőkre bontják, és innen a megfelelő kombinációt próbával és hibával választják meg úgy, hogy a hozzáadott tényezők 42-et adjanak.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
Innentől kezdve számos lehetőség van a 432 írására:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
És mindegyik megtalálható az alapvető tényezők közötti termékek kombinálásával, de a javasolt gyakorlat megoldására az egyetlen megfelelő kombináció: 432 = 24 × 18, mivel 24 + 18 = 42, akkor:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Irodalom
- Baldor, A. 1986. Elméleti gyakorlati aritmetika. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. A természet rejtett kódja. Helyreállítva: bbc.com.
- De Leon, Manuel. Főszám: az internetes őrök. Helyreállítva: blogs.20minutos.es.
- UNAM. I. számelmélet: A számtani alaptétel. Helyreállítva: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. A számtani alaptétel. Helyreállítva: es.wikipedia.org.