SCALENE HÁROMSZÖG: JELLEMZŐK, KÉPLET ÉS TERÜLETEK, SZÁMÍTÁS - MATEMATIKA - 2026

A skálaháromszög háromszögű, három oldalú sokszög, amelyek mindegyike különböző méretű vagy hosszúságú; ezért kapják a skála nevét, amely latinul mászást jelent.

A háromszögek sokszögek, amelyeket geometria szempontjából a legegyszerűbbnek tekintnek, mert három oldalból, három szögből és három csúcsból állnak. A skálaháromszög esetében az, hogy minden oldala különbözik, azt jelenti, hogy annak háromszöge is lesz.

A skála háromszögek jellemzői

A skolén háromszögek egyszerű sokszögek, mivel egyik oldaluk vagy szöge sem rendelkezik ugyanolyan mérettel, ellentétben az egyenlõségekkel és az egyenlõ oldalú háromszögekkel.

Mivel mindkét oldaluk és szögeik különböző méretűek, ezeket a háromszögeket szabálytalan konvex sokszögeknek tekintik.

A belső szögek amplitúdója alapján a skála háromszöget az alábbiak szerint osztályozzák:

• Scalene jobb háromszög: mindkét oldal különbözik. Az egyik szöge derékszögű (90 ^vagy), a többi éles és különböző méretű.
• Tomp skála háromszög: minden oldala különbözik, és egyik szöge tompa (> 90 ^vagy).
• Scalene akut háromszög: minden oldal különbözik. Minden szög éles (<90 ^vagy), különböző mérési értékekkel.

A skála háromszögek másik jellemzője, hogy oldaluk és szögek inkonrugenciája miatt nincsenek szimmetriatengelyük.

Alkatrészek

A medián: egy olyan vonal, amely az egyik oldal közepétől kezdődik és az ellenkező csúcsot érinti. A három medián találkozik egy olyan helyen, amelyet úgy nevezzük, hogy a barycenter vagy centrid.

A felező: egy sugár, amely minden szöget két egyenlő szögre osztja. A háromszög felezői találkoznak egy ponton, amelyet úgy hívnak, mint az ösztönző.

A felező: a háromszög oldalára merőleges szegmens, amelynek a közepén van eredete. Három felező van egy háromszögben, és találkoznak egy olyan ponton, amelyet úgy hívnak, hogy a mérőmérője van.

Magasság: ez a vonal halad a csúcsról az ellenkező oldalra, és ez a vonal merőleges is az oldalra. Az összes háromszögnek három olyan magassága van, amelyek egybeesnek egy olyan ponton, amelyet az ortocenternek hívnak.

Tulajdonságok

A skolén háromszögeket azért definiálják vagy azonosítják, mert több tulajdonsággal rendelkeznek, amelyek képviselik őket, a nagy matematikusok által javasolt tételekből származnak. Ők:

Belső szögek

A belső szögek összege mindig 180 ^°.

Az oldalak összege

A két oldal mértékének összegének mindig nagyobbnak kell lennie, mint a harmadik oldal mérete, a + b> c.

Nem homályos oldalak

A skála háromszögek mindkét oldalának mértéke vagy hossza eltérő; vagyis nem egyértelműek.

Nem homályos szögek

Mivel a skála háromszög minden oldala különbözik, annak szöge is lesz. A belső szögek összege azonban mindig 180º lesz, és egyes esetekben egyik szöge tompa vagy derékszögű lehet, míg másokban minden szöge akut lesz.

A magasság, a medián, a felező és a felező nem esik egybe

Mint minden háromszög, a skála különböző vonalszakaszokkal rendelkezik, mint például: magasság, medián, felező és felező.

Oldalainak sajátosságai miatt az ilyen típusú háromszögben ezek egyike sem esik egybe.

Az ortocenter, a barycenter, az indukciós és a körbefutó pont nem egybeesnek

Mivel a magasságot, a középpontot, a felezőt és a felezőt különféle vonalszegmensek képviselik, a skálán lévő háromszögben a találkozási pontok - az ortocenter, az induktor és a circumcenter - különböző pontokban találhatók (nem egyeznek meg).

Attól függően, hogy a háromszög akut, derékszögű vagy skálán van-e, az ortocenter különböző helyekkel rendelkezik:

nak nek. Ha a háromszög akut, akkor az ortocenter a háromszög belsejében található.

b. Ha a háromszög jobb, az ortocenter egybeesik a jobb oldal csúcsával.

c. Ha a háromszög tompa, akkor az ortocenter a háromszög külsején helyezkedik el.

Relatív magasságok

A magasság az oldalakhoz viszonyítva.

A skálaháromszög esetében ezeknek a magasságoknak különböző mérési pontok vannak. Minden háromszögnek három relatív magassága van, és Heron képletével számítják ki őket.

Hogyan lehet kiszámítani a kerületet?

A sokszög kerületét az oldalak összeadásával számítják ki.

Mivel ebben az esetben a skála háromszögnek az összes oldala eltérő méretű, a kerülete:

P = a oldal + oldal b + oldal c.

Hogyan lehet kiszámítani a területet?

A háromszögek területét mindig ugyanazzal a képlettel kell kiszámítani, szorozva az alapszint magasságát és osztva kettővel:

Terület = (alap _* h) ÷ 2

Bizonyos esetekben a skála háromszög magassága nem ismert, de létezik egy képlet, amelyet Herón matematikus javasolt, hogy kiszámítsa a területet a háromszög három oldalának mérete alapján.

Ahol:

• a, b és c a háromszög oldalát jelölik.
• sp, a háromszög félperimetrének felel meg, vagyis a kerület felének:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Abban az esetben, ha csak a háromszög két oldalának mérete és a közöttük kialakított szög van, a terület kiszámítható a trigonometrikus arányok alkalmazásával. Tehát:

Terület = (oldal _* h) ÷ 2

Ahol a magasság (h) az egyik oldal szorzata és az ellenkező szög szinusz szorzata. Például mindkét oldalon a terület a következő lesz:

• Terület = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Terület = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Terület = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Hogyan lehet kiszámítani a magasságot?

Mivel a skála háromszög minden oldala eltér, nem lehet a magasságot kiszámítani a Pitagorasz-tétel segítségével.

A háromszög három oldalának mérésén alapuló Heron képletéből kiszámítható a terület.

A magasság a terület általános képletéből tisztítható:

Az oldalt az a, b vagy c oldalméret váltja fel.

A magasság kiszámításának másik módja, ha az egyik szög értéke ismert, a trigonometrikus arányok alkalmazásával, ahol a magasság a háromszög egyik lábát képviseli.

Például, ha ismert a magassággal ellentétes szög, akkor azt a szinusz határozza meg:

Hogyan lehet kiszámítani az oldalakat?

Ha megvan a két oldal mérete és az azokkal szemben lévő szög, akkor a koszinusz tétel alkalmazásával meg lehet határozni a harmadik oldalt.

Például egy AB háromszögben ábrázoljuk az AC szegmenshez viszonyított magasságot. Ilyen módon a háromszöget két jobb háromszögre osztják.

A c oldal (AB szegmens) kiszámításához minden háromszögre alkalmazza a Pythagora-tételt:

• A kék háromszöghez:

c ² = h ² + m ²

Mivel m = b - n, helyettesítjük:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2 milliárd + n ².

• A rózsaszínű háromszöghez a következőket kell tennie:

h ² = a ² - n ²

Az előző egyenlet helyébe lép:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2 milliárd + n ²

c ² = a ² + b ² - 2 milliárd.

Tudva, hogy n = a _* cos C, helyébe az előző egyenlet lép, és a c oldal értékét kapjuk:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C

A koszinuszok törvénye alapján az oldalakat a következőképpen lehet kiszámítani:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C

Vannak esetek, amikor a háromszög oldalának méretei nem ismertek, inkább a magasságuk és a csúcsokon kialakított szögek. A terület meghatározásához ezekben az esetekben alkalmazni kell a trigonometrikus arányokat.

Az egyik csúcsa szögének ismeretében a lábakat azonosítják és a megfelelő trigonometrikus arányt használják:

Például az AB láb a C szögnél ellentétes, de az A szöggel szomszédos, attól függően, hogy a magasságnak megfelelő oldalt vagy lábat a másik oldal szabadon hagyja-e, hogy megkapja ennek értékét.

Feladatok

Első gyakorlat

Számítsa ki az ABC skála háromszög területét és magasságát, tudva, hogy annak oldalai:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Megoldás

Adatokként a skála háromszög három oldalának méréseit adjuk meg.

Mivel a magassági érték nem áll rendelkezésre, a terület meghatározható Heron képlettel.

Először a félperimetet kiszámítják:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm-2

sp = 18 cm.

Most az értékeket Heron képletében helyettesítjük:

A terület ismeretében kiszámítható a b oldalhoz viszonyított magasság. Az általános képletből, ezt tisztázva, a következők rendelkeznek:

Terület = (oldal _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* H) ÷ 2

h = (2 _* 46.47 cm ²) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Második gyakorlat

Tekintettel az ABC skála háromszögre, amelynek mértéke a következő:

• AB szegmens = 25 m.
• BC szegmens = 15 m.

A B csúcson 50 ° szög alakul ki. Számítsa ki a magasságot a három oldal háromszögének c oldalához, kerületéhez és területéhez képest.

Megoldás

Ebben az esetben két oldal mérése van. A magasság meghatározásához ki kell számítani a harmadik oldal mérését.

Mivel megadjuk az adott oldalakkal ellentétes szöget, a koszinusz törvényét alkalmazhatjuk az AC (b) oldalméret meghatározására:

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Ahol:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o.

Az adatok helyébe a következő lép:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367 985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Mivel már megvan a három oldal értéke, kiszámoljuk annak a háromszögnek a kerületét:

P = a oldal + oldal b + oldal c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Most már meg lehet határozni a területet Heron képlet alkalmazásával, de először a félperimetet kell kiszámítani:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Az oldalak és a félperimetr méréseit Heron képlete helyettesíti:

Végül a terület ismeretében kiszámítható a c oldalhoz viszonyított magasság. Az általános képletből kitörölve:

Terület = (oldal _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ²) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Harmadik gyakorlat

Az ABC skála háromszögben az AB oldal 40 cm, a c oldal 22 cm, és az A csúcsban 90 szög van kialakítva, ^vagy. Számítsa ki a háromszög területét.

Megoldás

Ebben az esetben megadják az ABC skála háromszög két oldalának két oldalát, valamint az A csúcson kialakuló szöget.

A terület meghatározásához nem szükséges kiszámítani az a oldal méretét, mivel a trigonometrikus arányokon keresztül a szöget kell használni annak meghatározásához.

Mivel a magassággal ellentétes szög ismert, ezt az egyik oldal és a szög szinusz szorzata határozza meg.

Helyettesítve a következő képletet:

• Terület = (oldal _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Terület = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Terület = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Terület = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Terület = 880 cm ² ÷ 2

Terület = 440 cm ².

Irodalom

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Műszaki rajz: tevékenységi jegyzetfüzet.
2. Ruiz Ángel, HB (2006). Geometries. CR technológia.
3. Angel, AR (2007). Elemi algebra. Pearson Oktatás,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultúra.
5. Barbosa, JL (2006). Sík euklideszi geometria. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). A geometria alapjai. Mexikó: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Elemi geometria főiskolai hallgatók számára. Cengage tanulás.
8. Harpe, P. d. (2000). Témák a geometriai csoportelméletben. University of Chicago Press.