- Háromszög elemek
- Jelölés
- Háromszögek típusai
- Háromszögek összehúzódása
- Összehúzódási kritériumok
- A háromszögek hasonlósága
- Tulajdonságok
- tételek
- Thales első tétele
- Thales második tétele
- A Pitagóra-tétel
- A háromszög területe
- Példák háromszögekre
- 1. példa
- 2. példa
- 3. példa
- Feladatok
- 1. Feladat
- Megoldás
- 2. gyakorlat
- Megoldás
- Irodalom
A háromszögek lapos és zárt geometriai alakzatok, három oldalból állnak. A háromszöget három vonal határozza meg, amelyek metszik egymást, és három szöget képeznek egymással. A szimbolizmussal teli háromszög alakú számú tárgyban jelenik meg, és mint az építkezés eleme.
A háromszög eredete elveszett a történelemben. A régészeti bizonyítékokból ismert, hogy a primitív emberiség jól ismerte, mivel a régészeti maradványok megerősítik, hogy szerszámokban és fegyverekben használták.

1. ábra. Háromszögek. Forrás: Közösségi domain képek.
Az is nyilvánvaló, hogy az ókori egyiptomiak szilárd ismeretekkel rendelkeznek a geometria és különösen a háromszög alakja terén. Ezek tükröződtek a monumentális épületek építészeti elemeiben.
A Rhind papiruszban található a képletek a háromszögek és a trapézok területének kiszámításához, valamint néhány kötet és a rudimenzionális trigonometria fogalma.
A maga részéről ismert, hogy a babilóniaiak képesek voltak kiszámítani a háromszög területét és más geometriai ábrákat, amelyeket gyakorlati célokra használtak, például a föld felosztását. A háromszögek sok tulajdonságáról is tájékozottak voltak.
Ugyanakkor az ókori görögök szisztematizálták a mai napig elterjedt geometriai fogalmakat, noha ezen ismeretek nagy része nem volt kizárólagos, mivel biztosan megosztották ezeket a többi ősi civilizációt.
Háromszög elemek
Bármely háromszög elemeit az alábbi ábra mutatja. Három van: csúcsok, oldalak és szögek.

2. ábra: A háromszögek és elemeik jelölése. Forrás: Wikimedia Commons, módosította F. Zapata
-Szög: azon vonalak metszéspontjai, amelyek szegmensei meghatározzák a háromszöget. A fenti ábrán például az AC szegmenst tartalmazó L AC vonal pontosan az A pontban keresztezi az L AB egyeneset, amely az AB szegmenst tartalmazza.
- oldalak: az egyes csúcspárok között egy vonalszakaszt húzunk, amely a háromszög egyik oldalát alkotja. Ezt a szegmenst meg lehet jelölni a végbetűkkel, vagy egy konkrét betű segítségével meghívhatjuk. A 2. ábra példájában az AB oldalt "c" -nek is nevezzük.
- Szögek: A közös csúcsú oldalak között egy szög jön létre, amelynek csúcsa egybeesik a háromszög szögével. A szöget általában egy görög betű jelöli, amint az elején szerepel.
Egy adott alak és méretű háromszög felépítéséhez a következő adatkészletek egyikével kell rendelkeznie:
- A három oldal, egy háromszög esetében teljesen nyilvánvaló.
-Két oldalt és a szöget közöttük, és azonnal meghúzza a fennmaradó oldalt.
-Két (belső) szöget és közöttük lévő oldalt. Meghosszabbítva a két hiányzó oldalt felhívjuk és a háromszög készen áll.
Jelölés
Általában a háromszög jelölésében a következő konvenciókat alkalmazzák: a csúcsokat nagybetűs latin betűkkel, az oldalakat kis latin betűkkel, a szöget görög betűkkel jelöljük (lásd a 2. ábrát).
Ily módon a háromszöget a csúcsai szerint nevezik el. Például a 2. ábrán bal oldalon található háromszög ABC háromszög, a jobb oldalon pedig A'B'C 'háromszög.
Más jelölések is használhatók; például a 2. ábrán az α szöget BAC-ként jelöljük. Vegye figyelembe, hogy a csúcs betűje középen megy, és a betűk az óramutató járásával ellentétes irányban vannak írva.
Más esetekben caret-t használnak a szög jelölésére:

α = ∠A
Háromszögek típusai
Számos kritérium létezik a háromszögek osztályozására. A leggyakoribb az, ha osztályozzák őket oldalsó méretük vagy szögelük alapján. A háromszögek, oldalaik méretétől függően, lehetnek: szánok, egyenlő szárúak vagy egyenlő oldalak:
-Scaleno: Három oldala különbözik.
-Isósceles: két egyenlő oldallal és egy másik oldallal rendelkezik.
-Equilátero: a három oldal egyenlő.

3. ábra: A háromszögek osztályozása oldaluk szerint. Forrás: F. Zapata
A háromszögeket szögeik méretének megfelelően így kell megnevezni:
- Elakadás, ha az egyik belső szög nagyobb, mint 90º.
- Akut szög, ha a háromszög három belső szöge akut, azaz kevesebb mint 90º
- Téglalap, abban az esetben, ha annak egyik belső szöge megéri 90º-t. A 90º-os oldalakat lábaknak nevezzük, a derékszöggel ellentétes oldalakat pedig a hipotenusznak.

4. ábra: A háromszögek osztályozása belső szögek szerint. Forrás: F. Zapata.
Háromszögek összehúzódása
Ha két háromszög azonos formájú és azonos méretű, akkor azt mondják, hogy összetartósak. A kongruencia természetesen az egyenlőséggel kapcsolatos, akkor miért beszélünk a geometriaban a „két azonos háromszög” helyett a „két egyenlő háromszög” helyett?
Nos, inkább a "kongruencia" kifejezést használjuk az igazsághoz való ragaszkodáshoz, mivel két háromszög alakja és mérete azonos, de a síkban eltérően lehet orientálva (lásd a 3. ábrát). Geometria szempontjából már nem lennének szigorúan azonosak.

5. ábra. Csonkoló háromszögek, de nem feltétlenül azonosak, mivel a síkban való orientációjuk eltérő. Forrás: F. Zapata.
Összehúzódási kritériumok
Két háromszög egybeesik, ha a következők bármelyike előfordul:
-A három oldal ugyanazt méri (ismét ez a legnyilvánvalóbb).
- Két azonos oldaluk van, és egymással azonos szögben vannak.
- Mindkettőnek két azonos belső szöge van, és a szögek közötti oldal ugyanaz.
Mint látható, a két háromszög körülbelül megfelel a szükséges feltételeknek, így építésükkor alakjuk és méretük pontosan megegyeznek.
A kongruenciakritériumok nagyon hasznosak, mivel a gyakorlatban számtalan darabot és mechanikus alkatrészt sorozatban kell gyártani, oly módon, hogy méréseik és alakjuk pontosan megegyezzen.
A háromszögek hasonlósága
A háromszög hasonló a másikhoz, ha azonos alakúak, még akkor is, ha különböző méretűek. Annak biztosítása érdekében, hogy az alak azonos legyen, szükséges, hogy a belső szögek azonosak legyenek, és hogy az oldalak arányosak legyenek.

6. ábra. Két hasonló háromszög: méretük különbözik, de arányuk megegyezik. Forrás: F. Zapata.
A 2. ábra háromszögei is hasonlóak, mint a 6. ábrán is. Ilyen módon:
Az oldalakat illetően a következő hasonlósági arányok érvényesek:
Tulajdonságok
A háromszögek alapvető tulajdonságai a következők:
- Bármely háromszög belső szögeinek összege mindig 180º.
- Bármely háromszög esetén a külső szögeinek összege 360 °.
- A háromszög külső szöge megegyezik a szöggel nem szomszédos két belső szög összegével.
tételek
Thales első tétele
Ezeket a görög filozófust és Thales of Miletus filozófust és matematikusnak tulajdonítják, akik több geometriával kapcsolatos tételt fejlesztettek ki. Az első állítja a következőket:

7. ábra. Thales-tétel. Forrás: F. Zapata.
Más szavakkal:
a / a´ = b / b´ = c / c´
Thales első tétele háromszögre alkalmazható, például balra van az ABC kék háromszög, amelyet a jobb oldalon lévő piros párhuzamok vágnak le:

8. ábra. Thales tétel és hasonló háromszögek.
Az AB'C 'lila háromszög hasonló az ABC kék háromszöghez, tehát Thales-tétel szerint az alábbiakat lehet írni:
AB´ / AC´ = AB / AC
És összhangban áll azzal, amit korábban magyaráztak a háromszögek hasonlóságának szegmensében. Mellesleg, a párhuzamos vonalak lehetnek függőlegesek vagy párhuzamosak a hipotenuussal is, és hasonló háromszögek képződnek ugyanúgy.
Thales második tétele
Ez a tétel egy olyan háromszögre és körre is vonatkozik, amelyek O középpontja az alábbiakban látható. Az ábrán az AC a kerület átmérője és B egy pont rajta, B különbözik az A-tól B-től.
Thales második tétele szerint:

9. ábra. Thales második tétele. Forrás: Wikimedia Commons. Inductiveload.
A Pitagóra-tétel
Ez a történelem egyik leghíresebb tétele. Ennek oka a Samos görög matematikus Pythagoras (ie 569-475), és egy derékszögű háromszögre alkalmazható. Azt mondja:
Ha például a 8. ábrán látható kék háromszöget vagy a lila háromszöget vesszük, mivel mindkettő téglalap, akkor elmondható, hogy:
AC 2 = AB 2 + BC 2 (kék háromszög)
AC´ 2 = AB´ 2 + BC´ 2 (lila háromszög)
A háromszög területe
A háromszög területét az a bázis szorzata és h magassága osztja meg 2-vel. És trigonometria segítségével ez a magasság h = b sinθ lehet.

10. ábra: A háromszög területe. Forrás: Wikimedia Commons.
Példák háromszögekre
1. példa
Azt mondják, hogy első tételével Thalesnek sikerült megmérnie az egyiptomi nagy piramis magasságát, az ókori világ 7 csodájának egyikét, megmérve a földre kivetített árnyékot és a földbe vetett tét által kivetített árnyékot.
Ez a Tales által követett eljárás vázlata:

11. ábra: A nagy piramis magasságának mérési sémája a háromszögek hasonlósága alapján. Forrás: Wikimedia Commons. dake
Thales helyesen feltételezte, hogy a nap sugarai párhuzamosan sztrájkolnak. Ezt szem előtt tartva elképzelte a jobb oldali nagy, háromszöget.
Itt D a piramis magassága, C pedig a talaj feletti távolság a közepétől a piramis által a sivatagi padlón öntött árnyékig mérve. A C mérése nehézkes lehet, de minden bizonnyal könnyebb, mint a piramis magasságának mérése.
Bal oldalon egy kis háromszög, A és B lábakkal, ahol A a függőlegesen a talajba vezetett tét magassága, és B az árnyéka, amelyet vet. Mindkét hossz mérhető, mint a C (C egyenlő az árnyék hosszával + a piramis hosszának felével).
Tehát, a háromszögek hasonlósága alapján:
A / B = D / C
És a Nagy Piramis magassága kiderül: D = C. (A / B)
2. példa
A polgári építkezésen lévő rácsok vékony, egyenes, fából vagy fémből készült keresztezett keretek, amelyek sok épületben támasztékként szolgálnak. Rácsoknak, rácsoknak vagy rácsoknak is ismertek.
Ezekben a háromszögek mindig jelen vannak, mivel a rudak csomópontoknak nevezett pontokban vannak összekötve, amelyek rögzíthetők vagy csuklósak.

12. ábra. A háromszög jelen van a híd keretében. Forrás: PxHere.
3. példa
A háromszögelésnek nevezett módszer lehetővé teszi a hozzáférhetetlen pontok helyének meghatározását más, könnyebben mérhető távolságok ismeretében, feltéve, hogy háromszög alakul ki, amely tartalmazza a csúcsok közötti kívánt helyet.
Például a következő ábrán szeretnénk tudni, hogy a hajó hol van a tengerben, B-vel jelölve.

13. ábra: A hajó helyének háromszögelési sémája. Forrás: Wikimedia Commons. Colette
Először megmérik a tengerparton lévő két pont közötti távolságot, amelyek az ábrán A és C. Ezután az α és β szöget teodolit segítségével kell meghatározni, amely egy eszköz a függőleges és a vízszintes szögek mérésére.
Mindezekkel az információkkal egy háromszöget építenek be, amelynek felső csúcsa a hajó. A hajó tengeri helyzetének meghatározásához a γ szöget ki kell számítani a háromszögek tulajdonságai, valamint az AB és CB távolságok trigonometria segítségével.
Feladatok
1. Feladat
Az ábrán a nap sugarai párhuzamosak. Ily módon az 5 méter magas fa 6 méteres árnyékot vet a földre. Ugyanakkor az épület árnyéka 40 méter. Thales első tételét követve keresse meg az épület magasságát.

14. ábra: A megoldott feladat sémája 1. Forrás: F. Zapata.
Megoldás
A piros háromszög oldala 5, illetve 6 méter, a kéknek H magassága - az épület magassága - és az alapja 40 méter. Mindkét háromszög hasonló, tehát:
2. gyakorlat
Tudnia kell a két A és B pont közötti vízszintes távolságot, de ezek nagyon egyenetlen talajon helyezkednek el.
Az említett terep közepén (P m) 1,75 méter magas kilátás nyílik kiemelkedőnek. Ha a mérőszalag 26 méter hosszú, A-től előtérig mérve, és B-től 27 méterig ugyanahhoz a ponthoz, akkor keresse meg az AB távolságot.

15. ábra: A megoldott feladat vázlata 2. Forrás: Jiménez, R. Matematika II. Geometria és trigonometria.
Megoldás
A Pitagorasi tételt az ábra két jobb háromszögének egyikére kell alkalmazni. A bal oldalon kezdve:
Hypotenuse = c = 26 méter
Magasság = a = 1,75 méter
AP m = (26 2 - 1,75 2) 1/2 = 25,94 m
Most alkalmazza a Pythagoras-t a jobb oldali háromszögben, ezúttal c = 27 méter, a = 1,75 méter. Ezekkel az értékekkel:
BP m = (27 2 - 1,75 2) 1/2 = 26,94 m
Az AB távolságot az alábbi eredmények hozzáadásával kaphatjuk meg:
AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.
Irodalom
- Baldor, JA, 1973. Sík és űrgeometria. Közép-amerikai kulturális.
- Barredo, D. A háromszög geometriája. Helyreállítva: ficus.pntic.mec.es.
- Jiménez, R. 2010. Matematika II. Geometria és trigonometria. Második kiadás. Pearson.
- Wentworth, G. Sík geometria. Helyreállítva: gutenberg.org.
- Wikipedia. Háromszög. Helyrehozva: es. wikipedia.org.
