FOLYAMATOS VÁLTOZÓ: JELLEMZŐK, PÉLDÁK ÉS GYAKORLATOK - FIZIKAI - 2026

A folyamatos változó az, amely végtelen számú numerikus értéket vehet fel két megadott érték között, még akkor is, ha ez a két érték önkényesen közel van. A mérhető tulajdonságok leírására szolgálnak; például magasság és súly. A folyamatos változó értékei lehetnek racionális számok, valós számok vagy komplex számok, bár az utóbbi eset ritkábban fordul elő a statisztikákban.

A folyamatos változók fő jellemzője, hogy két racionális vagy valós érték között mindig megtalálható egy másik, e másik és az első között pedig végtelenségig.

1. ábra: A görbe egy folytonos eloszlást, a rudakat pedig diszkrét. Forrás: pixabay

Tegyük fel például a változó súlyt olyan csoportban, ahol a legnehezebb súlya 95 kg, a legalacsonyabb pedig 48 kg; ez a változó tartománya, és a lehetséges értékek száma végtelen.

Például 50,00 kg és 50,10 kg között lehet 50,01. De 50.00 és 50.01 között lehet az 50.005 mérték. Ez egy folyamatos változó. Másrészt, ha a lehetséges súlyméréseknél egy tizedes pontosságot állítanánk elő, akkor az alkalmazott változó diszkrét lenne.

A folyamatos változók a kvantitatív változók kategóriájába tartoznak, mert számértékük van hozzájuk társítva. Ennek a számértéknek köszönhetően matematikai műveleteket lehet végezni, kezdve a számtani és a végtelen számítási módszereket.

Példák

A fizikában a legtöbb változó folytonos változó, köztük hossz: idő, idő, sebesség, gyorsulás, energia, hőmérséklet és mások.

Folyamatos és diszkrét változók

A statisztikákban különféle típusú változókat lehet meghatározni, mind kvalitatív, mind kvantitatív módon. A folyamatos változók az utóbbi kategóriába tartoznak. Ezekkel számtani és számítási műveleteket lehet végrehajtani.

Például a h változó, amely megfelel az 1,50 m és 1,95 m közötti magasságú embereknek, egy folyamatos változó.

Hasonlítsuk össze ezt a változót ezzel: a hányszor érme dobja fel a fejét, amit n-nek hívunk.

Az n változó értéke 0 és a végtelenség között lehet, azonban n nem folyamatos változó, mivel nem veszi fel az 1.3 vagy 1.5 értéket, mert az 1. és 2. érték között nincs más. Ez egy diszkrét változó példája.

Folyamatos változók gyakorlása

Vegyük figyelembe a következő példát: egy gép gyufaszálokat gyárt és csomagol a dobozába. Két statisztikai változót határozunk meg:

A névleges illesztési hossz 5,0 cm, 0,1 cm tűréshatárral. A dobozonkénti mérkőzések száma 50, tűréshatárok 3.

a) Mutassa be az L és N értéktartományát.

b) Hány értéket tud venni L?

c) Hány értéket tud venni?

Adja meg minden esetben, hogy diszkrét vagy folyamatos változóról van-e szó.

Megoldás

L értékei tartományban vannak; vagyis az L értéke az intervallumban van, és az L változó végtelen értékeket vehet fel e két mérés között. Ez akkor egy folyamatos változó.

Az n változó értéke az intervallumban van. Az n változó csak 6 lehetséges értéket vehet fel a tolerancia intervallumban, ez akkor diszkrét változó.

Gyakorlása

Ha a változó által vett értékek mellett a folytonosság mellett bizonyos előfordulási valószínűséggel is hozzájuk társulnak, akkor ez egy folyamatos véletlen változó. Nagyon fontos megkülönböztetni, hogy a változó diszkrét vagy folyamatos-e, mivel az egyikre és a másikra alkalmazandó valószínűségi modellek eltérőek.

A folyamatos véletlen változót akkor határozzuk meg teljesen, amikor ismertek vannak az általa feltételezhető értékek és annak valószínűsége, hogy mindegyikük megtörténik.

-A valószínűségek 1. gyakorlása

A házasságíró oly módon készíti el őket, hogy a botok hossza mindig 4,9 cm és 5,1 cm értékek között legyen, és nulla ezen értékeken kívül. Valószínűsíthető, ha olyan botot kapunk, amelynek mérete 5,00–5,05 cm, bár 5000 000 cm-ből is kibonthatjuk az egyiket. Ezek az értékek ugyanolyan valószínűek?

Megoldás

Tegyük fel, hogy a valószínűségi sűrűség egységes. Az alábbiakban felsoroljuk annak valószínűségét, hogy egy bizonyos hosszúságú mérkőzést megtaláljunk:

-Amely egyezés a tartományba esik, valószínűsége = 1 (vagy 100%), mivel a gép nem rajzol meccseket ezen értékeken kívül.

-A 4,9 és 5,0 közötti mérkőzés valószínűsége = ½ = 0,5 (50%), mivel ez a hosszúság tartományának fele.

- És annak a valószínűsége, hogy a meccs hossza 5,0 és 5,1 között van, szintén 0,5 (50%)

- Ismert, hogy nincsenek 5,0 és 5,2 közötti hosszúságú gyufaszálok. Valószínűség: nulla (0%).

Valószínűség, hogy egy fogpiszkálót egy adott tartományban találjanak

Most figyeljük meg az alábbi P valószínűségeket, ha olyan botokhoz jutunk, amelyek hossza l ₁ és l _{2 között van}:

-P, amelyben a meccs hossza 5,00 és 5,05 között van, P () -ként van jelölve:

-P, hogy a hegy hossza 5,00 és 5,01 között van:

-P, hogy a domb hossza 5000 és 5 001 között van, még kevesebb:

Ha folyamatosan csökkentjük az intervallumot, hogy közelebb kerüljünk az 5,00-hoz, akkor annak a valószínűsége, hogy egy fogpiszkáló pontosan 5,00 cm, nulla (0%). Mi az a valószínűsége, hogy egy bizonyos tartományon belül találunk egyezést.

Több fogpiszkáló valószínűsége egy adott tartományban

Ha az események függetlenek, akkor annak a valószínűsége, hogy két fogpiszkáló van egy bizonyos tartományban, valószínűségük szorzata.

-A valószínűsége annak, hogy két pálcika 5,0 és 5,1 között van, 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-A valószínűség, hogy 50 fogpiszkáló 5,0 és 5,1 között van, (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, vagyis szinte nulla.

-A valószínűség, hogy 50 fogpiszkáló 4,9 és 5,1 között van (1) ^ 50 = 1 (100%)

-A valószínűségek 2. gyakorlása

Az előző példában azt a feltételezést tettük, hogy a valószínűség egységes az adott intervallumban, ez azonban nem mindig van így.

A fogpiszkálót ténylegesen gyártó gép esetében az a valószínűség, hogy a fogpiszkáló középpontjában áll, nagyobb, mint az egyik szélsőséges értéknél. Matematikai szempontból ezt az f (x) függvénnyel modellezzük, amelyet valószínűségi sűrűségnek hívunk.

Az a valószínűség, hogy az L mérték a és b között van, az f (x) függvény határozott integráljával számítják ki az a és b között.

Tegyük fel például, hogy meg akarjuk találni az f (x) függvényt, amely egyenletes eloszlást képvisel az 1. gyakorlat 4.9 és 5.1 értékei között.

Ha a valószínűségi eloszlás egyenletes, akkor f (x) egyenlő c állandóval, amelyet úgy határozunk meg, hogy az integrált elvégezzük c 4,9 és 5,1 között. Mivel ez az integrál a valószínűség, akkor az eredménynek 1-nek kell lennie.

2. ábra. Egységes valószínűségi sűrűség. (Saját kidolgozás)

Ami azt jelenti, hogy c értéke 1 / 0,2 = 5, vagyis az egyenletes valószínűség-sűrűségfüggvény f (x) = {5, ha 4,9≤x≤5,1 és 0 ezen a tartományon kívül esik. Az egységes valószínűségi sűrűségfüggvényt a 2. ábra mutatja.

Vegye figyelembe, hogy az azonos szélességű intervallumokban (például 0,02) a valószínűség a közepén ugyanaz, mint az L folyamatos változó tartományának végén (fogpiszkáló hossz).

Reálisabb modell lenne a következő valószínűségi sűrűségfüggvény:

3. ábra. Nem egyenletes valószínűségsűrűségfüggvény. (Saját kidolgozás)

A 3. ábrán látható, hogy a fogpiszkálás valószínűsége 4,99 és 5,01 (szélesség 0,02) között nagyobb, mint a 4,90 és 4,92 közötti (0,02 szélességű) fogpiszkálásnál.

Irodalom

1. Dinov, Ivo. Diszkrét véletlenszerű változók és valószínűségi eloszlások. Vissza a következőhöz: stat.ucla.edu
2. Diszkrét és folyamatos véletlen változók. Vissza a következőhöz: ocw.mit.edu
3. Diszkrét véletlenszerű változók és valószínűségi eloszlások. Vissza a következőhöz: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Bevezetés a valószínűségbe. Helyreállítva: valószínűségi course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statisztika a menedzsment és a közgazdaságtan számára. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Véletlen változók problémái és valószínűségi modellek. Helyreállítva: ugr.es.
7. Wikipedia. Folyamatos változó. Helyreállítva a wikipedia.com webhelyről
8. Wikipedia. Statisztikai változó. Helyreállítva a wikipedia.com webhelyről.