HÁROMSÁVOS FORMÁJA X ^ 2 + BX + C (PÉLDÁKKAL) - MATEMATIKA - 2026

Mielőtt megtanulnánk megoldani az x ^ 2 + bx + c formájú trinomust, és még mielőtt megismernénk a trinomial fogalmát, fontos megismerni két alapvető fogalmat; nevezetesen a monomiális és a polinom fogalmait. A monomial az a * x ⁿ típusú kifejezés, ahol a egy racionális szám, n egy természetes szám és x egy változó.

A polinom lineáris kombinációja egytagú a nyomtatvány egy _n * x ⁿ + egy _n-1 * X ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀, ahol minden egy _i, ahol i = 0,…, n, egy racionális szám, n természetes szám, és a_n nulla. Ebben az esetben a polinom fokát n-nek mondják.

Csak két, egymástól eltérő fokú kifejezés (két monomium) összegéből álló polinomot hívunk binomiálisnak.

Trinomials

Csak három különbözõ fokú kifejezés (három monomium) összegébõl álló polinomot hívjuk trinomiumnak. Az alábbiakban példák a trinomialisokra:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Többféle trinomium létezik. Ezek közül kiemelkedik a tökéletes négyzet alakú trinomium.

Tökéletes négyzet alakú trinomial

A tökéletes négyzet alakú trinomium a binomiális metszésének eredménye. Például:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴) ² = 16x ⁴ 16x ² y ⁴ + 4Y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴) ² -2 (1 / 4xy ⁴) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

A 2. fokozatú trinomumok jellemzői

Tökéletes négyzet

Általában véve az ax ² + bx + c alakú trinomium tökéletes négyzet, ha diszkriminátora nulla; vagyis ha b ² -4ac = 0, mivel ebben az esetben egyetlen gyökérrel rendelkezik, és kifejezhető a (xd) ² = (√a (xd)) ^{2 formában}, ahol d a már említett gyökér.

A polinom gyöke olyan szám, amelyben a polinom nulla lesz; más szavakkal, egy szám, amely az x helyettesítésével a polinom kifejezésben nullát eredményez.

Megoldó formula

Az ax ² + bx + c alakú másodfokú polinom gyökereinek kiszámítására szolgáló általános képlet az oldószerképlet, amely kimondja, hogy ezeket a gyökereket (–b ± √ (b ² -4ac)) adja meg / 2a, ahol a b ² -4ac ismert, mint a diszkrimináns és általában jelöljük Δ. Ebből a képletből következik, hogy az ax ² + bx + c axe:

- Két különböző valódi gyökér, ha ∆> 0.

- Egy valódi gyökér, ha ∆ = 0.

- Nincs valódi gyökere, ha ∆ <0.

A következőkben csak az x ² + bx + c formájú trinómokat vesszük figyelembe, ahol egyértelműen, hogy c-nek nullától eltérő számnak kell lennie (különben binomiális lenne). Az ilyen típusú trinomialisoknak vannak bizonyos előnyeik, ha faktoring alatt állnak és velük üzemelnek.

Geometriai értelmezés

Geometriailag a trinomiális x ² + bx + c egy parabola, amely megnyitja felfelé állnak, és a vertex pontban (-B / 2, -B ² /4 + c) a derékszögű sík, hogy x ² + bx + c = (x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Ez a parabola vágja az Y tengelyt a (0, c) pontban és az X tengelyt a (d ₁, 0) és (d ₂, 0) pontokban; akkor d ₁ és d ₂ a trinomium gyökerei. Előfordulhat, hogy a trinomiumnak egyetlen d gyökere van, ebben az esetben az X tengely egyetlen vágása lenne (d, 0).

Előfordulhat, hogy a trinomiumnak nincs valódi gyöke, ebben az esetben az X tengelyt egyetlen pontban sem keresztezi.

Például, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² a (-3,0) -on lévő csúcsú parabola, amely keresztezi az Y tengelyt (0, 9) és az X tengely felé (-3,0).

Háromság faktoring

Egy nagyon hasznos eszköz a polinomokkal történő munkavégzéshez a faktoring, amely egy polinomnak a tényezők szorzataként történik. Általában véve, ha egy trinomális formájú x ² + bx + c, ha két különbözõ gyöke van d ₁ és d ₂, akkor úgy számolhatjuk, hogy (xd ₁) (xd ₂).

Ha egy d gyökérrel rendelkezik, akkor ezt úgy számolhatjuk, hogy (xd) (xd) = (xd) ², és ha nincs valódi gyökér, akkor ugyanaz marad; ebben az esetben nem ismeri el a faktorizációt, mint önmagától eltérő tényezők terméke.

Ez azt jelenti, hogy ha ismeri a trinomium gyökereit a már kialakult formában, annak faktorizációja könnyen kifejezhető, és mint már fentebb említettük, ezeket a gyökereket mindig az oldószer segítségével lehet meghatározni.

Jelentős mennyiségű ilyen típusú trinomális anyag is beépíthető anélkül, hogy először megismernék a gyökereket, ami egyszerűsíti a munkát.

A gyökerek közvetlenül a faktorizációból meghatározhatók az oldószerképlet használata nélkül; ezek az x ² + (a + b) x + ab formájú polinomok. Ebben az esetben:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Ebből könnyen látható, hogy a gyökerek –a és –b.

Más szavakkal, adva egy trinomiális x ² + bx + c, ha két u és v szám olyan, hogy c = uv és b = u + v, akkor x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Vagyis, ha trinomiális x ² + bx + c van, akkor először ellenőrizzük, hogy van-e olyan szám, amelyben megszorozva független c értéket adnak, és összeadják (vagy kivonják, az esettől függően), akkor az x (b).

Nem minden trinomium esetében alkalmazható ez a módszer; amelyben ez nem lehetséges, a felbontást használják, és a fentiek érvényesek.

Példák

1. példa

A következő trinomiális x ² + 3x + 2 tényező meghatározásához hajtsa végre az alábbiakat:

Két számot kell találnia, úgy, hogy összeadva az eredmény 3, és szorzásukkor az eredmény 2 legyen.

A vizsgálat elvégzése után megállapítható, hogy a keresett számok: 2 és 1. Ezért x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

2. példa

A trinomiális x ² -5x + 6 tényezőjének meghatározásához két számot keressünk, amelyek összege -5, és szorzata 6. A két feltételnek megfelelő számok -3 és -2. Ezért az adott trinomium faktorizálása x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Irodalom

1. Fuentes, A. (2016). ALAPMÁNY. Bevezetés a kalkulusba. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratikus egyenletek: Hogyan lehet megoldani a kvadratikus egyenletet? Marilù Garo.
3. Haeussler, EF és Paul, RS (2003). Matematika a menedzsment és a közgazdaságtan számára. Pearson oktatás.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., és Estrada, R. (2005). Matematika 1. szeptember. Küszöb.
5. Preciado, CT (2005). 3. matematika tanfolyam Szerkesztői Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Easy! Olyan egyszerű. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra és trigonometria. Pearson oktatás.