- A vektor elemei
- Egy vektor téglalap alakú alkotóelemei
- A vektor poláris formája
- típusai
- Ortogonális egységvektorok
- Vektor hozzáadása
- A vektordeadíció tulajdonságai
- Vektoros példák
- Egyéb vektorok közötti műveletek
- Skaláris és vektor terméke
- Pont- vagy ponttermék a vektorok között
- Keresztmetszet vagy vektor termék vektorok között
- Keresztezzék a termékeket az vektorok között
- Megoldott gyakorlatok
- - 1. Feladat
- Megoldás
- - 2. gyakorlat
- Megoldás
- Irodalom
A vektorok matematikai egységek, amelyek általában mértékegységet kísérnek -pozitivitás-nagysággal és -iránnyal. Ezek a jellemzők nagyon alkalmasak a fizikai mennyiségek, például sebesség, erő, gyorsulás és még sok más leírására.
Vektorokkal lehetséges olyan műveleteket végrehajtani, mint például összeadás, kivonás és szorzatok. Az osztódást nem határozták meg a vektorok esetében, és a termékhez hasonlóan három osztály létezik, amelyeket később leírunk: pont szorzat vagy pont, vektor szorzat vagy kereszt és egy skalár szorzata egy vektor által.

1. ábra: A vektor elemei. Forrás: Wikimedia Commons.
A vektor teljes leírása érdekében meg kell adni annak összes jellemzőjét. A nagyság vagy a modul egy numerikus érték, egységet kísérve, míg az irányt és az értéket egy koordinátarendszer segítségével állapítják meg.
Nézzünk meg egy példát: Tegyük fel, hogy egy repülőgép repül egyik városból a másikba 850 km / h sebességgel NE irányba. Itt van egy teljesen meghatározott vektor, mivel rendelkezésre áll a nagyság: 850 km / h, míg az irány és az érzékelés NE.
A vektorokat általában grafikusan egy orientált vonalszakasz képviseli, amelyek hossza arányos a nagysággal.
Míg az irány és az érzék meghatározásához referenciavonalra van szükség, amely általában a vízszintes tengely, bár viszont referenciaként észak is tekinthető, ilyen a sík sebessége:

2. ábra. Sebességvektor. Forrás: F. Zapata.
Az ábra mutatja a sebességet vektor a sík, jelöli, v a félkövér betűtípussal, hogy megkülönböztessék a skaláris mennyiség, amely csak egy numerikus érték és néhány egységet meg kell határozni.
A vektor elemei
Mint már említettük, a vektor elemei:
- Magasság vagy modul, néha a vektor abszolút értékének vagy normának is nevezik.
-Cím
-Érzék
A 2. ábra példájában a v modulusa 850 km / h. A modulust v félkövér nélkül jelölik, vagy as - v - ként, ahol a rudak az abszolút értéket képviselik.
A v irányát északhoz viszonyítva kell megadni. Ebben az esetben a keletre 45 ° -tól északra található (45 ° NE). Végül a nyíl csúcsa tájékoztatja a v értelméről.
Ebben a példában a vektor eredetét rajzoltuk egybe a koordinátarendszer O eredetével, ezt kapcsolt vektornak nevezzük. Másrészről, ha a vektor eredete nem egybeesik a referenciarendszer eredetével, azt állítják, hogy szabad vektor.
Meg kell jegyezni, hogy a vektor teljes meghatározásához ezt a három elemet figyelembe kell venni, különben a vektor leírása hiányos lenne.
Egy vektor téglalap alakú alkotóelemei

3. ábra: Egy vektor téglalap alakú komponensei a síkban. Forrás: Wikimedia Commons. uranther
A képen van v példavektorunk, amely xy síkban van.
Könnyű belátni, hogy az x és y koordinátatengely v vetülete egy derékszögű háromszöget határoz meg. Ezek a kiemelkedések v y és v x, és a v téglalap alakú összetevői.
Az egyik módszer a v jelölésére téglalap alakú komponenseivel: v =
Ha a vektor háromdimenziós térben van, akkor még egy komponensre van szükség, így:
v =
Ismerve a téglalap alakú komponensek nagysága a vektor kiszámítása, egyenlő annak megállapításával, a átfogója a derékszögű háromszög, amelynek a lábak v x és v és ,. A Pitagóra-tétel segítségével az alábbiak szerint járhat:
A vektor poláris formája
Ha a vektor - v - nagysága és a referenciatengellyel - általában a vízszintes tengelyével - előállított θ szög ismert, a vektort szintén meg kell határozni. Azt állítják, hogy a vektor poláris formában fejeződik ki.
A téglalap alakú alkatrészeket ebben az esetben könnyen kiszámíthatjuk:
A fentiek szerint a sík v sebességi vektorának téglalap alakú komponensei a következők lennének:
típusai
Különböző típusú vektorok léteznek. Vannak sebesség, helyzet, elmozdulás, erő, elektromos mező, lendület és még sok más vektorok. Mint már említettük, a fizikában nagy számban van vektor-mennyiség.
Bizonyos jellemzőkkel bíró vektorok közül a következő vektorokat említhetjük:
-Null: ezek olyan vektorok, amelyek nagysága 0, és amelyeket 0-val jelölnek . Ne feledje, hogy a vastag betű szimbolizálja a vektor három alapvető tulajdonságát, míg a normál betű csak a modult jelöli.
Például egy statikus egyensúlyban lévő testnél az erők összegének nullvektornak kell lennie.
- Szabad és kapcsolt: a szabad vektorok azok, amelyeknek kiindulási és érkezési pontjai a síkban vagy a térben lévő bármelyik párt tartalmaznak, ellentétben a kapcsolt vektorokkal, amelyek eredete egybeesik a leírásukhoz használt referenciarendszer eredetével.
A pár erõ által létrehozott pár vagy pillanat jó példa a szabad vektorra, mivel a pár nem vonatkozik egy adott pontra.
- Equipolentes: két szabad vektor, amelyek azonos tulajdonságokkal rendelkeznek. Ezért egyenlő nagyságrendűek, irányuk és értelmesek.
- Másodlagos vagy más sík: ugyanahhoz a síkhoz tartozó vektorok.
- Ellentétek: azonos nagyságrendű és irányú, de ellentétes irányú vektorok. A v vektorral szemben lévő vektor a - v vektor, és mindkettő összege a nulla vektor: v + (- v) = 0.
- Párhuzamos: vektorok, amelyeknek a működési vonalai mind ugyanazon a ponton haladnak.
- Csúszkák: azok a vektorok, amelyek alkalmazáspontja egy adott vonal mentén csúszhat.
- Collinear: vektorok, amelyek ugyanazon a vonalon helyezkednek el.
- Egységes: azok a vektorok, amelyek modulja 1.
Ortogonális egységvektorok
A fizikában nagyon hasznos típusú vektor, ortogonális egységvektornak nevezik. Az ortogonális egységvektornak 1-es modulja van, és az egységek bármilyen lehetnek, például a sebesség, helyzet, erő vagy mások.
Különleges vektorok állnak rendelkezésre, amelyek segítenek más vektorok egyszerű ábrázolásában és az ezekkel végzett műveletek végrehajtásában: i, j és k ortogonális egységvektorok, egységek és merőlegesek egymásra.
Két dimenzióban ezek a vektorok mind az x, mind az y tengely pozitív irányában vannak irányítva. És három dimenzióban egy egységvektor kerül hozzáadásra a pozitív z tengely irányában. Ezek a következők:
i = <1, 0,0>
j = <0,1,0>
k = <0,0,1>
Egy vektort az i, j és k egységvektorok ábrázolhatják a következők szerint:
v = v x i + v y j + v z k
Például az előző példákban szereplő v sebességvektor így írható:
v = 601,04 i + 601,04 j km / h
A k-beli komponens nem szükséges, mivel ez a vektor síkban van.
Vektor hozzáadása
A vektorok összege nagyon gyakran jelenik meg különböző helyzetekben, például amikor meg akarja találni a kapott erõt egy tárgyra, amelyet különbözõ erõk érintenek. Először tegyük fel, hogy két szabad u és v vektor van a síkon, amint az a bal oldali alábbi ábrán látható:

4. ábra. Két vektor grafikus összege. Forrás: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.
Azonnal óvatosan átviszik a v vektorba, anélkül, hogy megváltoztatnák annak nagyságát, irányát vagy érzékét, hogy eredete egybeesjen az u végével.
A vektorösszeget w-nek hívjuk, és az u-ból kezdve húzzuk v -ben, a jobb oldali ábra szerint. Fontos megjegyezni, hogy a w vektor nagysága nem feltétlenül jelenti v és u magnitúdók összegét.
Ha alaposan átgondoljuk, akkor az eredményül kapott vektor nagysága csak a kiegészítések magnitúdóinak összege, ha mindkét összeadás ugyanabban az irányban van, és ugyanaz az értelme.
És mi történik, ha a vektorok nem szabadok? Szintén nagyon könnyű őket hozzáadni. Ennek módja az, ha egy komponenst hozzáadunk az elemhez, vagy analitikai módszerrel.
Példaként nézzük meg a vektorokat a következő ábrán, az első dolog, hogy ezeket kifejezzük a korábban kifejtett kartéziai módszer egyikén:

5. ábra. Két kapcsolt vektor összege. Forrás: Wikimedia Commons.
v = <5,1>
u = <2,3>
A w összegvektor x-összetevőjének meghatározásához adjuk hozzá a v és u megfelelő x-összetevőit: w x = 5 + 2 = 7. És ahhoz, hogy w y- t kapjunk, analóg eljárást követünk: w y = 1 + 3. Így:
u = <7,4>
A vektordeadíció tulajdonságai
- Két vagy több vektor összege másik vektort eredményez.
-Kommunikatív módon, a kiegészítések sorrendje nem változtatja meg az összeget oly módon, hogy:
u + v = v + u
- A vektorok összegének semleges eleme a nulla vektor: v + 0 = v
- Két vektor kivonását az ellenkező érték összegével kell meghatározni: v - u = v + (-u)
Vektoros példák
Mint mondtuk, a fizikában számos vektormennyiség létezik. A legismertebbek a következők:
-Pozíció
-Elmozdulás
-Átlagos sebesség és pillanatnyi sebesség
-Gyorsulás
-Kényszerítés
-A mozgás nagysága
-Nyomás vagy nyomaték
-Impulzus
-Elektromos mező
-Mágneses mező
-Mágneses pillanat
Másrészt nem vektorok, hanem skalárok:
-Időjárás
-Tömeg
-Hőfok
-Hangerő
-Sűrűség
-Mechanikai munka
-Energia
-Forró
-Erő
-Feszültség
-Elektromos áram
Egyéb vektorok közötti műveletek
A vektorok összeadásán és kivonásán kívül három másik nagyon fontos művelet is létezik a vektorok között, mivel ezek új, nagyon fontos fizikai mennyiségeket eredményeznek:
-Skallar termék vektor által.
- A vektorok közötti pont- vagy ponttermék
- És a két vektor közötti kereszt- vagy vektorterméket.
Skaláris és vektor terméke
Tekintsük Newton második törvénye, amely kimondja, hogy az erő F és a gyorsulás egy arányos. Az arányosság állandója a tárgy m tömege, tehát:
F = m. nak nek
A tömeg egy skalár; a részükben az erő és a gyorsulás vektorok. Mivel az erőt a tömegnek a gyorsulással való szorzásával nyerik, ez egy skalár és egy vektor szorzatának eredménye.
Az ilyen típusú termék mindig vektort eredményez. Itt van egy másik példa: a mozgás mennyisége. Legyen P a lendületvektor, v a sebességvektor, és mint mindig, m a tömeg:
P = m. v
Pont- vagy ponttermék a vektorok között
A mechanikus munkát felvittük azon mennyiségek listájára, amelyek nem vektorok. A fizikai munka azonban olyan vektorok közötti művelet eredménye, melyeket skaláris terméknek, belső terméknek vagy pontterméknek neveznek.
Legyen v és u vektorok, definiáljuk a közöttük lévő pont- vagy skaláris szorzót:
v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ
Ahol θ a kettő közötti szög. A bemutatott egyenletből azonnal következik, hogy a ponttermék eredménye skaláris, és hogy ha mindkét vektor merőleges, akkor pont szorzata 0.
Visszatérve a W mechanikai munkához, ez az F erő vektor és ℓ elmozdulási vektor közötti skaláris szorzat.
Ha vektorok állnak rendelkezésre összetevőik szempontjából, akkor a ponttermék is nagyon könnyen kiszámítható. Ha v =
v ∙ u = v x u x + v y u y + v z u z
A vektorok közötti ponttermék kommutációs, ezért:
v ∙ u = u ∙ v
Keresztmetszet vagy vektor termék vektorok között
Ha v és u a két példavektorunk, akkor a vektorterméket a következőképpen definiáljuk:
v x u = w
Azonnal következik, hogy a kereszttermék olyan vektort eredményez, amelynek modulusát a következőképpen határozzuk meg:
Ahol θ a vektorok közötti szög.
A keresztirányú termék nem kommutációs, ezért v x u ≠ u x v. Valójában v x u = - (u x v).
Ha a két példa szerinti vektort egységvektorokban fejezzük ki, megkönnyítjük a vektortermék kiszámítását:
v = v x i + v y j + v z k
u = u x i + u y j + u z k
Keresztezzék a termékeket az vektorok között
Az azonos egységvektorok közötti kereszttermék nulla, mivel az egymás közötti szög 0 °. De a különféle egységvektorok között a szög 90 ° és a sin 90 ° = 1.
Az alábbi ábra segít megtalálni ezeket a termékeket. A nyíl irányában pozitív, ellentétes irányban pedig negatív:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j
A vektorok közötti termékekre és az egységvektorok tulajdonságaira továbbra is érvényes eloszlási tulajdonság alkalmazásával:
v x u = (v x i + v y j + v z k) x (u x i + u y j + u z k) =
Megoldott gyakorlatok
- 1. Feladat
Tekintettel a vektorokra:
v = -5 i + 4 j + 1 k
u = 2 i -3 j + 7 k
Mi legyen a w vektor, hogy a v + u + w összeg 6 i +8 j -10 k legyen ?
Megoldás
Ezért teljesíteni kell, hogy:
A válasz: w = 9 i +7 j - 18 k
- 2. gyakorlat
Mekkora a v és u vektorok közötti szög az 1. gyakorlatban?
Megoldás
A dot terméket fogjuk használni. A meghatározásból:
v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15
Ezeknek az értékeknek a helyettesítése:
Irodalom
- Figueroa, D. (2005). Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Kinematika. Szerkesztette Douglas Figueroa (USB).
- Giancoli, D. 2006. Fizika: alapelvek alkalmazásokkal. 6.. Ed Prentice Hall.
- Rex, A. 2011. A fizika alapjai. Pearson.
- Sears, Zemansky. 2016. Egyetemi fizika a modern fizikával. 14-én. Ed. 1. kötet.
- Serway, R., Jewett, J. 2008. Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Ed. Cengage Learning.
