VEKTOR: JELLEMZŐK ÉS TULAJDONSÁGOK, ELEMEK, TÍPUSOK, PÉLDÁK - TUDOMÁNY - 2026

A vektorok matematikai egységek, amelyek általában mértékegységet kísérnek -pozitivitás-nagysággal és -iránnyal. Ezek a jellemzők nagyon alkalmasak a fizikai mennyiségek, például sebesség, erő, gyorsulás és még sok más leírására.

Vektorokkal lehetséges olyan műveleteket végrehajtani, mint például összeadás, kivonás és szorzatok. Az osztódást nem határozták meg a vektorok esetében, és a termékhez hasonlóan három osztály létezik, amelyeket később leírunk: pont szorzat vagy pont, vektor szorzat vagy kereszt és egy skalár szorzata egy vektor által.

1. ábra: A vektor elemei. Forrás: Wikimedia Commons.

A vektor teljes leírása érdekében meg kell adni annak összes jellemzőjét. A nagyság vagy a modul egy numerikus érték, egységet kísérve, míg az irányt és az értéket egy koordinátarendszer segítségével állapítják meg.

Nézzünk meg egy példát: Tegyük fel, hogy egy repülőgép repül egyik városból a másikba 850 km / h sebességgel NE irányba. Itt van egy teljesen meghatározott vektor, mivel rendelkezésre áll a nagyság: 850 km / h, míg az irány és az érzékelés NE.

A vektorokat általában grafikusan egy orientált vonalszakasz képviseli, amelyek hossza arányos a nagysággal.

Míg az irány és az érzék meghatározásához referenciavonalra van szükség, amely általában a vízszintes tengely, bár viszont referenciaként észak is tekinthető, ilyen a sík sebessége:

2. ábra. Sebességvektor. Forrás: F. Zapata.

Az ábra mutatja a sebességet vektor a sík, jelöli, v a félkövér betűtípussal, hogy megkülönböztessék a skaláris mennyiség, amely csak egy numerikus érték és néhány egységet meg kell határozni.

A vektor elemei

Mint már említettük, a vektor elemei:

- Magasság vagy modul, néha a vektor abszolút értékének vagy normának is nevezik.

-Cím

-Érzék

A 2. ábra példájában a v modulusa 850 km / h. A modulust v félkövér nélkül jelölik, vagy as - v - ként, ahol a rudak az abszolút értéket képviselik.

A v irányát északhoz viszonyítva kell megadni. Ebben az esetben a keletre 45 ° -tól északra található (45 ° NE). Végül a nyíl csúcsa tájékoztatja a v értelméről.

Ebben a példában a vektor eredetét rajzoltuk egybe a koordinátarendszer O eredetével, ezt kapcsolt vektornak nevezzük. Másrészről, ha a vektor eredete nem egybeesik a referenciarendszer eredetével, azt állítják, hogy szabad vektor.

Meg kell jegyezni, hogy a vektor teljes meghatározásához ezt a három elemet figyelembe kell venni, különben a vektor leírása hiányos lenne.

Egy vektor téglalap alakú alkotóelemei

3. ábra: Egy vektor téglalap alakú komponensei a síkban. Forrás: Wikimedia Commons. uranther

A képen van v példavektorunk, amely xy síkban van.

Könnyű belátni, hogy az x és y koordinátatengely v vetülete egy derékszögű háromszöget határoz meg. Ezek a kiemelkedések v _{y és} v _x, és a v téglalap alakú összetevői.

Az egyik módszer a v jelölésére téglalap alakú komponenseivel: v =x, v _és >. Ezeket a zárójeleket zárójelek helyett használjuk annak hangsúlyozására, hogy vektor, nem pedig egy pont, mivel ebben az esetben a zárójelek kerülnek felhasználásra.

Ha a vektor háromdimenziós térben van, akkor még egy komponensre van szükség, így:

v =x, v _y, v _z >

Ismerve a téglalap alakú komponensek nagysága a vektor kiszámítása, egyenlő annak megállapításával, a átfogója a derékszögű háromszög, amelynek a lábak v _x és v _{és ,.} A Pitagóra-tétel segítségével az alábbiak szerint járhat:

A vektor poláris formája

Ha a vektor - v - nagysága és a referenciatengellyel - általában a vízszintes tengelyével - előállított θ szög ismert, a vektort szintén meg kell határozni. Azt állítják, hogy a vektor poláris formában fejeződik ki.

A téglalap alakú alkatrészeket ebben az esetben könnyen kiszámíthatjuk:

A fentiek szerint a sík v sebességi vektorának téglalap alakú komponensei a következők lennének:

típusai

Különböző típusú vektorok léteznek. Vannak sebesség, helyzet, elmozdulás, erő, elektromos mező, lendület és még sok más vektorok. Mint már említettük, a fizikában nagy számban van vektor-mennyiség.

Bizonyos jellemzőkkel bíró vektorok közül a következő vektorokat említhetjük:

-Null: ezek olyan vektorok, amelyek nagysága 0, és amelyeket 0-val jelölnek . Ne feledje, hogy a vastag betű szimbolizálja a vektor három alapvető tulajdonságát, míg a normál betű csak a modult jelöli.

Például egy statikus egyensúlyban lévő testnél az erők összegének nullvektornak kell lennie.

- Szabad és kapcsolt: a szabad vektorok azok, amelyeknek kiindulási és érkezési pontjai a síkban vagy a térben lévő bármelyik párt tartalmaznak, ellentétben a kapcsolt vektorokkal, amelyek eredete egybeesik a leírásukhoz használt referenciarendszer eredetével.

A pár erõ által létrehozott pár vagy pillanat jó példa a szabad vektorra, mivel a pár nem vonatkozik egy adott pontra.

- Equipolentes: két szabad vektor, amelyek azonos tulajdonságokkal rendelkeznek. Ezért egyenlő nagyságrendűek, irányuk és értelmesek.

- Másodlagos vagy más sík: ugyanahhoz a síkhoz tartozó vektorok.

- Ellentétek: azonos nagyságrendű és irányú, de ellentétes irányú vektorok. A v vektorral szemben lévő vektor a - v vektor, és mindkettő összege a nulla vektor: v + (- v) = 0.

- Párhuzamos: vektorok, amelyeknek a működési vonalai mind ugyanazon a ponton haladnak.

- Csúszkák: azok a vektorok, amelyek alkalmazáspontja egy adott vonal mentén csúszhat.

- Collinear: vektorok, amelyek ugyanazon a vonalon helyezkednek el.

- Egységes: azok a vektorok, amelyek modulja 1.

Ortogonális egységvektorok

A fizikában nagyon hasznos típusú vektor, ortogonális egységvektornak nevezik. Az ortogonális egységvektornak 1-es modulja van, és az egységek bármilyen lehetnek, például a sebesség, helyzet, erő vagy mások.

Különleges vektorok állnak rendelkezésre, amelyek segítenek más vektorok egyszerű ábrázolásában és az ezekkel végzett műveletek végrehajtásában: i, j és k ortogonális egységvektorok, egységek és merőlegesek egymásra.

Két dimenzióban ezek a vektorok mind az x, mind az y tengely pozitív irányában vannak irányítva. És három dimenzióban egy egységvektor kerül hozzáadásra a pozitív z tengely irányában. Ezek a következők:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Egy vektort az i, j és k egységvektorok ábrázolhatják a következők szerint:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Például az előző példákban szereplő v sebességvektor így írható:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

A k-beli komponens nem szükséges, mivel ez a vektor síkban van.

Vektor hozzáadása

A vektorok összege nagyon gyakran jelenik meg különböző helyzetekben, például amikor meg akarja találni a kapott erõt egy tárgyra, amelyet különbözõ erõk érintenek. Először tegyük fel, hogy két szabad u és v vektor van a síkon, amint az a bal oldali alábbi ábrán látható:

4. ábra. Két vektor grafikus összege. Forrás: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Azonnal óvatosan átviszik a v vektorba, anélkül, hogy megváltoztatnák annak nagyságát, irányát vagy érzékét, hogy eredete egybeesjen az u végével.

A vektorösszeget w-nek hívjuk, és az u-ból kezdve húzzuk v -ben, a jobb oldali ábra szerint. Fontos megjegyezni, hogy a w vektor nagysága nem feltétlenül jelenti v és u magnitúdók összegét.

Ha alaposan átgondoljuk, akkor az eredményül kapott vektor nagysága csak a kiegészítések magnitúdóinak összege, ha mindkét összeadás ugyanabban az irányban van, és ugyanaz az értelme.

És mi történik, ha a vektorok nem szabadok? Szintén nagyon könnyű őket hozzáadni. Ennek módja az, ha egy komponenst hozzáadunk az elemhez, vagy analitikai módszerrel.

Példaként nézzük meg a vektorokat a következő ábrán, az első dolog, hogy ezeket kifejezzük a korábban kifejtett kartéziai módszer egyikén:

5. ábra. Két kapcsolt vektor összege. Forrás: Wikimedia Commons.

v = <5,1>

u = <2,3>

A w összegvektor x-összetevőjének meghatározásához adjuk hozzá a v és u megfelelő x-összetevőit: w _x = 5 + 2 = 7. És ahhoz, hogy w _y- t kapjunk, analóg eljárást követünk: w _y = 1 + 3. Így:

u = <7,4>

A vektordeadíció tulajdonságai

- Két vagy több vektor összege másik vektort eredményez.

-Kommunikatív módon, a kiegészítések sorrendje nem változtatja meg az összeget oly módon, hogy:

u + v = v + u

- A vektorok összegének semleges eleme a nulla vektor: v + 0 = v

- Két vektor kivonását az ellenkező érték összegével kell meghatározni: v - u = v + (-u)

Vektoros példák

Mint mondtuk, a fizikában számos vektormennyiség létezik. A legismertebbek a következők:

-Pozíció

-Elmozdulás

-Átlagos sebesség és pillanatnyi sebesség

-Gyorsulás

-Kényszerítés

-A mozgás nagysága

-Nyomás vagy nyomaték

-Impulzus

-Elektromos mező

-Mágneses mező

-Mágneses pillanat

Másrészt nem vektorok, hanem skalárok:

-Időjárás

-Tömeg

-Hőfok

-Hangerő

-Sűrűség

-Mechanikai munka

-Energia

-Forró

-Erő

-Feszültség

-Elektromos áram

Egyéb vektorok közötti műveletek

A vektorok összeadásán és kivonásán kívül három másik nagyon fontos művelet is létezik a vektorok között, mivel ezek új, nagyon fontos fizikai mennyiségeket eredményeznek:

-Skallar termék vektor által.

- A vektorok közötti pont- vagy ponttermék

- És a két vektor közötti kereszt- vagy vektorterméket.

Skaláris és vektor terméke

Tekintsük Newton második törvénye, amely kimondja, hogy az erő F és a gyorsulás egy arányos. Az arányosság állandója a tárgy m tömege, tehát:

F = m. nak nek

A tömeg egy skalár; a részükben az erő és a gyorsulás vektorok. Mivel az erőt a tömegnek a gyorsulással való szorzásával nyerik, ez egy skalár és egy vektor szorzatának eredménye.

Az ilyen típusú termék mindig vektort eredményez. Itt van egy másik példa: a mozgás mennyisége. Legyen P a lendületvektor, v a sebességvektor, és mint mindig, m a tömeg:

P = m. v

Pont- vagy ponttermék a vektorok között

A mechanikus munkát felvittük azon mennyiségek listájára, amelyek nem vektorok. A fizikai munka azonban olyan vektorok közötti művelet eredménye, melyeket skaláris terméknek, belső terméknek vagy pontterméknek neveznek.

Legyen v és u vektorok, definiáljuk a közöttük lévő pont- vagy skaláris szorzót:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Ahol θ a kettő közötti szög. A bemutatott egyenletből azonnal következik, hogy a ponttermék eredménye skaláris, és hogy ha mindkét vektor merőleges, akkor pont szorzata 0.

Visszatérve a W mechanikai munkához, ez az F erő vektor és ℓ elmozdulási vektor közötti skaláris szorzat.

Ha vektorok állnak rendelkezésre összetevőik szempontjából, akkor a ponttermék is nagyon könnyen kiszámítható. Ha v =x, v _y, v _z > y u =x, u _y, u _z >, a kettő közötti pont szorzata:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

A vektorok közötti ponttermék kommutációs, ezért:

v ∙ u = u ∙ v

Keresztmetszet vagy vektor termék vektorok között

Ha v és u a két példavektorunk, akkor a vektorterméket a következőképpen definiáljuk:

v x u = w

Azonnal következik, hogy a kereszttermék olyan vektort eredményez, amelynek modulusát a következőképpen határozzuk meg:

Ahol θ a vektorok közötti szög.

A keresztirányú termék nem kommutációs, ezért v x u ≠ u x v. Valójában v x u = - (u x v).

Ha a két példa szerinti vektort egységvektorokban fejezzük ki, megkönnyítjük a vektortermék kiszámítását:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Keresztezzék a termékeket az vektorok között

Az azonos egységvektorok közötti kereszttermék nulla, mivel az egymás közötti szög 0 °. De a különféle egységvektorok között a szög 90 ° és a sin 90 ° = 1.

Az alábbi ábra segít megtalálni ezeket a termékeket. A nyíl irányában pozitív, ellentétes irányban pedig negatív:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

A vektorok közötti termékekre és az egységvektorok tulajdonságaira továbbra is érvényes eloszlási tulajdonság alkalmazásával:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k) x (u _x i + u _y j + u _z k) =

Megoldott gyakorlatok

- 1. Feladat

Tekintettel a vektorokra:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Mi legyen a w vektor, hogy a v + u + w összeg 6 i +8 j -10 k legyen ?

Megoldás

Ezért teljesíteni kell, hogy:

A válasz: w = 9 i +7 j - 18 k

- 2. gyakorlat

Mekkora a v és u vektorok közötti szög az 1. gyakorlatban?

Megoldás

A dot terméket fogjuk használni. A meghatározásból:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Ezeknek az értékeknek a helyettesítése:

Irodalom

1. Figueroa, D. (2005). Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Kinematika. Szerkesztette Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fizika: alapelvek alkalmazásokkal. 6.. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. A fizika alapjai. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Egyetemi fizika a modern fizikával. 14-én. Ed. 1. kötet.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Ed. Cengage Learning.