HÁROMSZÖGEK: TÖRTÉNELEM, ELEMEK, OSZTÁLYOZÁS, TULAJDONSÁGOK - TUDOMÁNY - 2026

A háromszögek lapos és zárt geometriai alakzatok, három oldalból állnak. A háromszöget három vonal határozza meg, amelyek metszik egymást, és három szöget képeznek egymással. A szimbolizmussal teli háromszög alakú számú tárgyban jelenik meg, és mint az építkezés eleme.

A háromszög eredete elveszett a történelemben. A régészeti bizonyítékokból ismert, hogy a primitív emberiség jól ismerte, mivel a régészeti maradványok megerősítik, hogy szerszámokban és fegyverekben használták.

1. ábra. Háromszögek. Forrás: Közösségi domain képek.

Az is nyilvánvaló, hogy az ókori egyiptomiak szilárd ismeretekkel rendelkeznek a geometria és különösen a háromszög alakja terén. Ezek tükröződtek a monumentális épületek építészeti elemeiben.

A Rhind papiruszban található a képletek a háromszögek és a trapézok területének kiszámításához, valamint néhány kötet és a rudimenzionális trigonometria fogalma.

A maga részéről ismert, hogy a babilóniaiak képesek voltak kiszámítani a háromszög területét és más geometriai ábrákat, amelyeket gyakorlati célokra használtak, például a föld felosztását. A háromszögek sok tulajdonságáról is tájékozottak voltak.

Ugyanakkor az ókori görögök szisztematizálták a mai napig elterjedt geometriai fogalmakat, noha ezen ismeretek nagy része nem volt kizárólagos, mivel biztosan megosztották ezeket a többi ősi civilizációt.

Háromszög elemek

Bármely háromszög elemeit az alábbi ábra mutatja. Három van: csúcsok, oldalak és szögek.

2. ábra: A háromszögek és elemeik jelölése. Forrás: Wikimedia Commons, módosította F. Zapata

-Szög: azon vonalak metszéspontjai, amelyek szegmensei meghatározzák a háromszöget. A fenti ábrán például az _AC szegmenst tartalmazó L _AC vonal pontosan az A pontban keresztezi az L _{AB egyeneset}, amely az AB szegmenst tartalmazza.

- oldalak: az egyes csúcspárok között egy vonalszakaszt húzunk, amely a háromszög egyik oldalát alkotja. Ezt a szegmenst meg lehet jelölni a végbetűkkel, vagy egy konkrét betű segítségével meghívhatjuk. A 2. ábra példájában az AB oldalt "c" -nek is nevezzük.

- Szögek: A közös csúcsú oldalak között egy szög jön létre, amelynek csúcsa egybeesik a háromszög szögével. A szöget általában egy görög betű jelöli, amint az elején szerepel.

Egy adott alak és méretű háromszög felépítéséhez a következő adatkészletek egyikével kell rendelkeznie:

- A három oldal, egy háromszög esetében teljesen nyilvánvaló.

-Két oldalt és a szöget közöttük, és azonnal meghúzza a fennmaradó oldalt.

-Két (belső) szöget és közöttük lévő oldalt. Meghosszabbítva a két hiányzó oldalt felhívjuk és a háromszög készen áll.

Jelölés

Általában a háromszög jelölésében a következő konvenciókat alkalmazzák: a csúcsokat nagybetűs latin betűkkel, az oldalakat kis latin betűkkel, a szöget görög betűkkel jelöljük (lásd a 2. ábrát).

Ily módon a háromszöget a csúcsai szerint nevezik el. Például a 2. ábrán bal oldalon található háromszög ABC háromszög, a jobb oldalon pedig A'B'C 'háromszög.

Más jelölések is használhatók; például a 2. ábrán az α szöget BAC-ként jelöljük. Vegye figyelembe, hogy a csúcs betűje középen megy, és a betűk az óramutató járásával ellentétes irányban vannak írva.

Más esetekben caret-t használnak a szög jelölésére:

α = ∠A

Háromszögek típusai

Számos kritérium létezik a háromszögek osztályozására. A leggyakoribb az, ha osztályozzák őket oldalsó méretük vagy szögelük alapján. A háromszögek, oldalaik méretétől függően, lehetnek: szánok, egyenlő szárúak vagy egyenlő oldalak:

-Scaleno: Három oldala különbözik.

-Isósceles: két egyenlő oldallal és egy másik oldallal rendelkezik.

-Equilátero: a három oldal egyenlő.

3. ábra: A háromszögek osztályozása oldaluk szerint. Forrás: F. Zapata

A háromszögeket szögeik méretének megfelelően így kell megnevezni:

- Elakadás, ha az egyik belső szög nagyobb, mint 90º.

- Akut szög, ha a háromszög három belső szöge akut, azaz kevesebb mint 90º

- Téglalap, abban az esetben, ha annak egyik belső szöge megéri 90º-t. A 90º-os oldalakat lábaknak nevezzük, a derékszöggel ellentétes oldalakat pedig a hipotenusznak.

4. ábra: A háromszögek osztályozása belső szögek szerint. Forrás: F. Zapata.

Háromszögek összehúzódása

Ha két háromszög azonos formájú és azonos méretű, akkor azt mondják, hogy összetartósak. A kongruencia természetesen az egyenlőséggel kapcsolatos, akkor miért beszélünk a geometriaban a „két azonos háromszög” helyett a „két egyenlő háromszög” helyett?

Nos, inkább a "kongruencia" kifejezést használjuk az igazsághoz való ragaszkodáshoz, mivel két háromszög alakja és mérete azonos, de a síkban eltérően lehet orientálva (lásd a 3. ábrát). Geometria szempontjából már nem lennének szigorúan azonosak.

5. ábra. Csonkoló háromszögek, de nem feltétlenül azonosak, mivel a síkban való orientációjuk eltérő. Forrás: F. Zapata.

Összehúzódási kritériumok

Két háromszög egybeesik, ha a következők bármelyike ​​előfordul:

-A három oldal ugyanazt méri (ismét ez a legnyilvánvalóbb).

- Két azonos oldaluk van, és egymással azonos szögben vannak.

- Mindkettőnek két azonos belső szöge van, és a szögek közötti oldal ugyanaz.

Mint látható, a két háromszög körülbelül megfelel a szükséges feltételeknek, így építésükkor alakjuk és méretük pontosan megegyeznek.

A kongruenciakritériumok nagyon hasznosak, mivel a gyakorlatban számtalan darabot és mechanikus alkatrészt sorozatban kell gyártani, oly módon, hogy méréseik és alakjuk pontosan megegyezzen.

A háromszögek hasonlósága

A háromszög hasonló a másikhoz, ha azonos alakúak, még akkor is, ha különböző méretűek. Annak biztosítása érdekében, hogy az alak azonos legyen, szükséges, hogy a belső szögek azonosak legyenek, és hogy az oldalak arányosak legyenek.

6. ábra. Két hasonló háromszög: méretük különbözik, de arányuk megegyezik. Forrás: F. Zapata.

A 2. ábra háromszögei is hasonlóak, mint a 6. ábrán is. Ilyen módon:

Az oldalakat illetően a következő hasonlósági arányok érvényesek:

Tulajdonságok

A háromszögek alapvető tulajdonságai a következők:

- Bármely háromszög belső szögeinek összege mindig 180º.

- Bármely háromszög esetén a külső szögeinek összege 360 ​​°.

- A háromszög külső szöge megegyezik a szöggel nem szomszédos két belső szög összegével.

tételek

Thales első tétele

Ezeket a görög filozófust és Thales of Miletus filozófust és matematikusnak tulajdonítják, akik több geometriával kapcsolatos tételt fejlesztettek ki. Az első állítja a következőket:

7. ábra. Thales-tétel. Forrás: F. Zapata.

Más szavakkal:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thales első tétele háromszögre alkalmazható, például balra van az ABC kék háromszög, amelyet a jobb oldalon lévő piros párhuzamok vágnak le:

8. ábra. Thales tétel és hasonló háromszögek.

Az AB'C 'lila háromszög hasonló az ABC kék háromszöghez, tehát Thales-tétel szerint az alábbiakat lehet írni:

AB´ / AC´ = AB / AC

És összhangban áll azzal, amit korábban magyaráztak a háromszögek hasonlóságának szegmensében. Mellesleg, a párhuzamos vonalak lehetnek függőlegesek vagy párhuzamosak a hipotenuussal is, és hasonló háromszögek képződnek ugyanúgy.

Thales második tétele

Ez a tétel egy olyan háromszögre és körre is vonatkozik, amelyek O középpontja az alábbiakban látható. Az ábrán az AC a kerület átmérője és B egy pont rajta, B különbözik az A-tól B-től.

Thales második tétele szerint:

9. ábra. Thales második tétele. Forrás: Wikimedia Commons. Inductiveload.

A Pitagóra-tétel

Ez a történelem egyik leghíresebb tétele. Ennek oka a Samos görög matematikus Pythagoras (ie 569-475), és egy derékszögű háromszögre alkalmazható. Azt mondja:

Ha például a 8. ábrán látható kék háromszöget vagy a lila háromszöget vesszük, mivel mindkettő téglalap, akkor elmondható, hogy:

AC ² = AB ² + BC ² (kék háromszög)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (lila háromszög)

A háromszög területe

A háromszög területét az a bázis szorzata és h magassága osztja meg 2-vel. És trigonometria segítségével ez a magasság h = b sinθ lehet.

10. ábra: A háromszög területe. Forrás: Wikimedia Commons.

Példák háromszögekre

1. példa

Azt mondják, hogy első tételével Thalesnek sikerült megmérnie az egyiptomi nagy piramis magasságát, az ókori világ 7 csodájának egyikét, megmérve a földre kivetített árnyékot és a földbe vetett tét által kivetített árnyékot.

Ez a Tales által követett eljárás vázlata:

11. ábra: A nagy piramis magasságának mérési sémája a háromszögek hasonlósága alapján. Forrás: Wikimedia Commons. dake

Thales helyesen feltételezte, hogy a nap sugarai párhuzamosan sztrájkolnak. Ezt szem előtt tartva elképzelte a jobb oldali nagy, háromszöget.

Itt D a piramis magassága, C pedig a talaj feletti távolság a közepétől a piramis által a sivatagi padlón öntött árnyékig mérve. A C mérése nehézkes lehet, de minden bizonnyal könnyebb, mint a piramis magasságának mérése.

Bal oldalon egy kis háromszög, A és B lábakkal, ahol A a függőlegesen a talajba vezetett tét magassága, és B az árnyéka, amelyet vet. Mindkét hossz mérhető, mint a C (C egyenlő az árnyék hosszával + a piramis hosszának felével).

Tehát, a háromszögek hasonlósága alapján:

A / B = D / C

És a Nagy Piramis magassága kiderül: D = C. (A / B)

2. példa

A polgári építkezésen lévő rácsok vékony, egyenes, fából vagy fémből készült keresztezett keretek, amelyek sok épületben támasztékként szolgálnak. Rácsoknak, rácsoknak vagy rácsoknak is ismertek.

Ezekben a háromszögek mindig jelen vannak, mivel a rudak csomópontoknak nevezett pontokban vannak összekötve, amelyek rögzíthetők vagy csuklósak.

12. ábra. A háromszög jelen van a híd keretében. Forrás: PxHere.

3. példa

A háromszögelésnek nevezett módszer lehetővé teszi a hozzáférhetetlen pontok helyének meghatározását más, könnyebben mérhető távolságok ismeretében, feltéve, hogy háromszög alakul ki, amely tartalmazza a csúcsok közötti kívánt helyet.

Például a következő ábrán szeretnénk tudni, hogy a hajó hol van a tengerben, B-vel jelölve.

13. ábra: A hajó helyének háromszögelési sémája. Forrás: Wikimedia Commons. Colette

Először megmérik a tengerparton lévő két pont közötti távolságot, amelyek az ábrán A és C. Ezután az α és β szöget teodolit segítségével kell meghatározni, amely egy eszköz a függőleges és a vízszintes szögek mérésére.

Mindezekkel az információkkal egy háromszöget építenek be, amelynek felső csúcsa a hajó. A hajó tengeri helyzetének meghatározásához a γ szöget ki kell számítani a háromszögek tulajdonságai, valamint az AB és CB távolságok trigonometria segítségével.

Feladatok

1. Feladat

Az ábrán a nap sugarai párhuzamosak. Ily módon az 5 méter magas fa 6 méteres árnyékot vet a földre. Ugyanakkor az épület árnyéka 40 méter. Thales első tételét követve keresse meg az épület magasságát.

14. ábra: A megoldott feladat sémája 1. Forrás: F. Zapata.

Megoldás

A piros háromszög oldala 5, illetve 6 méter, a kéknek H magassága - az épület magassága - és az alapja 40 méter. Mindkét háromszög hasonló, tehát:

2. gyakorlat

Tudnia kell a két A és B pont közötti vízszintes távolságot, de ezek nagyon egyenetlen talajon helyezkednek el.

Az említett terep közepén (P _m) 1,75 méter magas kilátás nyílik kiemelkedőnek. Ha a mérőszalag 26 méter hosszú, A-től előtérig mérve, és B-től 27 méterig ugyanahhoz a ponthoz, akkor keresse meg az AB távolságot.

15. ábra: A megoldott feladat vázlata 2. Forrás: Jiménez, R. Matematika II. Geometria és trigonometria.

Megoldás

A Pitagorasi tételt az ábra két jobb háromszögének egyikére kell alkalmazni. A bal oldalon kezdve:

Hypotenuse = c = 26 méter

Magasság = a = 1,75 méter

AP _m = (26 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 25,94 m

Most alkalmazza a Pythagoras-t a jobb oldali háromszögben, ezúttal c = 27 méter, a = 1,75 méter. Ezekkel az értékekkel:

BP _m = (27 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 26,94 m

Az AB távolságot az alábbi eredmények hozzáadásával kaphatjuk meg:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Irodalom

1. Baldor, JA, 1973. Sík és űrgeometria. Közép-amerikai kulturális.
2. Barredo, D. A háromszög geometriája. Helyreállítva: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematika II. Geometria és trigonometria. Második kiadás. Pearson.
4. Wentworth, G. Sík geometria. Helyreállítva: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Háromszög. Helyrehozva: es. wikipedia.org.